山东省济南市2026届高三下学期5月针对性训练（三模）数学试卷（含解析）

这是一份山东省济南市2026届高三下学期5月针对性训练（三模）数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A．1B．iC．D．
2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．2
5．已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则（ ）
A．B．C．2D．4
6．已知，则（ ）
A．B．C．0D．8
7．已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（ ）
A．6B．12C．18D．24
二、多选题
9．已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．在上单调递减
D．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
10．若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（ ）
A．直线与是异面直线B．
C．若，则D．若为的中点，则
11．若数列，，，…，由m个1和n个构成，且对任意，都有，则称该数列为“数列”．记“数列”的个数为．已知数列，，，…，为“数列”，则（ ）
A．
B．若，则的最大值为
C．若，则的最小值为
D．若，则
三、填空题
12．已知向量，，则的值为________．
13．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________．
14．已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，则C的离心率为________．
四、解答题
15．国内某摩托车企2025年3月—9月新车月销售量y（单位：百台）的数据如下表：
计算得．
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)现从这7个月的月销售量数据中随机抽取3个，记抽取的数据中不低于20（单位：百台）的数据个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
16．如图，在三棱台中，平面，，且，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前2n项和．
18．已知函数．
(1)设函数，求的最小值；
(2)对任意，都有，求k的取值范围；
(3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围．
19．已知，，…，是平面直角坐标系xOy内的点，且和在抛物线上．记的坐标为，对于任意，都有，且直线与C相切．
(1)当时，证明：；
(2)已知函数．
（ⅰ）若，，证明：；
（ⅱ）证明：．
参考公式：．
参考答案
1．A
【详解】由题意得，可知虚部为.
2．B
【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以，
由正态分布的对称性得，故B正确.
3．C
【详解】或，，所以，所以A错误；
或，，所以，所以，所以B错误，C正确；
由，且集合中包含小于0的元素，而集合中没有小于0的元素可知D错误.
4．D
【详解】已知，，
则，，
所以，
则.
5．C
【详解】由得，由已知得，解得（舍去）.
6．A
【详解】可知，则含的项为，
即.
7．D
【详解】因为在内单调递增，则，
可知函数在内的值域为；
又因为在内单调递增，则，
可知函数在内的值域为；
由题意可知：，即，
令，，则，
因为，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
又因为，且，
则不等式的解集为，所以实数a的取值范围为.
8．B
【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，其中，因为，所以，
由知，所以，所以，
所以直线的方程为，
，所以直线的方程为，
因为为与的交点，所以，解得，
代入计算得，所以，
因为， ，，
由得，化简得，
所以点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），所以
，因为，所以面积的最大值为.

9．ABD
【详解】对于A：因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，即，所以，
，A正确；
对于B：由选项A分析可知，所以，
令，则定义域为，且，所以是奇函数，
所以为奇函数，B正确；
对于C：由，得，令，
因为在单调递减，在单调递增，所以在单调递减，在单调递增，C错误；
对于D：函数的图象向左平移个单位长度，得到，D正确.
10．AD
【详解】如下图所示：
对于A选项，若、共面，则、、、四点共面，即直线、共线，
即直线、共面，这与题设条件矛盾，故直线与是异面直线，A对；
对于B选项，由题意可知，，，
所以
，B错；
对于C选项，，
所以
，故，C错；
对于D选项，由题意可知，，
又因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为为的中点，所以，同理可证，故，D对.
11．BCD
【详解】对A，就是3个1和3个，要满足，第一个是1，最后一个一定是，因此数列有：；；；；共5个，A错
对B，若，即有个1和个，要使得取最大值，系数大的尽可能取1，当数列取，可以证明为最大值，B正确；
对C，若，即有个1和个，要使得取最小值，系数大的尽可能取，数列取，，可证它是最小值，C正确；
对D，对数列，由于，所以，
所以，所以数列中，可以是1也可以是，
若，则是数列，
若，则是数列，
所以，D正确.
12．5
【详解】因为，
所以.
13．/
【详解】因为是周期为2的偶函数，所以，
因为当时，，所以.
14．
【详解】延长交椭圆于点，连接，由，可知，
由椭圆的对称性可知，，，
因为，所以，所以，
设，则，所以，
则，即，解得，
所以，所以点是椭圆的上顶点，过点作轴，垂足为，
则，所以，即，
由得，所以的离心率
15．(1)
(2)分布列见解析；
【详解】（1），，，根据参考数据可得，
，
所以，故y关于x的线性回归方程为；
（2）数据中不低于20（百台）的月份：6月、7月、8月、9月，共4个；
低于20（百台）的有3个，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
；；
；；
故X的分布列为：
数学期望为.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
因为，所以，故平面平面.
（2）当时，则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，
又因为，所以，
因此直线与平面所成角的正弦值为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由是公差为的等差数列，且，
所以，所以，
当时，，解得，
当时，由得，所以，
即，所以，
所以数列为常数列，所以，即，
当时，，
所以；
（2）由（1）得，
所以
，
令①，
所以②，
由①②有：，
所以，
所以.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知：，，则，
可知在内单调递增，且，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以在内的最小值为.
（2）若，，可得，
原题意等价于在内恒成立，
令，，则，
令，，则，
由（1）可知：在内单调递增，则，
可得，可知在内单调递增，
则，可得，可知在内单调递增，
则，可得，
所以实数k的取值范围为.
（3）令，，则，
原题意等价于对任意，与在内有且仅有1个交点，
则在内的值域为，且为单调函数，
且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
可知在内单调递增，
则在内恒成立，
可得，即在内恒成立，
因为，
由（1）可知：当时，，即；
当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
可得，即，
所以实数m的取值范围为.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）如图：
因为，所以.
当时，因为，在抛物线上，
过点的抛物线的切线方程为；
过点的抛物线的切线方程为.
所以，
所以，
因为，所以，即.
（2）（ⅰ）当时，由（1）可知，，所以,,.
所以，.
所以.
令（），
则，
则，
因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增.
因为，所以，故，即.
（ⅱ）记与切于点，设，.
由题意知，，.
先证明当时命题成立：
此时即为，即为，
所以抛物线：在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为.
由（1）可知，点的横坐标为，
故（其中），
同理有，
所以，
记（其中）.
设，
则.
注意到，
从而，在上单调递增，故，
从而，命题成立.
对于任意的，
注意到，
所以.
由时情况可知，（），
所以，
注意到即为，即为，
从而，命题得证.月份
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
月份代号x
1
2
3
4
5
6
7
月销售量y
11
16
18
21
24
28
29
X
0
1
2
3
P