湖南省常德市桃源县2024-2025学年高三考前热身数学试卷含解析

这是一份湖南省常德市桃源县2024-2025学年高三考前热身数学试卷含解析，文件包含专题08圆与相似三角形四边形综合原卷版pdf、专题08圆与相似三角形四边形综合解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数满足，设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56B．60C．140D．120
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．2
5．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则下述四个结论：
①②③④点为函数的一个对称中心
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
7．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）．
A．B．C．D．
8．设，均为非零的平面向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
9．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为（）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知中内角所对应的边依次为，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）
A．72种B．144种C．288种D．360种
12．函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设、满足约束条件，若的最小值是，则的值为__________.
14．已知实数满约束条件，则的最大值为___________.
15．在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为___________.
16．已知半径为4的球面上有两点，，球心为O，若球面上的动点C满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，点．
（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于点，曲线与曲线交于点，求的面积．
18．（12分）如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）已知矩形纸片中，，将矩形纸片的右下角沿线段折叠，使矩形的顶点B落在矩形的边上，记该点为E，且折痕的两端点M，N分别在边上.设，的面积为S.
（1）将l表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；
（2）求l的最小值及此时的值；
（3）问当θ为何值时，的面积S取得最小值？并求出这个最小值.
20．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示．
（1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
（ⅰ）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．
附：，若，则，，.
21．（12分）函数
（1）证明：；
（2）若存在，且，使得成立，求取值范围.
22．（10分）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，且垂直于底面， ，分别是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）已知点在棱上且，求直线与平面所成角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
试题分析：由题意得，，所以，，所求双曲线方程为．
考点：双曲线方程.
2．B
【解析】
结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：若，则，即成立，
若，则由，得，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题．
3．C
【解析】
试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C.
考点：频率分布直方图及其应用．
4．B
【解析】
结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.
【详解】
由，以及，解得.
.
故选：B
本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.
5．D
【解析】
求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解.
【详解】
的定义域为，，
当时，，故在单调递减；
不妨设，而，知在单调递减，
从而对任意、，恒有，
即，
，，
令，则，原不等式等价于在单调递减，即，
从而，因为，
所以实数a的取值范围是
故选：D.
此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.
6．B
【解析】
首先根据三角函数的平移规则表示出，再根据对称性求出、，即可求出的解析式，从而验证可得；
【详解】
解：由题意可得，
又∵和的图象都关于对称，∴，
∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，
∴①③④正确，②错误.
故选：B
本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.
7．C
【解析】
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.
8．B
【解析】
根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．
【详解】
因为，均为非零的平面向量，存在负数，使得，
所以向量，共线且方向相反，
所以，即充分性成立；
反之，当向量，的夹角为钝角时，满足，但此时，不共线且反向，所以必要性不成立．
所以“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件．
故选B．
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．
9．A
【解析】
根据题意分别求出事件A：检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件B：检测6个人确定为“感染高危户”发生的概率,即可得出的表达式,再根据基本不等式即可求出.
【详解】
设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”,
事件B：检测6个人确定为“感染高危户”,
∴,.
即
设,则
∴
当且仅当即时取等号,即.
故选：A．
本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题.
10．A
【解析】
由余弦定理可得，结合可得a，b，再利用面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理，得，由，解得，
所以，.
故选：A.
本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
11．B
【解析】
利用分步计数原理结合排列求解即可
【详解】
第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.
选.
本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题
12．C
【解析】
由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，可得有解，令，则，对分类讨论，得出时，取得极大值，也即为最大值，进而得出结论.
【详解】
解：由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，
即有解，令，则，
则当时，；当时，，
故时，取得极大值，也即为最大值，
当趋近于时，趋近于，所以满足条件．
故选：C.
本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，由得，显然直线过时，最小，代入求出的值即可．
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立，解得，则点.
由得，显然当直线过时，该直线轴上的截距最小，此时最小，
，解得.
故答案为：．
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
14．8
【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案.
【详解】
根据约束条件，画出可行域，图中阴影部分为可行域.
又目标函数表示直线在轴上的截距，
由图可知当经过点时截距最大，故的最大值为8.
故答案为：.
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
15．
【解析】
点在的平分线可知与向量共线，利用线性运算求解即可.
【详解】
因为点在的平线上，
所以存在使，
而，
可解得，
所以，
故答案为：
本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题.
16．
【解析】
设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，
易知即为二面角的平面角，可求出及，然后可判断出四面体外接球的球心在直线上，在中，，结合，可求出四面体的外接球的半径.
【详解】
设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，
OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，即为二面角的平面角，
，
因为，所以是等腰直角三角形，，
在中，由cs60º＝，得，由勾股定理，得：，
因为O1到A、B、C三的距离相等，所以，四面体外接球的球心在直线上，
设四面体外接球半径为，
在中，，
由勾股定理可得：，即，解得．
本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）．（2）
【解析】
(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标的几何意义求解，再求点到直线的距离即可算出三角形面积.
【详解】
解：（1）曲线，即．
∴．曲线的极坐标方程为．
直线的极坐标方程为，即，
∴直线的直角坐标方程为．
（2）设，，
∴，解得．
又，∴（舍去）．
∴．
点到直线的距离为，
∴的面积为．
此题考查参数方程，极坐标，直角坐标之间相互转化，注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标，属于较易题目.
18．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）利用中位线的性质得出，然后利用线面平行的判定定理可证明出平面；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）因为、分别为、的中点，所以．
又因为平面，平面，所以平面；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，
则，，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以．
设直线与平面所成角为，所以．
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19．（1）（2），的最小值为.（3）时，面积取最小值为
【解析】
（1）,利用三角函数定义分别表示,且,即可得到关于的解析式；,,则,即可得到的范围；
（2）由（1）,若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,设为,令,则,即可设,利用导函数判断函数的单调性,即可求得的最大值,进而求解；
（3）由题,,则,设,,利用导函数求得的最大值,即可求得的最小值.
【详解】
解:（1）,
故.
因为,所以，,
所以,
又,,则,所以,
所以
（2）记,
则,
设,,则,
记,则,
令,则,
当时,；当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
故当时取最小值,此时,的最小值为.
（3）的面积,
所以,设,则,
设,则,令,,
所以当时,；当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
故当,即时,面积取最小值为
本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力.
20．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数的值，再利用数据之间的关系将、表示为，，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；
（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为，再结合得元、元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.
【详解】
（1）由题意可得，
易知，，
，
；
（2）根据题意，可得出随机变量的可能取值有、、、元，
，，
，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为.
本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.
21．（1）证明见详解；（2）或或
【解析】
（1）
（2）首先用基本不等式得到，然后解出不等式即可
【详解】
（1）因为
所以
（2）当时
所以
当且仅当即时等号成立
因为存在，且，使得成立
所以
所以或
解得：或或
1.要熟练掌握绝对值的三角不等式，即
2.应用基本不等式求最值时要满足“一正二定三相等”.
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由平面几何知识可得出四边形是平行四边形，可得面，再由面面平行的判定可证得面面平行；
（2）由（1）可知，两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面PAB的法向量，再运用线面角的向量求法，可求得直线与平面所成角的余弦值.
【详解】
（1），,又，，,
而、分别是、的中点，， 故面,
又且，故四边形是平行四边形,面,
又，是面内的两条相交直线, 故面面.
（2）由（1）可知，两两垂直，故建系如图所示,则
，
，，,
设是平面PAB的法向量,，
令，则,,
直线NE与平面所成角的余弦值为.
本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.
组别
频数

赠送的随机话费/元
概率