第58讲　用“动态圆”思想处理临界、极值问题——2027届高三物理一轮复习讲义（含答案）

这是一份第58讲　用“动态圆”思想处理临界、极值问题——2027届高三物理一轮复习讲义（含答案），文件包含专题08圆与相似三角形四边形综合原卷版pdf、专题08圆与相似三角形四边形综合解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
1．解题思路
(1)先不考虑磁场边界，假设磁场充满整个空间，根据题给条件尝试画出粒子可能的运动轨迹圆。
(2)结合磁场边界找出临界条件。
(3)根据几何关系、运动规律求解。
根据粒子射入磁场时的特点，分析临界条件的常用技巧有三种：动态圆放缩法、定圆旋转法、平移圆法。
2．分析临界、极值问题常用的四个结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场区域圆直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
►考向1 动态圆放缩法
2023年8月25日下午，新一代人造太阳“中国环流三号”取得重大科研进展，首次实现100万安培等离子体电流下的高约束模式运行，标志着中国核聚变研究向“聚变点火”又迈出重要一步。环流器局部区域的磁场简化示意图，如图所示，在内边界半径为R、外边界半径为2R的环形磁场区域内，存在磁感应强度大小为B，方向垂直于平面向内的匀强磁场。在内圆上有一粒子源S，可在平面内沿各个方向发射比荷相同的带正电的粒子。粒子a、b分别沿径向、内圆切线向左、向下进入磁场，二者均恰好不离开磁场外边界。不计重力及二者之间的相互作用，则粒子a、b的速度大小之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶3 D．3∶1
►考向2 定圆旋转法
如图实线所示区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁场宽度大小为d，磁场下边界一点O为粒子源，能向各个方向发射速度大小相等的同种粒子，已知从上边界穿出的粒子其出射点分布在长为eq \f(2\r(3),3)d的线段上，这些粒子在磁场中做圆周运动的半径是( )
A.eq \f(\r(3),3)d B．eq \f(d,2)
C.eq \f(2\r(3),3)d D．eq \f(2,3)d
►考向3 平移圆法
(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为eq \f(qBd,m)，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为eq \f(d,2)
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为eq \f(πm,qB)
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为eq \f(πm,3qB)
考点2 “磁聚焦”和“磁发散”模型
(能力考点·深度研析)
1．“磁聚焦”模型
(1)现象：如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚)
(2)条件：轨迹圆半径R等于磁场圆半径r。
(3)证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。
2．“磁发散”模型
(1)现象：如图乙所示，从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散)
(2)条件：轨迹圆半径等于磁场圆半径
(3)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。
(多选)利用磁聚集和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是( )
A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为eq \f(1,2)B0，方向垂直纸面向里
C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)req \\al(2,0)
D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为eq \f(π－2,2)req \\al(2,0)
提能训练 练案[58]
基础巩固练
题组一 带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题
1．(多选)如图所示，矩形OMPN空间内存在垂直于平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。有大量速率不同的电子从O点沿着ON方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，OM长度为3d，ON长度为2d，忽略电子之间的相互作用，电子重力不计。下列说法正确的是( )
A．电子速率越小，在磁场里运动的时间一定越长
B．电子在磁场里运动的最长时间为eq \f(πm,eB)
C．MP上有电子射出部分的长度为eq \r(3)d
D．MP上有电子射出部分的长度为(2－eq \r(3))d
2.如图所示，在xOy平面的Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为eq \f(mv0,2qR)、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为( )
A.eq \f(πR,6v0) B．eq \f(πR,4v0)
C.eq \f(πR,3v0) D．eq \f(πR,2v0)
3.如图所示，在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ab＝L，一个粒子源在b点将质量为m、电荷量为q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是(不计粒子重力及粒子间的相互作用)( )
A.eq \f(qBL,2m) B．eq \f(qBL,3m)
C.eq \f(\r(3)qBL,2m) D．eq \f(\r(3)qBL,3m)
4.(多选)(2024·洛阳高三模拟)如图所示，真空区域有左右宽度为l、上下足够长的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的左右竖直边界。一质量为m、电荷量为q的粒子(不计粒子重力)，在竖直平面内，沿着与MN夹角为θ＝30°的方向射入磁场中。则下列说法正确的是( )
A．若带电粒子带负电，入射速度只要大于eq \f(4－2\r(3)qBl,m)，粒子就会从PQ射出
B．粒子在磁场中运动的最长时间可能是eq \f(5πm,3qB)
C．MN边界上，从入射点下方射出的所有粒子，在磁场中运动时间均为eq \f(πm,3qB)
D．MN边界上，从入射点上方射出的所有粒子，在磁场中运动时间均为eq \f(πm,3qB)
题组二 “磁聚焦”和“磁发散”模型
5.如图所示，在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为e，质量为m，速度为v＝eq \f(eBR,m)，则以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的质子的出射方向的反向延长线不一定过圆心
B．从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短
C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D．若质子以相等的速率v＝eq \f(eBR,m)从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直
6.(多选)如图所示，在xOy坐标系的第一象限中有一半径为r＝0.1 m的圆形磁场区域，磁感应强度为B＝1 T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为C、A。现有大量质量为1×10－18 kg(重力不计)、电荷量大小为2×10－10 C、速率均为2×107 m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角为θ，且0