江苏省淮安市高中校协作体2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份江苏省淮安市高中校协作体2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共有 8 小题，每题 5 分，共 40 分）
1．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．5 B．2 C．1 D．
2．甲、乙、丙、丁四人排成一列，甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是( )
A. B. C. D.
3．已知 的展开式中 的系数为-5，则 （ ）
A．4 B． C． D．
4．已知向量 ， ，若 A，B，C 三点共线，则 ( )
A. -2 B. 2 C. D.
5．若 ，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如右图所示，四面体 所有棱长均为 4，则 （ ）
A． B． C． D．
7.已知空间四点 ， ， ， 构成梯形，则实数 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 4 D.3
8．今天是星期三，再过 天是星期几（ ）
A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日
二、多项选择题（本大题共有 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部
选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.）
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．已知向量 组是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底
C．若 ，则 是钝角
D．若对空间中任意一点 O，有 ，则 P，A，B，C 四点共面
10．下列说法正确的是（ ）
A．将 3 封信投入 5 个邮筒，不同的投法共有 种
B．6 本不同的书，分给甲、乙每人各 2 本，分给丙、丁每人各 1 本，有 270 种分法
第 1页（共 4 页）
C．从 6 男 4 女中选 4 人参加比赛，若 4 人中必须有男有女，则共有 194 种选法
D．将 4 个不同的小球放入 4 个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为 84
11．设样本空间 ，且每个样本点是等可能的，已知事件 ， ， ，则（ ）
A． 与 不互斥 B． 与 相互独立
C． D．
三、填空题（本大题共有 3 小题，每题 5 分，共 15 分）
12．已知 , 则角∠BAC 的大小为
13.已知 的展开式中，二项式系数的和为 128，则展开式的各项系数和为 (结果用数字作
答)
14．已知 ,则 在 方向上的投影数量为 ， 在 方向上的投影向量为
(第一空 3 分，第二空 2 分)
四、解答题（本大题共有 5 小题，第 15 题 13 分，第 16 题、第 17 题每题 15 分，第 18 题、第 19 题每题
17 分，共 77 分）
15．（本题 13 分）.从包含甲、乙 2 人的 6 人中选 4 人参加 米接力赛，求在下列条件下，各有多少种
不同的排法？（结果用数字作答）
(1)甲、乙 2 人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙 2 人都被选中且必须跑相邻两棒；
(3)甲、乙 2 人都被选中且不能相邻两棒；
(4)甲、乙 2 人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
第 2页（共 4 页）
16．（本题 15 分）如图，在边长为 2 的正方体 中，E 是棱 上的点，平面 交棱
于点 F．
(1)证明： ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长度及此时点 到平面 的距离．
17.（本题 15 分）某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在 内的顾客中，随机抽
取了 100 人，调查结果如表：
年龄段类型
单次购物金额满 188 元 8 15 23 15 9
单次购物金额不满 188 元 2 3 5 9 11
(1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满 188 元的每位顾客赠送 1 个环保购物袋的活动.若活动
当日该超市预计有 4000 人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？
(2)在上面抽取的 100 人中，随机依次抽取 2 人，已知第 1 次抽到的顾客单次购物金额不满 188 元，求第 2
次抽到的顾客单次购物金额满 188 元的概率.
第 3页（共 4 页）
18.(本题 17 分)已知 (n∈N*)
(1)若展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，求 n 的值；
(2)当 n=9 时，二项式的展开式中 x3 的系数为 A，常数项为 B，若 B=4A，求 a 的值；
(3)当 n=6，a=-2 时，求二项式的展开式中系数最大的项.
