2026年广东省汕头市濠江区九年级下学期学业质量检测卷（数学）（含答案+解析）

这是一份2026年广东省汕头市濠江区九年级下学期学业质量检测卷（数学）（含答案+解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是( )
A. 赵爽弦图B. 斐波那契螺旋线
C. 阿基米德螺线D. 笛卡尔心形线
2.2025年是不平凡的一年．这一年，我国有效应对局地干旱、洪涝、连阴雨等不利气象灾害，粮食总产量达14298亿斤，再创历史新高，连续两年站稳1.4万亿斤台阶．“14298亿”用科学记数法表示为( )
A. 1.4298×1010B. 1.4298×1011C. 1.4298×1012D. 1.4298×1013
3.不等式组x+1≥0xbB. −a0的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数y=kx的图象在第三象限交于点C.连接CA并延长与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点D.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标及△OAD的面积．
22.(本小题12分)
【停车位的数学建模】
某住宅小区为方便业主停车，拟在角落处增设一个矩形停车位ABCD，其中AD=500cm，AB=260cm.车位的三面围墙及墙DE高度高于车顶，车库门前有一条平行于CD且与CD距离为270cm的人行横道线．已知车辆停在该车位，驾驶座车门完全打开时，车门与车身夹角为70 ∘.当驾驶座车门与车身夹角不小于25 ∘时，驾驶员能顺畅从驾驶座下车．
图2是汽车外形的部分数据：①车身长度460cm；②驾驶座车门长度100cm；③车头宽度160cm；④两个车外后视镜完全打开时车身宽度为215cm；⑤车身宽度185cm(不含两个后视镜)；⑥车外后视镜纵向长度20cm.
假设：车身始终与墙BC保持平行，车外后视镜完全打开时，后视镜与墙之间有10cm的安全距离.
参考数据：sin25 ∘≈0.42，cs25 ∘≈0.91，tan25 ∘≈0.47；sin53 ∘≈0.80，cs53 ∘≈0.60，tan53 ∘≈1.33；sin70 ∘≈0.94，cs70 ∘≈0.34，tan70 ∘≈2.75.

结合上述条件，回答下列问题：
(1)【实际应用】如图1，当汽车倒入矩形停车位ABCD时，驾驶员能否顺畅从驾驶座下车？请说明理由；
(2)【实践探究】如图3，当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域CDEG内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车是否占用人行横道？请说明理由．
23.(本小题13分)
△ABC中，已知∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC.

(1)如图1，如果AD=4，DC=5，求BC的长；
(2)如图2，过点A作AC的垂线AP，与边CB的延长线交于点P.
①试猜想线段PC与边AB的数量关系，并证明；
②在线段DB上截取DQ=DA，连接AQ，当∠PAQ=2∠BAQ时，探究是否存在实数k，使得AB=kBQ+PB成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】根据轴对称图形的定义，判断每个选项中的图形是否能沿着某条直线对折后，直线两侧的部分完全重合．
【详解】解：A、赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的大正方形，无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都无法完全重合，所以它不是轴对称图形；
B、斐波那契螺旋线是一种优美的曲线，它没有对称轴，无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，因此不是轴对称图形；
C、阿基米德曲线是一种螺旋线，它也不存在对称轴，沿任何直线对折后，直线两侧的部分都无法完全重合，所以不是轴对称图形；
D、笛卡尔心形线是一个经典的轴对称图形，它有一条对称轴，沿这条对称轴对折后，直线两侧的部分能够完全重合；
故选D.
2.【答案】C
【解析】解：14298亿=1429800000000=1.4298×1012.
3.【答案】B
【解析】先解出x+1≥0，再根据解集在数轴上的表示规则判断选项．
【详解】解：∵x+1≥0，
∴x≥−1，
又∵xb且a1.36>1.29，
∴s甲2>s丙2>s乙2.
∴评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高．
【小题3】
解：甲青年的综合成绩为90×35\%+80×65\%=83.5(分)，
乙青年的综合成绩为93×35\%+81×65\%=85.2(分)，
丙青年的综合成绩为88×35\%+82×65\%=84.1(分).
∵85.2>84.1>83.5，
∴乙青年的综合成绩最高，可作为后续重点培养对象．
【小题4】
解：例如：增加“团队协作能力”这一个评分维度．
评分权重重新分配为：英歌舞理论知识、技艺实践能力、团队协作能力这三个维度的评分权重分别为30%、50%、20%.

