2025-2026学年下学期山东省济南高三数学2026年5月针对性训练试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期山东省济南高三数学2026年5月针对性训练试卷含答案，共10页。试卷主要包含了3 B等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题; 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 复数 2i1−i 的虚部为
4 1 B. i C. -1 D. −i
2. 已知随机变量 X 服从正态分布 N0,σ2 ，且 PX>1=0.3 ，则 P−10 ,函数 fx=lg2x,0n>1 ,则 φm,n=φm,n−1+φm−1,n
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 a=1,2,b−a=−4,2 ，则 a⋅b 的值为_____.
13. 已知 fx 是定义在 R 上且周期为 2 的偶函数,当 x∈0,1 时, fx=x ,则 f32 的值为_____.
14. 已知 F1,F2 分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点, C 上两点 P,Q 满足 2F1P=3F2Q ，且 ∠F1PF2+∠F1QF2=π2 ，则 C 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
国内某摩托车企 2025 年 3 月—9 月新车月销售量 5《单位:百合)的数据如下表:
计算得 i=12xiyi=672 .
(1)求 y 关于 x 的线性回归方程；
(2)现从这 7 个月的月销售量数据中随机抽取 3 个，记抽取的数据中不低于 20 (单位:百台)的数据个数为随机变量 X ，求 X 的分布列与数学期望.
参考公式:回归方程 y=δx+a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2,a=y−bx.
16.(本小题满分 15 分)
如图，在三棱台 ABC−A1B1C1 中， AA1⊥ 平面 ABC ， AB⊥AC ，且 AC=2A1C1=2 . AA1=2 .
(1)证明:平面 ABC1⊥ 平面 A1BC；
(2)若 AB=4 ，求直线 A1C 与平面 BCC∥B1 所成角的正弦值.

17. (本小题满分 15 分)
已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=1,Snan 是公差为 12 的等差数列.
(1)求 an 的通项公式；
(2)令 bn=an⋅2n+1,n为奇数,求数列bn的前2n项和T2n.an⋅2n,n为偶数,
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=ex−1−12xx>0 .
(1)设函数 gx=f′x ，求 gx 的最小值；
(2)对任意 x∈[1,+∞) ，都有 fx≥kx−1 ，求 k 的取值范围；
(3)对任意 k∈R ，直线 y=kx+m 与曲线 y=fx 有且仅有一个公共点，求 m 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知 A1,A2,⋯,Ann≥3 是平面直角坐标系 xOy 内的点，且 A1 和 An 在抛物线 C:y=12x2 上. 记 A ,的坐标为 x1,y1,i=1,2,⋯,n ,对于任意 1≤i≤n−1 ,都有 x1Lx3 ;
(ii)证明: A1A2+A2A3+⋯+An−1An>Lxn−Lx1 .
参考公式: 1+x2′=x1+x2,lnx+1+x2′=11+x2 .
高三年级针对性训练
数学试题参考答案
2026.5
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 5;13.12;14.55 .
四、解答题:共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.
(1) x=1+2+3+4+5+6+77=287=4 ,
y=11+16+18+21+24+28+297=1477=21,
i=17xi2=12+22+…+62+72=140,
b=i=17xiyi−7xyi=17xi2−7x2=672−7×4×21140−7×4×4=8428=3,a=y−bx=21−3×4=9,
所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y=3x+9 .
(2)由已知得，7 个数据中不低于 20 的有 4 个，低于 20 的有 3 个.
所以 X 所有可能的取值为0,1,2,3.
PX=0=C40C33C73=135,PX=1=C41C32C73=1235,
PX=2=C42C31C73=1835,PX=3=C43C30C73=435.
所以 X 的分布列为
所以 EX=0×135+1×1235+2×1835+3×435=6035=127 .
16.
(1)因为 AA1⊥ 平面 ABC ，且面 ABC// 面 A1B1C1 ，所以 ∠AA1C1=∠A1AC=90∘ . 又因为 AC=2A1C1=2,AA1=2 ，所以 tan∠A1AC1=22,tan∠A1CA=22 ， 故 ∠A1AC1=∠A1CA . 因为 ∠A1AC1+∠C1AC=90∘ , 所以 ∠A1CA+∠C1AC=90∘ ,则 AC1⊥A1C . 又因为 AA1⊥ 平面 ABC ,所以 AA1⊥AB ,

因为 AB⊥AC,AC∩AA1=A ,故 AB⊥ 平面 AA1C1C ,所以 AB⊥A1C .
因为 AB∩AC1=A ,所以 A1C⊥ 平面 ABC1 .
因为 A1C⊂ 平面 A1BC ,所以平面 ABC1⊥ 平面 A1BC .
(2)以 A 为原点， AB,AC,AA1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系. 因为 AB=4 ,所以 B4,0,0,C0,2,0,A10,0,2,C10,1,2 , 所以 BC=−4,2,0,CC1=0,−1,2,A1C=0,2,−2 . 设 n=x,y,z 是平面 BCC1B1 的法向量, 所以 n⋅BC=0n⋅CC1=0 ,则 −4x+2y=0−y+2z=0 ,令 x=1 ,得 n=1,2,2 . 设直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成角为 θ ,则 sinθ=csA1C,n=4−267=4221 , 所以直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 4221 .
17.
(1)因为 Snan 是公差为 12 的等差数列,且 S1a1=1 ，
所以 Snan=1+12⋅n−1=n+12 ,
所以 Sn=n+12an ,当 n≥2 时, Sn−1=n2an−1 ,
两式作差得 an=n+12an−n2an−1 ,
所以 n−1an=nan−1 ,即 anan−1=nn−1 ,
所以 an−1an−2=n−1n−2,⋯,a3a2=32,a2a1=21 ,
累乘得 ana1=n ,即 an=nn≥2 ,
当 n=1 时, a1=1 ,符合上式,
所以 an 的通项公式为 an=n .
