陕西靖边县靖边中学2025_2026学年高一下学期第一次月考数学试题 [含答案]

这是一份陕西靖边县靖边中学2025_2026学年高一下学期第一次月考数学试题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的虚部为（ ）
A．4B．C．D．2
2．已知向量，若，则（ ）
A．-3B．0C．3D．4
3．在中，，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知力作用于同一质点，使之由点移动到点，则力的合力对质点所做的功为（ ）
A．2B．C．4D．
6．已知向量与不共线，，则（ ）
A．三点共线
B．三点共线
C．三点共线
D．三点共线
7．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ）
A．80米B．100米C．112米D．120米
8．若平面向量，，满足，，，，则，夹角的余弦值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．关于向量，下列说法错误的有（ ）
A．温度、海拔、角度都是向量
B．零向量没有方向
C．若是等边三角形，则与的夹角为
D．若向量与共线，且，则
10．记的内角的对边分别为，已知，若有且只有一个，则的值可以是（ ）
A．1B．C．D．
11．已知复数在复平面内对应的点分别为，为坐标原点，则（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．若，则
三、填空题
12．已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______.
13．已知为虚数单位，且，则______.
14．如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，点A，B，C分别是半径OP，OQ及弧PQ上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则的周长的最小值是_______.
四、解答题
15．已知复数.
(1)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
(2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值.
16．在中，角、、的对边分别为、、，且.
(1)求的大小；
(2)已知，证明：是等腰三角形.
17．已知平面向量满足，且在上的投影向量为.
(1)求向量与的夹角；
(2)若，求实数的值.
18．如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)设，求的取值范围．
19．已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)求的取值范围；
(3)若，求边上的中线的取值范围.
答案
1．D
【详解】因为，所以的虚部为2.
2．A
【详解】由，得，解得.
3．D
【详解】设外接圆的半径为，则，则外接圆的面积为.
4．C
【详解】由题意知，当时，，复数，是纯虚数，充分性成立；
当复数为纯虚数时，有，
解得，必要性成立，
则“”是“复数为纯虚数”的充要条件.
5．A
【详解】依题意，，
所以合力对质点所做的功为.
6．B
【详解】对于A，因为，所以不存在常数，使得，即三点不共线，故A错误；
对于B，因为，所以，又，
所以，且点为公共点，故三点共线，故B正确；
对于C，因为，所以，又，
所以不存在常数，使得，即三点不共线，故C错误；
对于D，因为，所以不存在常数，使得，即三点不共线，故D错误.
7．B
【详解】设，由题意得，而，
得到，在中，，，
由余弦定理得，解得，故B正确.
故选：B.
8．A
【详解】设，则由，，可设，，
则，即，则
，
，
当且仅当，即时等号成立，
又，故.
故选：A.
9．ABD
【详解】选项A：温度、海拔、角度只有大小没有方向，不是向量，故A错误；
选项B：零向量的方向是任意的，故B错误；
选项C：等边三角形的角均为，则与的夹角为，
故C正确；
选项D：向量不能比较大小，故D错误．
10．AB
【详解】对于A：由正弦定理，得，所以，当时，，
又，所以，或，当时，，不合题意，
此时有且只有一个，A正确；
对于B：当时，，又，所以，或，
当时，，不合题意，此时有且只有一个，B正确；
对于C：当时，，又，所以，或，
此时有两个，C错误；
对于D：当，，此时不存在，D错误.
11．BCD
【详解】取，则，显然不能比较大小，A错误；
设，，（），则，，，
所以，B正确；
由，得，
所以，C正确；
，，
又，所以，D正确.
12．或
【详解】与共线的单位向量为，且，
所以与共线的单位向量为或.
13．-1
【详解】由得，即，
所以解得，所以.
14．
【详解】如图，作点关于线段所在的直线的对称点，连接，
由图形的对称性知，
则，
的周长，当且仅当四点共线时取等号，
，
的周长的最小值是.
故
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，
解得，即的取值范围是.
（2）当时，，
因为是关于的方程的一个根，所以，
即，整理得，
所以，解得，
即的值为，的值为.
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由及正弦定理得，
由（1）知，所以，即，
所以是等腰三角形.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，且在上的投影向量为，
则，所以.
因为
，
设向量与的夹角为，则，
又，所以.
（2）因为，所以，
所以，则，
解得.
18．(1)
(2)
【详解】（1）依题意，，
∴，
∴
（2）由已知，
因是线段上动点，则令，
，
又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，
，
在上递增，
所以，，，，
故的取值范围是．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由及正弦定理得，
，
因为，所以，
即，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以；
（2）
，
因为是锐角三角形，且，
所以，所以，
所以，
所以的取值范围为；
（3）由余弦定理得，，即，
由边上的中线为，得，
两边平方得，
由正弦定理可知，，
所以，
所以
，
由（2）知，
所以，
即，则.