江苏南菁高级中学2025_2026学年第二学期高二年级期中考试数学试题 [含答案]

这是一份江苏南菁高级中学2025_2026学年第二学期高二年级期中考试数学试题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分 考试时间120分钟
一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，每小题5分，共40分）
1. 已知函数满足，则（ ）
A. 1B. -1C. D.
【正确答案】A
【分析】利用导数的运算法则先求导，再求即可.
【详解】由题意得：，
所以，解得，
故选：A.
2. 方程的解集是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】，根据组合数的定义，应满足：，解得：，
又因为，则或，即：或，
所以或，方程的解集为.
3. 随机变量X的分布列为：
则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用分布列的性质计算即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
所以.
故选：C.
4. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据函数的对称性和单调性判断图像的大致形状，对照各个选项可得答案.
【详解】因为，所以是奇函数，函数图像关于原点对称，可排除B．
对部分求导可得：，
所以在上为负，在上为正，
所以在上单调递增，在上单调递减，
结合图像函数在时的图像形状应当是先上升再下降，同时排除A，D．
5. 已知函数在处取得极小值，则（ ）
A. B. C. 1D. 3
【正确答案】B
【分析】先对函数求导，利用极值点的导数等于0求出的可能值，再利用导数分析函数的单调性讨论求出．
【详解】函数求导得，
由题意知，
则，解得或，
当时，，
由或；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值.
当时，，
由或；由.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值.
满足条件的是．
6. 某单位安排甲、乙、丙、丁4人在国庆7天假期值班，要求每天只有1人值班，甲连续值班3天，乙连续值班2天，丙、丁各值班1天，则不同的值班安排方法种数为（ ）
A. 28B. 24C. 20D. 16
【正确答案】B
【分析】按照甲连续值班的情况分类讨论，结合排列数和组合数计算出每种情况下的安排方法种数，利用分类加法计数原理求解即可.
【详解】记国庆7天假期的编号依次为1，2，⋯，7，
则甲、乙值班安排方法的情况及相应值班安排方法种数如下表：
根据分类加法计数原理可知共有（种）不同的值班安排方法.
故选：B．
7. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】因为
所以
由全概率公式可得.
8. 设是定义在R上的连续的函数的导函数，（e为自然对数的底数），且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，然后利用函数单调性即得.
【详解】设，则，
∵，
∴，函数在R上单调递增，
又，
∴,
由，可得，
即，又函数在R上单调递增，
所以，即不等式的解集为.
故选：C．
二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，每小题6分，共18分）
9. 盒子内有7个大小相同的球编号为，其中有4个蓝球，3个红球，现从中取出3个球，则（ ）
A. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种
B. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种
C. 取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种
D. 取出的3个球中至少有1个红球的取法有种
【正确答案】AD
【详解】恰好有个蓝球：需从个蓝球中取个，个红球中取个，取法数为： . 故A正确，B错误.
至少有个蓝球（含蓝红、蓝红）：
蓝红：， 蓝红：， 总取法数. 故C错误.
至少有个红球（总取法全蓝球取法）：
总取法：， 全蓝球取法：， 总取法数. 故D正确.
10. 镇海中学在新的一年举行了首届教职工歌手大赛，共有位男教师，位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男教师”，事件表示“第二位出场的是男教师”，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】利用独立事件的乘法公式和条件概率公式，以及概率的加法公式求解即可.
【详解】事件表示第一位出场和第二位出场的都是男教师，，A错误；
表示第一位出场是男教师的情况下，剩余男女，第二位出场是男教师的概率为，
故，B正确；
，有两种情况，
第一种：第一位出场的男教师，且第二位出场的是男教师，概率为，
第二种：第一位出场的女教师，第二位出场的是男教师，概率为，
故，，C选项正确；
，D选项正确.
故选：BCD
11. 已知函数，则（）
A. 若，则直线为曲线的一条切线
B. 若，则
C. 若，函数在的切线与的图像交于另一个点，则
D. 若函数有三个零点，则
【正确答案】ACD
【分析】先代入确定函数解析式，再求导得到导函数，结合切线斜率为12列方程求出切点横坐标，代入原函数算出切点纵坐标，最后由点斜式写出并整理切线方程，验证该直线存在即可判定选项A正确；先代入得到解析式，分别求出与代入一特殊值可快速判断选项B错误；函数求导，写出切点处切线方程，联立函数与切线方程，因式分解化简得到方程根，得出两交点横坐标的关系式，进而判定选项C正确；先将三次函数因式分解为三根形式，利用导数乘积法则求出各根处导数值，代入所求代数式通分合并，化简分子恰好抵消为，整体式子值为，从而证明选项D正确.