【解析】1.
本题主要考查了数据分析和统计的知识点，包含中位数、众数的定义与计算，方差的统计意义，加权平均数的计算，以及统计评价方案的合理设计．
先根据丙的扇形图占比，算出不同得分对应的评委人数，将所有得分从小到大排序，找到中位数，再从甲、乙得分条形图中统计乙的10个评委的所有打分，找出出现次数最多的得分，找到众数；
解：计算丙的各分数评委人数：
得6分的人数：10×10%=1
得7分的人数：10×10%=1
得8分的人数：10×50%=5
得9分的人数：10×10%=1
得10分的人数：10×20%=2
将丙的10个得分从小到大排序，取第5、第6位得分的平均值得到中位数：a=8+82=8；
统计乙的10个评委得分的出现次数，得分9出现的次数和得分8出现的次数最多，得到众数b=8和9；
所以a=8，b=8和9.
2. 方差的统计意义是衡量数据的波动程度，方差越小，数据的波动越小，稳定性越高，先算出甲的方差，再对比三人的方差大小，方差最小的对象表现最稳定，评委评价一致性最高；
3. 按照题目给定的权重，分别将三人的理论成绩乘以对应权重、技艺实践成绩乘以对应权重后求和，得到各自的综合成绩，对比大小后选出综合成绩最高的人选；
4. 新增的维度需要贴合英歌舞传承人的实际需求，权重分配要保证原有核心考察项的占比不被过度削弱，同时覆盖传承人需要具备的其他重要能力，保障选拔的综合素质更全面．
21.【答案】【小题1】
解：∵OA=2，△OBA为等边三角形，
∴OB=OA=2，
过点B作BH⊥OA，垂足为H，
则OH=12OA=12×2=1，BH= OB2−OH2= 22−12= 3，
∴B(1, 3).
∵点B在y=kx上，
∴ 3=k1，得k= 3.
∴反比例函数的表达式为y= 3x.
【小题2】
解：∵点C与点B关于原点对称
∴C(−1,− 3).
设直线CA的解析式为y=mx+n，
代入A(2,0)，C(−1,− 3)得，2m+n=0−m+n=− 3，
解得m= 33，n=−2 33
∴ 直线CA的解析式为y= 33x−2 33.
联立y= 33x−2 33y= 3x得， 33x−2 33= 3x
x2−2x−3=0
解得x=3或x=−1.
将x=3代入y= 3x得，y= 33，
∴D(3, 33).
∴△OAD的面积=12×OA×yD=12×2× 33= 33.
答：点D的坐标为(3, 33)，△OAD的面积为 33.

【解析】1.
本题考查了反比例函数的图象与性质、等边三角形的性质、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算；解题的关键是利用等边三角形的性质求出点B的坐标，进而确定反比例函数表达式，再通过求直线解析式与反比例函数的交点得到点D的坐标．
由OA=2及△OBA为等边三角形，可得点B的坐标为(1, 3)；将点B代入反比例函数y=kx，求出k= 3，从而得到反比例函数表达式．
2.
先求出直线CA的解析式，再联立反比例函数解析式求出点D的坐标；最后以OA为底，点D的纵坐标为高，计算△OAD的面积．
22.【答案】【小题1】
解：驾驶员能顺畅从驾驶座下车．理由如下：
在图1中，过点F作FH⊥MN于点H，
依题意，车外后视镜完全打开时与车身的距离为215−1852=15cm，FO=100cm，
∵车外后视镜完全打开时与墙之间有10cm的安全距离，
∴此时另一侧车身与墙BC之间的距离为10+15=25cm，
∴车身MN与墙AD之间的距离为260−185−25=50cm，
假设驾驶座车门FO与车身MN的夹角∠FOH=25 ∘，
在Rt△FHO中，FHFO=sin∠FOH=sin25 ∘≈0.42，
∴FH≈0.42FO=0.42×100=42(cm)，
∵42100cm，
∴驾驶座车门能完全打开，
∴当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域CDEG内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道．