19.（本题 17 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 为菱形， ．
(1)证明： 平面 PAC；
(2)已知 ，点 满足 平面 PEC．
（i）求 ；
（ii）求平面 PBD 与平面 PEC 的夹角．
第 4页（共 4 页）淮安市高中校协作体 2025～2026 学年度第二学期高二年级期中联考
数学 试卷参考答案
一、单项选择题（本大题共有 8 小题，每题 5 分，共 40 分）
1．已知向量 ， ，若 ，则 （ B ）
A．5 B．2 C．1 D．
2．甲、乙、丙、丁四人排成一列，甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是( C )
A. B. C. D.
3．已知 的展开式中 的系数为-5，则 （ B ）
A．4 B． C． D．
4．已知向量 ， ，若 A，B，C 三点共线，则 ( A )
A. -2 B. 2 C. D.
5．若 ，则 （ B ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图所示，四面体 所有棱长均为 4，则 （ A ）
A． B． C． D．
7.已知空间四点 ， ， ， 构成梯形，则实数 的值为( C )
A. 2 B. 1 C. 4 D.3
8．今天是星期三，再过 天是星期几（ D ）
A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日
二、多项选择题（本大题共有 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部
选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.）
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ABD ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．已知向量 组是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底
C．若 ，则 是钝角
D．若对空间中任意一点 O，有 ，则 P，A，B，C 四点共面
10．下列说法正确的是（ ACD ）
A．将 3 封信投入 5 个邮筒，不同的投法共有 种
第 1页（共 6 页）
B．6 本不同的书，分给甲、乙每人各 2 本，分给丙、丁每人各 1 本，有 270 种分法
C．从 6 男 4 女中选 4 人参加比赛，若 4 人中必须有男有女，则共有 194 种选法
D．将 4 个不同的小球放入 4 个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为 84
11．设样本空间 ，且每个样本点是等可能的，已知事件 ， ， ，则（ ABD
）
A． 与 不互斥 B． 与 相互独立
C． D．
三、填空题（本大题共有 3 小题，每题 5 分，共 15 分）
12．已知 , 则角∠BAC 的大小为 答案：
13.已知 的展开式中，二项式系数的和为 128，则展开式的各项系数和为 (结果用数字作
答)答案：2187
14．已知 ,则 在 方向上的投影数量为 ， 在 方向上的投影向量为
(第一空 3 分，第二空 2 分)
答案： ，
四、解答题（本大题共有 5 小题，第 15 题 13 分，第 16 题、第 17 题每题 15 分，第 18 题、第 19 题每题
17 分，共 77 分）
15．（本题 13 分）.从包含甲、乙 2 人的 6 人中选 4 人参加 米接力赛，求在下列条件下，各有多少种
不同的排法？（结果用数字作答）
(1)甲、乙 2 人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙 2 人都被选中且必须跑相邻两棒；
(3)甲、乙 2 人都被选中且不能相邻两棒；
(4)甲、乙 2 人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
解:（1）甲乙两人在中间两棒，则有 种排法
从剩下 4 人选出 2 人排列到两边，有 种排法
则共有 种排法 ………………………………………3 分
（2）将甲乙绑定到一起，内部有 2 种排法
从剩下 4 人选出 2 人，有 种选法
全排列 3 个元素有 种排法
所以共有 种排法 ………………………………………6 分
（3）先从剩下 4 人选出 2 人先排列，有 种排法
第 2页（共 6 页）
将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的 3 个空位中，以保证甲乙不相邻，有 种排法
所以共有 种排法. ………………………………………9 分
（4）若甲在第四棒，则从剩下 4 人选出 2 人，有 种选法
3 人全排列，共有 种排法
此时共有 种排法
若甲不在第四棒，也不在第一棒，所以甲有 2 种排列方法
乙不在第四棒，也不能与甲同棒，所以乙有 2 种排列方法
再从剩下 4 人选出 2 人排列到剩下的两个位置，有 种排法
此时共有 种排法
综上，共有 种排法. …………………………………………………………13 分
16．（本题 15 分）如图，在边长为 2 的正方体 中，E 是棱 上的点，平面 交棱
于点 F．
(1)证明： ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长度及此时点 到平面 的距离．
解：（1）连接 ，由正方体可知 ，
四边形 为平行四边形，
平面 ， 平面
平面 ………………………………………3 分
平面 ，平面 平面
………………………………………6 分
（2）如图，以 D 为原点，建立空间直角坐标系 ，
设 的长为 a，则 ， ， ， ， ………………………………8 分
， ，
设平面 的一个法向量为
则 ，故可得
设直线 与平面 所成角为
第 3页（共 6 页）
则 ，解得
， 故 的长度为 1 ………………………………………13 分
点 到平面 的距离 ………………………………………………15 分
17.（本题 15 分）某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在 内的顾客中，随机抽
取了 100 人，调查结果如表：
年龄段类型
单次购物金额满 188 元 8 15 23 15 9
单次购物金额不满 188 元 2 3 5 9 11
(1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满 188 元的每位顾客赠送 1 个环保购物袋的活动.若活动
当日该超市预计有 4000 人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？
(2)在上面抽取的 100 人中，随机依次抽取 2 人，已知第 1 次抽到的顾客单次购物金额不满 188 元，求第 2
次抽到的顾客单次购物金额满 188 元的概率.
