2025-2026学年七年级数学下册期末模拟测试卷（二）北师大版（含解析）

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1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A．2cm，3cm，5cmB．3cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，2cmD．2cm，5cm，6cm
2．如图，在△ABC中，△ABC的周长为18，AE=3，观察图中尺规作图的痕迹，则△ADC的周长是（ ）
A．9B．12C．15D．18
3．王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家距离y（米）与离家时间x（分）之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
4．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（ ）
A．(a−b)2=a2−2ab+b2B．(a+b)(a−b)=a2−b2
C．(a+b)2=a2+2ab+b2D．a(a+b)=a2+ab
5．图1是某款落地折叠晾衣架的实物图，图2是其示意图， ∠FEO=120∘,∠ACO=45°，且AB∥CD∥EF，则∠OAC的度数为（ )
图1 图2
A．85°B．80°C．70°D．75°
6．如图， OC平分∠AOB，在OC上取一点P，作PF⊥OB，已知OF=8cm， △FOP的面积为12cm2，点E是射线OA上一动点，则PE长度的最小值为( )
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
7．如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
8．长和宽分别为a，b和c，d的长方形ABCD与长方形CEFG如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为S1，阴影部分面积记为S2，若想要得到S1−S2的值，只需要测量的线段为（ ）
A．b和dB．a和dC．a和cD．b和c
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
10．如图，直线MN//PQ,A是MN上一点，∠MAC的平分线交PQ于点B。若∠1=25°，∠2=126°，则∠3的度数是 。
11．如图，在ΔABC中，AB=AC，BC=4，其面积为12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F.若点D为BC边的中点，点P为线段EF上的一个动点，则ΔPCD周长的最小值为 .
12．已知(x+p)(x+3q)的乘积项中不含x的一次项，则p与q满足的关系是
13．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1：第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2，……按此规律继续下去，可得到△A4B4C4则其面积S4= ．
三、解答题：共7小题，共61分
14．计算：
（1）2-2-20250-（-1)2025
（2）2024×2026-20252
15．如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，△ABC是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形），
（1）请作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）求出△ABC的面积；
（3）试在直线l上找一点P，使PA+PB最小（不写作图过程，保留作图痕迹），
16．三角板是大家熟悉的学具，小东将一副三角板拼成如图所示的图形，并过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
（1）试判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（2）求∠DFC的度数．
17．在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个．
（1）若在甲袋中再放入x个红球，2个白球，摇匀后从甲袋中摸出1个小球，且摸出的小球是红色的概率为35，求x的值．
（2）若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的两个球都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式写出分析过程）．
18．如图，在△ABC中，AB =AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连AD，DE.AD = DE. ∠1 = ∠2.
（1）求证： △ABD≌△DCE；
（2）若AE= 2，BD=3， 求CD的长.
19．某农场发现当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥施用量有如下关系：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系?其中，哪个是自变量，哪个是因变量?
（2）当氮肥的施用量是101kg/hm2时，土豆的产量是多少?如果不施氮肥呢?
（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜?说说你的理由。
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响。
20．在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上任意一点，连结AD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边BC上时，请画出△ABC中AC边上的高BG；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想DE，DF，BG之间的数量关系为__________；为了说明DE，DF，BG之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵S△ABC=__________+S△ACD，
∴12AC⋅BG=12AB⋅DE+__________．
∵AB=AC，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为BC中点时，试判断BG与DE的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在CB的延长线上时，请直接写出DE、DF、BG之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A：2+3=5，所以A不能组成三角形；
B：3+3=6，所以B不能组成三角形；
C：2+5＜8，所以C不能组成三角形；
D：2+5＞6，所以D能组成三角形。
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边之间的关系，逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：由作图可知DE垂直平分线段AB，
∴AE=EB=3，DA=DB，
∴AB=2AE=6，
∵AB+BC+AC=18，
∴AC+BC=18−6=12，
∴△ADC的周长=AD+DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=12．
故选：B．
【分析】
利用“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一性质，得到BD=AD，从而将△ADC的周长转化为BC+AC，结合△ABC周长即可求解．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，
∴图形第一段应是0,0和20,900连线的线段，
∵与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中，
∴图形第二段是水平线段经过10分钟，20+10+15=45，
∴第三段是第二段末尾和45,0连线的线段，
∴图形表示符合的是D，
故答案为：D．
【分析】根据题目情境理解问题的过程，然后就能够通过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的图象即可得答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：第一个图阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，
第二个图阴影部分的面积为：a2−b2，
根据题意，第一个图和第二个图阴影部分的面积相等，
∴(a+b)(a−b)=a2−b2．
故答案为：B.
