2024-2025学年四川省资阳市安岳县高三第三次测评数学试卷含解析

这是一份2024-2025学年四川省资阳市安岳县高三第三次测评数学试卷含解析，共10页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，设，则"是""的，设，随机变量的分布列是，已知集合，则的值域为，“是函数在区间内单调递增”的等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为
A．B．C．D．
2．已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，，平面平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．1
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数（），则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
4．已知某口袋中有3个白球和个黑球（），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是．若，则= ( )
A．B．1C．D．2
5．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的，若判断框内填入的条件为，则正整数的最小值是
A．B．C．D．
6．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）
A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
7．设，则"是""的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．设，随机变量的分布列是
则当在内增大时，（ ）
A．减小，减小B．减小，增大
C．增大，减小D．增大，增大
9．已知集合，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
10．“是函数在区间内单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
11．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．240B．264C．274D．282
12．点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点是曲线（）图象上的一个定点，过点的切线方程为，则实数k的值为______.
14．已知，，且，则的最小值是______.
15．记为数列的前项和.若，则______.
16．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△ABC面积的最大值为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的短轴长为，离心率，其右焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和，求的取值范围.
18．（12分）已知在中，角的对边分别为,且.
（1）求的值；
（2）若,求的取值范围.
19．（12分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线：交于，两点，且当时，.
（1）求的值；
（2）设线段的中点为，抛物线在点处的切线与的准线交于点，证明：轴.
20．（12分）已知的图象在处的切线方程为.
（1）求常数的值；
（2）若方程在区间上有两个不同的实根，求实数的值.
21．（12分）已知椭圆，过的直线与椭圆相交于两点，且与轴相交于点.
（1）若，求直线的方程；
（2）设关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.
22．（10分）求下列函数的导数：
（1）
（2）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
考点：程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．
解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S i 是否继续循环
循环前 1 1/
第一圈3 2 是
第二圈7 3 是
第三圈15 4 是
第四圈31 5 否
故最后当i＜5时退出，
故选B．
2．B
【解析】
过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设，将表示成关于的函数，再求函数的最值，即可得答案.
【详解】
过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.
因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，
所以.
因为底面ABCD是边长为1的正方形，，所以.
因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.
易证平面平面ABE，
所以点H到平面ABE的距离，即为H到EF的距离.
不妨设，则，.
因为，所以，
所以，当时，等号成立.
此时EH与ED重合，所以，.
故选：B.
本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.
3．B
【解析】
利用换元法化简解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得的取值范围，由此求得的值域.
【详解】
因为（），所以，令（），则（），函数的对称轴方程为，所以，，所以，所以的值域为.
故选：B
本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.
4．B
【解析】
由题意或4，则，故选B．
5．B
【解析】
初始：，，第一次循环：，，继续循环；
第二次循环：，，此时，满足条件，结束循环，
所以判断框内填入的条件可以是，所以正整数的最小值是3，故选B．
6．D
【解析】
用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.
【详解】
用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：
所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.
本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.
7．A
【解析】
根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.
【详解】
，当时，，充分性；
当，取，验证成立，故不必要.
故选：.
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
8．C
【解析】
，，判断其在内的单调性即可．
【详解】
解：根据题意在内递增，
，
是以为对称轴，开口向下的抛物线，所以在上单调递减，
故选：C．
本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题．
9．A
【解析】
先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域.
【详解】
由，得 ，，令， ，，所以得 ， 在 上递增，在上递减， ，所以，即 的值域为
故选A
本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题
10．C
【解析】
，令解得
当，的图像如下图
当，的图像如下图
由上两图可知，是充要条件
【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.
11．B
【解析】
将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案.
【详解】
由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，
延长交于点，
其中，，，
所以表面积.
故选B项.
本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题
12．C
【解析】
设的中点为，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出平面，这样可以确定动点的轨迹，最后求出动点的轨迹的长度.
【详解】
设的中点为，连接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线. 正方体的棱长为2，所以内切球的半径为，建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系：
因此有，设平面的法向量为，所以有
，因此到平面的距离为：，所以截面圆的半径为：，因此动点的轨迹的长度为.
故选：C
本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得．
【详解】
设，
由题意，∴，，，即，
∴，．
故答案为：1．
本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题．
14．1
【解析】
先将前两项利用基本不等式去掉，，再处理只含的算式即可．
【详解】
解：，
因为，所以，
所以，
当且仅当，，时等号成立，
故答案为：1．
本题主要考查基本不等式的应用，但是由于有3个变量，导致该题不易找到思路，属于中档题．
15．1
【解析】
由已知数列递推式可得数列是以16为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的前项和公式求解．
【详解】
由，得，．
且，
则，即．
数列是以16为首项，以为公比的等比数列，
则．
故答案为：1．
本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
16．
【解析】
先根据点共线得到，从而得到O的轨迹为阿氏圆，结合三角形和三角形的面积关系可求.