【详解】对于选项A：当时，，
求导得.
令，即，解得或.
当时，，
曲线在点处的切线方程为，
整理得，所以直线为曲线的一条切线，故A正确.
对于选项B：当时，，
令，则f−1−1+f−1+3=f−2+f2=−50≠1 ，故B错误.
对于选项C：函数在的切线方程为，
与联立可得，
所以2x3−2x03−3a+6x2−x02+6a+1x−x0=6x02−6ax0−12x0+6a+6x−x0，
所以或2x2+x0x+x02−3a+6x+x0=6x02−6ax0−12x0，
故或2x2−3a+6−2x0x−x04x0−3a−6=0 ，
所以或x−x02x+4x0−3a−6=0 ，
所以，故，时，，故C正确.
对于选项D：，假设有三个零点，满足fxi=0i=1,2,3.
可令fx=2x3−3a+6x2+6a+1x−3a−1=2x−x1x−x2x−x3，
f'x=2x−x2x−x3+2x−x1x−x2+x−x3,
所以f'x1=2x1−x2x1−x3，
同理f'x2=2x2−x1x2−x3,f'x3=2x3−x1x3−x2，
故1f'x1+1f'x2+1f'x3=12x1−x2x1−x3+12x2−x1x2−x3+12x3−x1x3−x2
=x2−x3+x3−x1+x1−x22x1−x2x1−x3x2−x3=0 .所以D正确.
三、填空题（将答案填写在答题卡上，每小题5分，共15分）
12. 若（）的展开式中存在常数项，则的最小值为______.
【正确答案】5
【详解】展开式的通项为：，
令，得，因为，所以当时，取得最小值5.
13. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________.
【正确答案】
【分析】根据题意可知导函数在上有正有负，通过讨论的取值范围结合二阶求导分析计算即可.
【详解】因为，，所以，，
因为，所以.
设，，则.
当时，，在上单调递增，在上单调递增，
所以，此时在上单调递增，不合题意.
当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为函数在上不单调，且，所以，即，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故答案为.
14. 已知，，，则的最小值为______．
【正确答案】
【分析】对已知条件进行变形，结合同构法构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值即可.
【详解】由，得，即.
取函数，，则.
因为，所以在上单调递增，
所以，即，所以.
记，，则.
令，则，解得.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以的最小值为.
故答案为.
四、解答题 （解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，本题共5小题，共77分）
15. 已知函数.
（1）当时，求在上的单调区间；
（2）当时. 证明：，；
【正确答案】（1）在上的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明见解析
【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可.
（2）构造函数gx=fx−32x ，根据导数与最值的关系证明即可.
【小问1详解】
当时，，则.
令，即，，解得，.
当时，.
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在上的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
当时，，
令gx=fx−32x=x+sinx−32x=sinx−12x ，.
则g'x=csx−12，令，即，解得，.
当时，.
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在处取得极大值.
又g0=sin0−12×0=0 ，gπ2=sinπ2−12×π2=1−π4>0 ，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以当时，，.
16. 已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成．
（1）先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率；
（2）在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望．
【正确答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为3
【分析】（1）根据全概率公式即可计算结果.
（2）由题意可知的取值为1，3，5，然后求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望．
【小问1详解】
设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生”
则
【小问2详解】
，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队,X的可能取值为1、3、5，
则,,
故的分布列为：
数学期望为
17. 某人工智能社团有6位同学（含甲、乙），计划对、、这3种人工智能模型展开学习调研，请解答下列问题：（用数字回答）
（1）若每人必须且只能选择一种模型，则有多少种不同的安排方案?
（2）若每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型，则：
（i）共有多少种不同的安排方案？
（ii）若甲、乙不能调研同一种模型，且模型恰由2人负责，共有多少种不同的安排方案?
【正确答案】（1）729 （2）（i）540；（ii）160
【分析】（1）6位同学独立选择，每人都有3种模型可选，根据分步乘法计数原理计算即可.
（2）（i）先将6人分为3个非空组，再将3组分配到3个模型，结合分类加法计数原理计算即可.
（ii）按模型是否包含甲乙进行分组，再结合分类加法计数原理计算即可.