【分析】求出两个图中阴影部分的面积解答即可．
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠AOC＝∠CEF，
∵∠FEG＋∠CEF＝180°，∠FEG＝120°，
∴∠FEG＋∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝60°，
在△AOC中，∠AOC＋∠OAC＋∠ACO＝180°，∠ACO＝45°，
∴∠OAC＝180°−60°−45°＝75°，
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质，将已知的∠FEG转化到△AOC相关的角∠AOC，再利用三角形内角和求出∠OAC的度数．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵OF=8cm，△FOP的面积为12cm2，PF⊥OB，
∴12×8×PF=12，
∴PF=3，
过P点作PH⊥OA于H，如图：
∵OC平分∠AOB，PH⊥OA，PF⊥OB，
∴PH=PF=3cm，
∵点E是射线OA上的动点，
∴PE的最小值为3cm，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的面积求出PF=3，过P点作PH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出PH=PF=3cm，再根据垂线段最短解答即可．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．
故答案为：D．
【分析】结合图形可得蓄水池的下部分比上部分的体积小，可得进水的速度，再结合函数图象分析求解即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵长和宽分别为a，b和c，d的长方形ABCD与长方形CEFG，
∴AD=b，BE=BC+CE=b+c，
∴S△ABD=12AB⋅AD=12ab，S△BEF=12BE⋅EF=12d(b+c)，
∴S1=S△ABD+S△BEF=12ab+12d(b+c)=12ab+12bd+12cd，
∵S长方形ABCD=AB⋅AD=ab,S长方形CEFG=CE⋅EF=cd，
∴S2=S长方形ABCD+S长方形CEFG−S1=ab+cd−12ab−12bd−12cd=12ab+12cd−12bd，
∴S1−S2=12ab+12bd+12cd−12ab+12cd−12bd=bd，
∴想要得到S1−S2的值，只需要测量的线段b和d的长即可．
故答案为：A．
【分析】根据两长方形的长与宽，结合图形得到AD=b，BE=b+c，然后利用三角形和长方形的面积公式得S△ABD=12ab，SΔBEF=12d(b+c)，S长方形ABCD=ab，S长方形CEFG=cd，从而得S1=12ab+12bd+12cd，S2=12ab+12cd−12bd，进而得S1−S2=bd，据此即可求解.
9．【答案】25
【解析】【解答】解：由题意可得：阴影部分有4个小扇形，总的有10个小扇形，
故飞镖落在阴影区域的概率是：410=25．
故答案为：25．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
10．【答案】133°
【解析】【解答】解：∵MN∥PQ，∠2=126°，
∴∠MAB=180°−∠2=54°，
∵AB平分∠MAC，
∴∠MAC=2∠MAB=108°，
过C作CE∥MN，
∴∠ACE=∠MAC=108°，
∵MN∥PQ，CE∥MN，
∴CE∥PQ，
∴∠QCE=∠1=25°，
∴∠ACQ=∠ACE+∠QCE=133°．
故答案为：133°.
【分析】过C作CE∥MN，CE∥PQ∥MN，根据平行线的性质得到∠MAB=54°，∠QCE=∠1，∠ACE=∠MAC，根据角平分线的定义求出∠MAC，然后根据角的和差解答即可．
11．【答案】8
【解析】【解答】解：如图，连接AP，AD.
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，DC=12BC=2，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，
解得AD=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AP=PC，
∴DP+PC=DP+AP≥AD=6.
∴ΔPCD周长=DP+PC+DC，当DP+PC=6时周长最短，最短为6+2=8.
故答案为：8.
【分析】连接AP，AD，利用等腰三角形三线合一可证得AD⊥BC，同时可求出DC的长，利用三角形的面积公式求出AD的长；再利用线段垂直平分线的性质可证得AP=PC，据此可求出DP+CP的最小值，由此可求出△PCD周长的最小值.
