广西河池市2025-2026学年高二下学期5月阶段性测试数学试题（含解析）

这是一份广西河池市2025-2026学年高二下学期5月阶段性测试数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
学校：_________姓名：_________班级：_________学号：_________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】.
2. 小明有4件不同的上衣、5条不同的裤子、2双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（ ）
A. 11种B. 22种C. 24种D. 40种
【答案】D
【解析】
【分析】应用分步乘法原理计算求解.
【详解】第一步选上衣有4种选法，第二步选裤子有5种选法，第三步选鞋子有2种选法，所以共有种选法.
3. 甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用独立事件概率乘法公式及互斥事件概率和公式计算求解.
【详解】因为甲乙两人投篮投中的概率分别为，，
又因为两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，
则只有一个人投中的概率是.
4. 若随机变量满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项分布的数学期望公式计算求解.
【详解】随机变量满足，则，则.
5. 已知6名学生中有4名男生，从中选出3名代表，则选出的代表中有2名男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】选择三名代表的可能性有种，选出的代表中有2名男生的可能性为，
所以.
6. 工厂制造某种机器零件的尺寸，任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为（ ）（附：若，则，，）
A. 2718B. 1359C. 430D. 215
【答案】B
【解析】
【详解】由，得，则
，
所以任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为．
7. 从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ）
A. 48种B. 72种C. 96种D. 120种
【答案】B
【解析】
【分析】先确定去沈阳游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解．
【详解】先从除甲、乙两人之外的3人中选1人去沈阳游览，共有种，
再从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种，
所以不同的选择方案共有种．
故选：B
8. 某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（ ）
A. 264种B. 288种C. 312种D. 336种
【答案】B
【解析】
【分析】首先2名老师捆绑为一个元素和2名男同学全排列，再让女同学插空排列.
【详解】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法，
再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列如下表所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】由离散型随机变量分布列性质，得 ，解得 ，
对于A，由题意得，所以A正确；
对于B，由期望性质得，，
可得，所以B错误；
对于C，，所以C正确；
对于D，由方差性质得，，所以D正确.
10. 已知的展开式中各二项式系数之和为64，则（ ）
A. B. 常数项为160
C. 含项的系数为240D. 二项式系数最大的项为第3项
【答案】AC
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质，可判定A正确，D错误；求得二项展开式的通项，结合通项公式，可判定B错误，C正确.
【详解】对于A，由二项式的展开式中各二项式系数之和为64，
可得，解得，故A正确；
对于B，二项展开式的通项公式为，
令，可得，所以展开式的常数项为，故B错误；
对于C，令，解得，所以含项的系数为，故C正确；
对于D，二项式系数最大的项为第项，故D错误.
11. 有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为，乙组的合格率为．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的，．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先明确已知的先验概率和条件概率，结合乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式逐项分析判断.
【详解】由题意可得：，，，.
对于A，根据乘法公式，，故A正确.
对于B，根据乘法公式，，故B错误.
对于C，根据全概率公式，，故C正确.
对于D，根据条件概率公式，，故D错误.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 曲线在点处的切线方程为________．
【答案】
【解析】
【详解】因为，所以，，
则，
即切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即.
13. 从10名学生中随机选出4人，其中甲学生的被选中的概率为________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】求出10名学生中随机选出4名学生的方法数，再求出甲学生被选中的方法数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】从10名学生中随机选出4名学生有种方法，
其中“甲学生被选中”有种方法，
所以甲学生被选中的概率是.
14. 的展开式中的系数为______________．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式，分析的展开式中含项的系数，含项的系数，即可得解．
【详解】由二项式的展开式的通项为，
其中含项的系数为0，含项的系数为，
所以的展开式中的系数为．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. （1）计算的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）87；（2）6
【解析】
【分析】（1）利用排列数公式、组合数公式计算可得答案；
（2）利用组合数公式计算可得答案.
【详解】（1），
，
故原式；
（2）等式，
整理可得
计算可得，
整理可得，可得 （舍去），
所以.
16. 一个箱子中装有除颜色外其他都相同的2个红球，2个黑球，5个绿球．
（1）若从箱子中任取两个球，求这两个球颜色不同的概率；
（2）若从箱子中任取3个球，记取出的黑球的个数为随机变量X，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列为：
数学期望为
【解析】
【分析】（1）求出符合要求可能数与总可能数之比即可得；
（2）得到的所有可能取值及其对应概率即可得其分布列，借助分布列即可得其期望.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
的可能取值为、、，
，
，
，
则的分布列为：
则.
17. 已知函数为．
（1）求；
（2）求的单调区间；
（3）求在区间上的最值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为、，单调递减区间为
（3）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）借助导数运算法则计算即可得；
（2）求导后，利用导数正负即可判断函数单调性；
（3）利用函数单调性与最值的关系计算极值点和端点的函数值即可得.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
由，
则当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，单调递减区间为；
【小问3详解】
由的单调递增区间为、，单调递减区间为，
则当时，在上单调递增，在上单调递减，
又，
，
，
故在区间上的最大值为，最小值为.
18. 在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导数”共7道不同的试题中依次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回.
（1）求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的概率；
（2）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率；
（3）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线”试题的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）法一：结合排列组合数运算利用古典概型概率公式求解即可；法二：利用条件概率公式求解即可.
（2）利用全概率概率公式求解即可.
（3）利用条件概率公式求解即可.
【小问1详解】
记“选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题”为事件，“选手甲第2次抽到“函数与导数”试题”为事件，
法一：.
法二：由概率乘法公式可得.
【小问2详解】
由全概率公式可得.
【小问3详解】
由条件概率公式可得.
19. 甲、乙两选手进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对乙更有利？
【答案】3局2胜制对乙更有利
【解析】
【分析】判断哪个赛制对乙有利，就是看在哪个赛制中用最终获胜的概率大．可以把“乙最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率.
【详解】采用3局2胜制，乙最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，
前者是前两局乙连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局乙胜，
因为每局比赛的结果是独立的，乙最终获胜的概率为．
类似地，采用5局3胜制，乙最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2，
因为每局比赛的结果是独立的，所以乙最终获胜的概率为．
显然，因此采用3局2胜制对乙更有利.
1
3
6