乌兰县2024-2025学年高三第二次模拟考试数学试卷含解析

这是一份乌兰县2024-2025学年高三第二次模拟考试数学试卷含解析，文件包含专题08圆与相似三角形四边形综合原卷版pdf、专题08圆与相似三角形四边形综合解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的右焦点为，过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的其中一个交点为，若，且，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
2．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的极大值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．设是等差数列的前n项和，且，则( )
A．B．C．1D．2
5．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．若，则的虚部是
A．3B．C．D．
7．将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )
A．B．C．D．
8．下列函数中，值域为的偶函数是（ ）
A．B．C．D．
9．已知集合，则=
A．B．C．D．
10．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）

A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平
B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨
C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨
D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格
11．已知三棱柱( )
A．B．C．D．
12．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是
A．关于直线对称B．关于点对称
C．周期为D．在上是增函数
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．等边的边长为2，则在方向上的投影为________．
14．已知，，，且，则的最小值为___________．
15．如图，某市一学校位于该市火车站北偏东方向，且，已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧都是学校道路，其中，，以学校为圆心，半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济，其中分别在公路上，且与圆弧相切，设，的面积为.
（1）求关于的函数解析式；
（2）当为何值时，面积为最小，政府投资最低？
16．设命题：，，则：__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）在中，角、、的对边分别为、、，且.
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值.
19．（12分）已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．
20．（12分）已知某种细菌的适宜生长温度为12℃~27℃，为了研究该种细菌的繁殖数量（单位：个）随温度（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：
对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：
其中，.
（1）请绘出关于的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量关于温度的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立关于的回归方程（结果精确到0.1）；
（3）当温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二成估计分别为，，参考数据：.
21．（12分）一张边长为的正方形薄铝板（图甲），点，分别在，上，且（单位：）.现将该薄铝板沿裁开，再将沿折叠，沿折叠，使，重合，且重合于点，制作成一个无盖的三棱锥形容器（图乙），记该容器的容积为（单位：），（注：薄铝板的厚度忽略不计）
（1）若裁开的三角形薄铝板恰好是该容器的盖，求，的值；
（2）试确定的值，使得无盖三棱锥容器的容积最大.
22．（10分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为和，右顶点为，且，短轴长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点作垂直轴的直线，点为直线上纵坐标不为零的任意一点，过作的垂线交椭圆于点和，当时，求此时四边形的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用，求出点，因为点在双曲线上，及，代入整理及得，又已知，即可求出离心率．
【详解】
由题意可知，代入得：，
代入双曲线方程整理得：，又因为，即可得到，
故选：D．
本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于，，的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题．
2．A
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案.
【详解】
解：，
在复平面内对应的点的坐标是.
故选：A.
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
3．C
【解析】
对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当时有极大值，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点的通项公式，且相应极大值，分组求和即得
【详解】
当时，，
显然当时有，，
∴经单调性分析知
为的第一个极值点
又∵时，
∴，，，…，均为其极值点
∵函数不能在端点处取得极值
∴，，
∴对应极值，，
∴
故选：C
本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题
4．C
【解析】
利用等差数列的性质化简已知条件，求得的值.
【详解】
由于等差数列满足，所以，，.
故选：C
本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.
5．B
【解析】
建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设的中点为，建立空间直角坐标系如下图所示.所以，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.
6．B
【解析】
因为，所以的虚部是.故选B．
7．B
【解析】
设折成的四棱锥的底面边长为，高为，则，故由题设可得，所以四棱锥的体积，应选答案B．
8．C
【解析】
试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C．
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．
9．C
【解析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
10．D
【解析】
先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可
【详解】
由折线图易知A、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为，由题意可知，，，则有，所以D正确.
故选：D
此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.
11．C
【解析】
因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝
12．D
【解析】
当时,,∴f(x)不关于直线对称；
当时, ,∴f(x)关于点对称；
f(x)得周期，
当时, ,∴f(x)在上是增函数．
本题选择D选项.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，，
则：，，
且，，
据此可知在方向上的投影为.
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．
【解析】
由，先将变形为，运用基本不等式可得最小值，再求的最小值，运用函数单调性即可得到所求值.
【详解】
解：因为，，，且，
所以