12．【答案】p+3q=0
【解析】【解答】解：(x+p)(x+3q)=x2+(p+3q)x+3pq，
∵(x+p)(x+3q)的乘积项中不含x的一次项，
∴p+3q=0.
故答案为：p+3q=0.
【分析】先根据多项式乘以多项式展开合并，然后根据不含项的系数为0解答即可.
13．【答案】194
【解析】【解答】解：连接A1C，如图所示，
∵△ABC的面积是1，A1B=2AB，
∴△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍，则△A1BC的面积是2，
同理，△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，则△A1B1C的面积是4，
∴△A1B1B的面积是6，
同理，△B1C1C和△A1C1A的面积都是6，
∴△A1B1C1的面积是19，
即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍，
同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍，即△A2B2C2的面积为192，
依此类推，△A4B4C4面积S4=194．
故答案为：194．
【分析】根据等底的三角形高的比等于面积比推出即可．
14．【答案】（1）解：原式=14-1+1
=14
（2）解：法一：解：原式=(2025-1)(2025+1)-20252
=20252-1-20252
=-1
法二：解：原式=4100624-4100625
=-1
【解析】【分析】（1）掌握负指数幂（a−p=1ap ）、零指数幂（a0=1，a≠0 ）、乘方的运算规则，直接代入计算，关键是牢记特殊幂的定义.
（2）法一利用平方差公式(a−b)(a+b)=a2−b2 简化计算；法二直接数值运算，体现公式简化运算的优势，核心是平方差公式的应用.
15．【答案】（1）解：如图△A1B1C1为所求，
（2）解： S△ABC=3×5−1×52−2×12−3×42=15−2.5−1−6=5.5.
（3）解：如图，点P即为所求，
【解析】【解答】（1）解：分别作 A、B、C 关于直线 l 的对称点 A1、B1、C1 ，连接 A1B1、B1C1、C1A1，得 △A1B1C1 .
（3）解：作 B 关于直线 l 的对称点 B'（或作 A 的对称点 A' ），连接 A 与 B'（或 A' 与 B ），延长交直线 l 于 P，此时 PA+PB 最小（利用对称转化，两点之间线段最小 ）.
【分析】（1）根据轴对称性质，找对称点并连线，关键是准确作出对称点.
（2）用“补形法”（矩形减周围三角形 ）计算面积，核心是将不规则三角形面积转化为规则图形面积的和差.
（3）利用轴对称将折线转化为直线，依据“两点之间线段最小”确定点 P，关键是对称点的构造与线段最长原理的应用.
16．【答案】（1）解：CF与AB的位置关系是平行，理由如下：由题意知，∠ABC=45°，∠DCE=90°，
∵CF平分∠DCE，
∴∠FCE=∠FCD=12∠DCE=45°，
∴∠FCE=∠ABC，
∴CF∥AB；
（2）解：由题意知，∠D=30° ，∠FCD=45°，
∵∠DFC+∠D+∠FCD=180°，
∴∠DFC=105°，
∴∠DFC的度数为105°．
【解析】【分析】（1）根据题目条件，已知∠ABC=45°，且∠DCE=90°。由于CF平分∠DCE，因此∠FCE=∠FCD=12∠DCE=45°。由此可得∠FCE=∠ABC，从而证明CF∥AB。
（2）由题目条件可知，∠D=30°，∠FCD=45°。根据三角形内角和定理，∠DFC+∠D+∠FCD=180°，代入数值计算即可求出∠DFC的大小。
17．【答案】（1）解：由题意知，1+x3+2+x=35，解得：x=5．
∴x的值为5．
（2）解：列表如下∶
共有9种等可能的结果，其中摸出的都是白色小球的结果有2种，
∴摸出的都是白色小球的概率为29．
【解析】【分析】（1）根据概率=红球的个数÷小球的总个数列出方程求解即可．
（2）先根据列表法列出摸球情况，找出所有等可能的结果数以及摸出的都是白色小球的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）解：由题意知，1+x3+2+x=35，
解得：x=5．
∴x的值为5．
（2）解：列表如下∶
共有9种等可能的结果，其中摸出的都是白色小球的结果有2种，
∴摸出的都是白色小球的概率为29．
18．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠1=∠2,AD=DE，
△ABD≅△DCE(AAS).