【小问1详解】
若每人必须且只能选择一种模型，则每人都有3种选择，
根据分步乘法计数原理，不同的安排方案有（种）.
故每人必须且只能选择一种模型，则有729种不同的安排方案.
【小问2详解】
（i）先将6人分成3组，有，，三种分法.
按分组，有种方法；
按分组，有种方法；
按分组，有种方法；
再将分好的3组全排列，安排到3种模型，有种排法.
所以共有15+60+15×6=540 种安排方案.
（ii）甲负责模型：
从除甲、乙外的4人中选1人负责模型，有种.
剩余4人分配到、两种模型，共有种，
剩余4人全在模型或模型，有2种，
所以此类方案数：4×16−2=56 种.
乙负责模型：有4×16−2=56 种.
甲、乙都不负责模型：
从剩余4人中选2人负责模型，有种.
甲负责模型，则乙负责模型，剩余2人均有2种选择，种，
乙负责模型，则甲负责模型，剩余2人均有2种选择，种，
所以此类方案数：6×4+4=48 种.
故共有种不同的安排方案.
18. 已知.
（1）当时，，求取得最大值时k的值；
（2）若f(x)=b0+b12+x+b22+x2+⋯+bn2+xn
（i）求;（用含n的式子作答）
（ii）求证：bk=j=knCnj⋅Cjk,k=1,2,⋯n.
【正确答案】（1）
（2）（i）
（ii）证明见解析.
【分析】（1）将函数直接按二项式定理展开得到各项系数，利用系数全为正的特点，通过相邻两项比较建立不等式组，解出使系数最大的项的序号；
（2）（i）通过换元把函数写成以为变量的多项式，接着对等式两边关于求导，再代入，直接得到所求系数线性组合的值；
（ii）先由二项式定理得到的表达式，再利用2的幂的二项展开和组合恒等式，将其变换为题中所求证的和式形式.
【小问1详解】
当时,,
,则，
显然时,,
设为最大项,其中,当时,
得ak≥ak−1>0ak≥ak+1>0,即10!k!10−k!410−k≥10!k−1!10−k−1!410−k−1>010!k!10−k!410−k≥10!k+1!10−k+1!410−k+1>0，
解得11−k≥4k4k+1≥10−k,即k≤115k≥65,
又因为且，经验证得.
所以取到最大值时,的值为.
【小问2详解】
（i）由题意知，，
令，则，可得2+tn=b0+b1t+b2t2+⋯+bntn，
对求导得，
即，
令，得，
所以.
（ii） 令，得
又因为,
所以，而，
代入得,
由组合恒等式可得，所以，
令，则当时，；当时，，
所以，即得证.
19. 设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质．
（1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由；
（2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围；
（3）若函数具有性质，求的取值范围．
【正确答案】（1）具有性质，理由见解析
（2）
（3）
【分析】（1）设，利用零点存在定理即可求解；
（2）由题意得存在实数，使得，即，即，设，利用导数研究单调性进而求解；
（3）由得，，设，利用导数研究单调性，根据的情况分类讨论，进而求解.
【小问1详解】
由得，，
设，
当时，，
又，
则存在，使得，即
故函数具有性质；
【小问2详解】
由得，，
因为函数具有性质，
所以存在实数，使得，
即，即，
即存在实数，使得有三个实数根
设，则，
令，解得或，列表如下：
因为函数具有性质时，的值恰有三个，
所以满足条件的的取值范围是；
【小问3详解】
由得，，
由得，，
设，，
若，则，与已知矛盾；
若，设，则，即函数是严格减函数，
所以函数是严格增函数，
又，，
则存在使得，即，
当时，，即函数严格减函数，
当时，，即函数严格增函数，
所以，
需证，令，
则，在单调递增，
所以，
所以，
则不存在，使得成立，与具有性质矛盾；
当时，，考虑函数，则，
当时，，当时，，当时，，
所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值，
所以，当时，，函数具有性质，
当且时，，
且当时，，则，
则存在满足，即成立，
所以函数具有性质，综上，.
X
1
2
3
P
a
甲
乙
不同的值班安排方法种数
1，2，3
4，5
5，6
6，7
2，3，4
5，6
6，7
3，4，5
1，2
6，7
4，5，6
1，2
2，3
5，6，7
1，2
2，3
3，4
X
1
3
5
P
0
0
+
0
↘
极小值0
↗
极大值
↘