因为，所以
，
当且仅当时，取等号，
所以



令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以
所以
则所求最小值为
故答案为：
此题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三相等，考查利用单调性求最值，考查化简和运算能力，属于中档题.
15．（1）；（2）.
【解析】
（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，，进而表示直线的方程，由直线与圆相切构建关系化简整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面积公式表示面积即可；
（2）令，则，由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围，进而对原面积的函数用含t的表达式换元，再令进行换元，并构建新的函数，由二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
解：（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，.
所以直线的方程为，即.
因为直线与圆相切，
所以.
因为点在直线的上方，
所以，
所以式可化为，解得.
所以，.
所以面积为.
（2）令，则，
且，
所以，.
令，，所以在上单调递减.
所以，当，即时，取得最大值，取最小值.
答：当时，面积为最小，政府投资最低.
本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.
16．，
【解析】
存在符号改任意符号，结论变相反.
【详解】
命题是特称命题，则为全称命题，
故将“”改为“”，将“”改为“”，
故：，.
故答案为：，.
本题考查全(特)称命题. 对全(特)称命题进行否定的方法：
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），；（2）.
【解析】
（1）令求出的值，然后由，得出，然后检验是否符合在时的表达式，即可得出数列的通项公式，并设数列的公比为，根据题意列出和的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；
（2）求出数列的前项和，然后利用分组求和法可求出.
【详解】
（1）当时，，
当时，.
也适合上式，所以，.
设数列的公比为，则，由，
两式相除得，，解得，，；
（2）设数列的前项和为，则，
.
本题考查利用求，同时也考查了等比数列通项的计算，以及分组求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.
18．（1）；（2）.
【解析】
（1）利用余弦定理得出关于的二次方程，结合，可求出的值；
（2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求出的值.
【详解】
（1）在中，由余弦定理得，
，即，
解得或（舍），所以；
（2）由及得，，
所以，
又因为，所以，
从而，所以.
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.
19．．
【解析】
试题分析：，所以．
试题解析：
B．因为，
所以．
20．（1）作图见解析；更适合（2）（3）预报值为245
【解析】
（1）由散点图即可得到答案；
（2）把两边取自然对数，得，由 计算得到，再将代入可得，最终求得，即；
（3）将代入中计算即可.
【详解】
解：（1）绘出关于的散点图，如图所示：
由散点图可知，更适合作为该种细菌的繁殖数量关于的回归方程类型；
（2）把两边取自然对数，得，
即，
由
.
∴，
则关于的回归方程为；
（3）当时，计算可得；
即温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245.
本题考查求非线性回归方程及其应用的问题，考查学生数据处理能力及运算能力，是一道中档题.
21．（1），；（2）当值为时，无盖三棱锥容器的容积最大.
【解析】
（1）由已知求得，求得三角形的面积，再由已知得到平面，代入三棱锥体积公式求的值；
（2）由题意知，在等腰三角形中，，则，，写出三角形面积，求其平方导数的最值，则答案可求．
【详解】
解：（1）由题意，为等腰直角三角形，又，
，
恰好是该零件的盖，，则，
由图甲知，，，
则在图乙中，，，，
又，平面，平面，
；
（2）由题意知，在等腰三角形中，，
则，，
．
令，
，
，．
可得：当时，，当，时，，
当时，有最大值．
由（1）知，平面，
该三棱锥容积的最大值为，且．
当时，取得最大值，无盖三棱锥容器的容积最大．
答：当值为时，无盖三棱锥容器的容积最大．
本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题．
22．（1）（2）
【解析】
（1）依题意可得，解方程组即可求出椭圆的方程；
（2）设，则，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去，设，，列出韦达定理，即可表示，再根据求出参数，从而得出，最后由点到直线的距离得到，由即可得解；
【详解】
解：（1）∵，∴解得，
∴椭圆的方程为.
（2）∵，∴可设，∴.∵，
∴，∴设直线的方程为，
∴，∴，显然恒成立.
设，，则，，
∴
.
∴，
∴，∴解得，解得，
∴，，∴.
∵此时直线的方程为，，
∴点到直线的距离为，
∴，
即此时四边形的面积为.
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
温度/℃
14
16
18
20
22
24
26
繁殖数量/个
25
30
38
50
66
120
218
20
78
4.1
112
3.8
1590
20.5