(2)由(1)得, bn=n⋅2n+1,n为奇数,n⋅2n, n为偶数,
所以 T2n=b1+b2+b3+b4+⋯+b2n−1+b2n .
即 T2n=1×21+1+2×22+3×23+1+4×24+⋯+2n−1⋅22n−1+1+2n⋅22n ,
T2n=1×21+2×22+3×23+4×24+⋯+2n−1⋅22n−1+2n⋅22n+​​n.
令 M=1×21+2×22+3×23+4×24+⋯+2n−1⋅22n−1+2n⋅22n ,
2M=1×22+2×23+3×24+4×25+⋯+2n−1⋅22n+2n⋅22n+1,
作差得 −M=21+22+⋯+22n−2n⋅22n+1 ,
所以 −M=2×1−22n1−2−2n⋅22n+1=1−2n⋅22n+1−2 ,
所以 M=2n−1⋅22n+1+2 ,所以 T2n=2n−1⋅22n+1+2+n .
18.
(1)由题意 gx=f′x=ex−1+12x2x>0 ,所以 g′x=ex−1−1x3 ,
注意到 g′1=0 ,且 g′x 在 0,+∞ 上单调递增,
所以当 x∈0,1 时, g′x0,gx 单调递增.
所以 gx 的最小值为 g1=32 .
( 2 )因为 fx≥kx−1,x∈[1,+∞) ，所以 ex−1−12x≥kx−1 ，则 k≤ex−1−12x+1x .
设 ℎx=ex−1−12x+1x ,则 ℎ′x=ex−1+12x2⋅x−ex−1−12x+1x2=x−1ex−1+1x−1x2 .
设 φx=x−1ex−1+1x−1 ,则 φ′x=xex−1−1x2=xex−1−1x3 ,
由( 1 )知当 x∈1,+∞ 时， φ′x>0 ， φx 单调递增，
所以当 x∈[1,+∞) 时, φx≥φ1=0 ,即 ℎ′x≥0 在 [1,+∞) 上恒成立,
所以 ℎx 在 [1,+∞) 上单调递增,所以 ℎx≥ℎ1=32 ,所以 k≤32 .
(3)设 px=ex−1−12x−kx−m ，即 px 在 0,+∞ 上有且仅有一个零点.
当 x→0+ 时, px→−∞ ; 当 x→+∞ 时, px→+∞ .
所以 px 至少有一个零点.
由 px=0 得, k=ex−1−12x−mx ,设 qx=ex−1−12x−mx .
因为对任意 k∈R,px=0 有且仅有唯一解,所以 qx=k 有唯一解,
所以 qx 必为单调函数,即 q′x≥0 恒成立或 q′x≤0 恒成立.
q′x=ex−1+12x2x−ex−1−12x−mx2=x−1ex−1+1x+mx2,
因为当 x→+∞ 时, q′x→+∞ ,所以 q′x≥0 恒成立,
所以 m≥1−xex−1−1x 对任意 x∈0,+∞ 恒成立.
设 rx=1−xex−1−1x,r′x=−xex−1+1x2=−xex−1−1x3 ,
由(1)知,当 x∈0,1 时, r′x>0,rx 单调递减.
当 x∈1,+∞ 时, r′x0 ,则 gx=fx−Lx=x2−12lnx+1+x2 ,
则 g′x=121−11+x2>0 ,故 gx 在 0,+∞ 上单调递增.
注意到 x3>0 ,从而 gx3>g0=0 ,故 fx3>Lx3 ,
即 A1A2+A2A3>Lx3 .
(3)记 AiAi+1 与 C 切于点 Bi ，设 Biai,bi,i=1,2,⋯,n−1 ，
由题意知 aia1 ),
同理有 A2A3=1+a22a2−a12 ,
从而有 A1A2+A2A3=1+a12+1+a22⋅a2−a12 ,
记 Tx=1+x2+1+a12⋅x−a12 (其中 x>a1 ),
设 ux=Tx−Lx−La1 ,
=12x1+a12−a11+x2−lnx+1+x2+lna1+1+a12
u′x=121+a12−a1x1+x2−11+x2=121+a121+x2−a1x−11+x2,
注意到 1+a121+x2=1+x2+a12+a12x2≥1+2xa1+a12x2=a1x+1≥a1x+1 ,
从而 u′x≥0,ux 在 a1,+∞ 上单调递增,故 ux≥ua1=0 ,
从而 A1A2+A2A3=Ta2≥La2−La1 ,命题成立.
对于任意的 n≥3 ，
注意到 AiAi+1=AiBi+BiAi+1 ,
A1A2+A2A3+⋯+An−1An
=B1A2+A2B2+B2A3+⋯+An−2Bn−2+Bn−2An−1+An−1Bn−1
=B1A2+A2B2+B2A3+A3B3+⋯+Bn−2An−1+An−1Bn−1.
由 n=3 时情况可知
BiAi+1+Ai+1Bi+1>Lai+1−Laii=1,2,⋯,n−2,
所以 A1A2+A2A3+⋯+An−1An>Lan−1−La1 ,
注意到 Bn−1 即为 An,B1 即为 A1 ,
从而 A1A2+A2A3+⋯+An−1An>Lxn−Lx1 .
命题得证.月份
3 月
4 月
5 月
6 月
7月
8月
9 月
月份代号 x
1
2
3
4
5
6
7
月销售量 y
11
16
18
21
24
28
29
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
C
A
D
B
题号
9
10
11
答案
ABD
AD
BCD
X
0
1
2
3
P
135
12 35
18
4 35