【详解】
设
B，O，E共线，则，解得，从而O为CD中点，故.
在△BOD中，BD＝2，，易知O的轨迹为阿氏圆，其半径，
故．
故答案为：.
本题主要考查三角形的面积问题，把所求面积进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）由已知短轴长求出，离心率求出关系，结合，即可求解；
（2）当直线的斜率都存在时，不妨设直线的方程为，直线与椭圆方程联立，利用相交弦长公式求出，斜率为，求出，得到关于的表达式，根据表达式的特点用“”判别式法求出范围，当有一斜率不存在时，另一条斜率为，根据弦长公式，求出，即可求出结论.
【详解】
（1）由得，又由得，
则，故椭圆的方程为.
（2）由（1）知，
①当直线的斜率都存在时，
由对称性不妨设直线的方程为，
由，
，设，
则，
则，
由椭圆对称性可设直线的斜率为，
则，
.
令，则，
当时，，当时，由得，所以，
即，且.
②当直线的斜率其中一条不存在时，
根据对称性不妨设设直线的方程为，斜率不存在，
则，，
此时.
若设的方程为，斜率不存在，
则，
综上可知的取值范围是.
本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系，注意根与系数关系、弦长公式、函数最值、椭圆性质的合理应用，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于难题.
18．（1）（2）
【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示，再根据正弦定理可以将转化为，于是可以求出的值；（2）首先根据求出角的值，根据第（1）问得到的值，可以运用正弦定理求出外接圆半径，于是可以将转化为，又因为角的值已经得到，所以将转化为关于的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角的值后，应用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.
试题解析：（1）由，
应用余弦定理，可得

化简得则
（2）
即
所以
法一. ,
则
=
=
=
又
法二
因为 由余弦定理
得，
又因为，当且仅当时“”成立.
所以
又由三边关系定理可知
综上
考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.
19．（1）1；（2）见解析
【解析】
（1）设，，联立直线和抛物线方程，得，写出韦达定理，根据弦长公式，即可求出；
（2）由，得，根据导数的几何意义，求出抛物线在点点处切线方程，进而求出，即可证出轴.
【详解】
解：（1）设，，
将直线代入中整理得：，
∴，，
∴，
解得：.
（2）同（1）假设，，
由，得，
从而抛物线在点点处的切线方程为，
即，
令，得，
由（1）知，从而，
这表明轴.
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程，考查转化思想和计算能力.
20．（1）；（2）或.
【解析】
（1）求出，由，建立方程求解，即可求出结论；
（2）根据函数的单调区间，极值，做出函数在的图象，即可求解.
【详解】
（1），由题意知
，
解得（舍去）或.
（2）当时，
故方程有根，根为或，
由表可见，当时，有极小值0.
由上表可知的减函数区间为，
递增区间为，.
因为，
.由数形结合可得或.
本题考查导数的几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
21．（1）或；（2）见解析
【解析】
（1）由已知条件利用点斜式设出直线的方程，则可表示出点的坐标，再由的关系表示出点的坐标，而点在椭圆上，将其坐标代入椭圆方程中可求出直线的斜率；
（2）设出两点的坐标，则点的坐标可以表示出，然后直线的方程与椭圆方程联立成方程，消元后得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系，再结合直线的方程，化简可得结果.
【详解】
（1）由条件可知直线的斜率存在，则
可设直线的方程为，则，
由，有，
所以，
由在椭圆上，则，解得，此时在椭圆内部，所以满足直线与椭圆相交，
故所求直线方程为或.
（也可联立直线与椭圆方程，由验证）
（2）设，则，
直线的方程为.
由得，
由，
解得，
，
当时，，
故直线恒过定点.
此题考查的是直线与椭圆的位置关系中的过定点问题，计算过程较复杂，属于难题.
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据复合函数的求导法则可得结果.
（2）同样根据复合函数的求导法则可得结果.
【详解】
（1）令，，则，
而，，故.
（2）令，，则，
而，，故，
化简得到.
本题考查复合函数的导数，此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合，再根据复合函数的求导法则可得所求的导数，本题属于容易题.
0
1
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
收益
20
30
20
10
30
30
60
40
30
30
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0
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极大值
极小值