（2）解：∵△ABD≅△DCE，
∴CE=BD=3,AB=DC，
∴AC=CE+AE=3+2=5，
∵AB=AC，
∴AB=5，
∴CD=5.
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得CE=BD=3,AB=DC，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）上表反映了每公顷土豆的产量与每公顷氮肥的施用量的关系；
其中每公顷氮肥施用量是自变量，每公顷土豆产量因变量。
（2）当氮肥的施用量是101千克／公顷时，土豆的产量是：32.29吨／公顷。
（3）当氮肥的施用量是336千克／公顷时，氮肥的施用量是比较适宜的，
因为此时土豆产量最高，施肥太多或太少都会使土豆产量减产。
（4）当氮肥的施用量低于336千克／公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而增产，当氮肥的施用量高于336千克／公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产。
【解析】【分析】（1）题根据自变量和因变量的定义，即自变量是主观操控的数据，导致的因变量的数据变化。表格中每公顷氮肥施用量是主观操控的，导致土豆产量发生变化，因此每公顷氮肥施用量是自变量，每公顷土豆产量因变量。（2）题找到自变量是101时，对应的因变量就是答案；（3）题观察数据变化发现，每公顷氮肥施用量逐渐增加，而每公顷土豆产量在达到43.46的时候开始下降，即可找到对应的氮肥施用量；（4）题结合数据图的变化简单概括说明即可。
20．【答案】（1）见详解；（2）BG=DE+DF，S△ABD，12AC⋅DF，BG=DE+DF；（3）BG与DE的数量关系为BG=2DE，理由见解析；（4）DF=DE+BG
【解析】【解答】解：（1）依题意，AC边上的高BG如图所示：
（2）BG=DE+DF；
证明：∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴12AC⋅BG=12AB⋅DE+12AC⋅DF，
∵AB=AC，
∴BG=DE+DF；
（3）过点B作BG⊥AC交AC于一点G，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴12AC⋅BG=12AB⋅DE+12AC⋅DF，
∵点D为BC中点，
∴12AB⋅DE=12AC⋅DF，
∵AB=AC，
∴DE=DF；
∵12AC⋅BG=12AB⋅DE+12AC⋅DF，AB=AC，
∴BG=DE+DF，
∴BG=2DE，
（4）过点B作BG⊥AC交AC于一点G，
∵S△ADC=S△ADB+S△ACB，
∴12DF×AC=12DE×AB+12BG×AC，
∵AB=AC，
∴DF×AC=DE×AC+BG×AC，
则DF=DE+BG，
【分析】
本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．熟练运用数形结合思想是解题关键.
（1）过点B作BE⊥AC交AC于一点E，即可作答．
（2）通过观察、测量可确定DE、DF、BG之间的数量关系：BG=DE+DF，根据猜想的数量关系，通过三角形面积之间的关系： S△ABC=S△ABD+S△ACD，代入三角形面积计算公式：S△=12×底×高，化简得：12AC⋅BG=12AB⋅DE+12AC⋅DF，结合AB=AC，化简即可得出答案．
（3）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：S△ABC=S△ABD+S△ACD，代入三角形面积计算公式：S△=12×底×高，化简得：12AC⋅BG=12AB⋅DE+12AC⋅DF，由点D为BC中点，可知：12AB⋅DE=12AC⋅DF，由AB=AC，点D是BC中点。结合等腰三角形性质：三线合一可知：DE=DF，等量代换化简得：BG=2DE，即可得出答案．
（4）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：S△ADC=S△ADB+S△ACB，代入三角形面积计算公式：S△=12×底×高，化简得：12DF×AC=12DE×AB+12BG×AC，由AB=AC，化简即可得出答案．每公顷氮肥施
用量/kg
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
每公顷土豆
产量/t
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
红
白
黑
红
红,红
红,白
红,黑
白
白,红
白,白
白,黑
白
白,红
白,白
白,黑
红
白
黑
红
红,红
红,白
红,黑
白
白,红
白,白
白,黑
白
白,红
白,白
白,黑