解:（1）由表可知，单次购物金额满 188 元的有：8+15+23+15+9=70 人
所以单次购物金额满 188 元频率为： ………………………………………3 分
所以 4000 人中，单次购物金额满 188 元大约 人
故需准备 2800 个环保购物袋 ………………………………………6 分
（2）记事件 为“第 1 次抽到的顾客单次购物金额不满 188 元”
记事件 为“第 2 次抽到的顾客单次购物金额满 188 元”
所以 ， ………………………………………10 分
所以
故第 2 次抽到的顾客单次购物金额满 188 元的概率为 ……………………………15 分
第 4页（共 6 页）
18.(本题 17 分)已知 (n∈N*)
(1)若展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，求 n 的值；
(2)当 n=9 时，二项式的展开式中 x3 的系数为 A，常数项为 B，若 B=4A，求 a 的值；
(3)当 n=6，a=-2 时，求二项式的展开式中系数最大的项.
解 (1）若展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，则展开式共 13 项，故 n=12 ……………………3 分
(2)当 n=9 时，二项式为
展开式的通项 Tk+1= =(-a)k (k=0，1，…，9)
令 9- =3，得 k=4，所以 A=
令 9- =0，得 k=6，所以 B=
又 B=4A，解得 a=0(舍去)或 a= 或 a=-
所以 a= 或 a=- ………………………………………9 分
(3)当 n=6，a=-2 时，二项式为
展开式的通项 Tk+1= x6-k =2k (k=0，1，…，6)
设第 k+1 项系数最大，则 ………………………………………12 分
即 故 k=4
所以二项式的展开式中系数最大的项为 T4+1=24 =240 ………………………………………17 分
19.（本题 17 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 为菱形， ．
(1)证明： 平面 PAC；
(2)已知 ，点 满足 平面 PEC．
（i）求 ；
（ii）求平面 PBD 与平面 PEC 的夹角．
解：（1）因为 ABCD 为菱形，所以
设 AC，BD 交于点 ，则
又因为 ，所以
因为 ，AC， 平面 PAC
第 5页（共 6 页）
所以 BD 平面 PAC …………………………………………………4 分
（2）（i）取 PC 中点 ，则 且 ，由 知
所以 ，即 四点共面
因为 平面 PEC， 平面 OBEF，平面 平面
所以
因此 OFEB 是平行四边形，故 ，即 …………………9 分
（ii）由（1）可知，BD 平面 PAC，因为 平面 ABCD，所以平面 平面 PAC，
因为平面 平面 ，所以在平面 PAC 内作 Oz 垂直于 AC，如图，
以 为原点，建立空间直角坐标系 ，
由题意可知 ， ， ， …………………………………11 分
因 为 ， 且 ， 所 以 ，
因此 ， ，
，
由此可知 ，设平面 PBD 的一个法向量
则 ，也即
令 ，得 ………………………………………………………13 分
设平面 PEC 的一个法向量
则 ，也即
令 ，得 ………………………………………………………15 分
所以
所以平面 PBD 与平面 PEC 的夹角为 ………………………………………………………17 分
第 6页（共 6 页）