【解析】1.
先根据车身宽度与后视镜安全距离，算出车身与墙的可用间距，假设车门与车身夹角为临界值25 ∘，求出车门横向伸出的距离，比较伸出距离与可用间距，判断能否顺畅下车即可；
2. 考虑极限状态，假设前车门顶在墙DE上，计算车门完全打开时的水平、垂直伸出长度，结合几何辅助线的线段关系，求出车头到CD的总距离，与人行道距离比较，即可判断是否占用．
23.【答案】【小题1】
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC.
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABD=∠CBD=∠C，
∴BD=CD=5.
∵∠ADB=∠CBD+∠C=2∠C=∠ABC，
∴△ADB∽△ABC，
∴ADAB=DBBC=ABAC.
∵AD=4，DC=5，
∴AC=AD+CD=9，BD=5，
∴4AB=AB9，
∴AB2=36，AB=6(负值舍去).
∴BDBC=69=23，
∴BC=3BD2=152；
【小题2】
解：①如图，取PC中点E，连接AE，
∵AC⊥AP，
∴△APC是直角三角形，
∴PC=2AE，AE=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C=∠ABC，
∴AB=AE，
∴PC=2AB；
②如图，∵DQ=DA，
∴∠DAQ=∠AQD=180 ∘−∠ADB2=90 ∘−∠C.
∴∠BAQ=180 ∘−∠C−∠ABC−∠DAQ=90 ∘−2∠C.
∵∠PAQ=2∠BAQ，
∴∠PAQ=180 ∘−4∠C.
∵∠PAQ+∠QAD=180 ∘−4∠C+90 ∘−∠C=90 ∘，
∴∠C=∠ABD=∠CBD=36 ∘.
∴∠BAC=180 ∘−36 ∘−72 ∘=72 ∘，
∴∠BAC=∠ABC=72 ∘，
∴AC=BC，
同理：AB=BD=CD，
∴AD==AC−CD=AC−AB.
由(1)得△ADB∽△ABC，
设ADAB=DBBC=ABAC=m，则AD=mAB，AB=mAC，BD=mBC，
由(1)得AB2=AD•AC，即m2AC2=(AC−mAC)⋅AC
整理得m2+m−1=0，解得m= 5−12(负值舍去).
由①得PC=2AB=2mBC，
∴PB=PC−BC=2m−1BC
∴AB−PB=1−mBC，DQ=DA=m2BC，
∴BQ=BD−QD=m1−mBC，
∴k=AB−PBBQ=1−mBCm1−mBC=1m=2 5−1=2 5+1 5−1 5+1= 5+12，
∴存在实数k，且k= 5+12使得AB=kBQ+PB成立．

【解析】1.
利用角平分线性质得等角，进而判定等腰三角形，结合相似三角形的判定与性质，通过相似比计算线段长度；
2.
①取PC中点E，连接AE，证明PC=2AE，AE=AB即可；
②通过角度关系推导出特殊角度，结合等腰三角形性质与三角形相似，分析线段间的等量关系，进而确定k的值．
张力调节系数x
…
1
2
3
4
…
振动频率f(Hz)
…
429
432
435
438
…
培养对象
评委打分的中位数
评委打分的众数
技艺实践能力成绩
方差
甲
8
8
80
c
乙
8
b
81
1.29
丙
a
8
82
1.36
A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)