甘肃渭源县第四高级中学2025_2026学年第二学期期中试卷高一数学（含答案）

这是一份甘肃渭源县第四高级中学2025_2026学年第二学期期中试卷高一数学（含答案），共21页。
一、单选题（本部分共8个小题，每题5分共40分）
1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】因为，
所以，
所以，
所以的虚部为.
2. 在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】因为，所以.
设，，
则.
代入，得.
又，所以，解得.
因此.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】借助完全平方公式及二倍角公式可得，结合原式计算即可得解.
【详解】由，
故，
故，故，即.
4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【正确答案】C
【分析】已知两边及其中一边所对的角，适合使用余弦定理，把已知的，，代入余弦定理，得到关于 的一元二次方程，再结合边长必须为正数确定结果.
【详解】在中，由余弦定理得，
将已知条件代入，得，
即，化简得，
整理得，因式分解得，所以或，
因为三角形边长为正数，所以.
故选项C正确.
5. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角差余弦公式计算求解.
【详解】已知，
则，
则
6. 在中，，那么此三角形（ ）
A. 解的个数不确定B. 无解
C. 有一解D. 有两解
【正确答案】B
【分析】借助正弦定理计算即可判断.
【详解】由正弦定理可得，即，
由，显然无解，故此三角形无解.
7. 已知向量与的夹角为，，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 6
【正确答案】A
【详解】由，则.
8. 枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1.某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，米，，则该塔的高度（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【正确答案】B
【分析】设，根据在A处、B处的仰角求出，然后在中利用余弦定理求解.
【详解】由题意，设，
在中，，，
在中，，，
在中，，
即，
则，（米）.
二、多选题（本部分共3个小题，每题6分共18分）
9. 已知向量，，，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 在上的投影向量坐标为
【正确答案】BCD
【详解】解：选项，由向量的模长公式，所以错误；
选项，由，可得，因为，则由向量共线的坐标公式，
可得，所以，因此正确；
选项，由，，当时，由向量垂直的坐标公式，
可得，所以，因此正确；
选项，由投影向量坐标公式可得在上的投影向量为，又，，
代入得投影向量，所以正确.
10. 中，角的对边分别是，向量，且，则下列说法正确的是（ ）
A. C=
B. 若，则
C. 若，则周长为16
D. 若，则面积的最大值为
【正确答案】ABD
【分析】利用数量积的坐标表示及和角的正弦求解判断A；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断BCD.
【详解】选项A:或,
若
若与矛盾，故，A正确.
选项B:由A知，，若,
由余弦定理得：故B正确.
选项C:,
由余弦定理得：
的周长为，故C错误.
选项D:,由余弦定理得：,
即,,
当且仅当时成立,故D正确.
11. 已知复数，是关于的方程的两根，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABC
【分析】在复数域解一元二次方程可得，，再利用复数的乘法运算、共轭复数定义、模长公式一一判定选项即可.
【详解】根据题意知，所以，
不妨令，，
则，，
，而，
故A、B、C正确，D错误.
故选：ABC
三、填空题（本部分共3个小题，每题5分共15分）
12. 若向量满足，且与的夹角为，则___________．
【正确答案】
【分析】利用数量积公式计算即可得.
【详解】.
13. 已知复数的模等于2，则实数的值为______.
【正确答案】
【详解】复数的模等于2，故，
故，解得.
14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________.
【正确答案】##0.75
【分析】利用三角形射影定理结合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方变形即可计算作答.
【详解】在中，由射影定理及得：，
由正弦定理边化角为：，于是得，
由得，，即角是钝角，，
，
当且仅当，即时取“=”，
所以tanA的最大值为.
故
四、解答题（本部分共5个小题，共77分）
15. 已知在中，为中点，.
（1）若，求；
（2）若线段上一动点满足，试确定点的位置.
【正确答案】（1）
（2）点为线段的中点
【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值；
（2）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
因为，所以，可得，
因为，，，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，
.
【小问2详解】
因为点在线段上的一点，设，其中，
则，所以，，
又因为，且、不共线，
所以，解得，此时点为线段的中点.
16. 如图，在平行四边形中，，且．
（1）证明：三点共线；
（2）连接并延长，交于点．若，证明：函数（且）恒过定点．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，结合与有公共点证明即可.
（2）根据指数型函数的性质求出恒过点，由（1）知，，根据三角形相似得到，进而得到，结合求出的值，代入点验证即可.
【小问1详解】
平行四边形中，，.
因为，所以.
，
又与有公共点，所以三点共线.
【小问2详解】
令，则，所以，
故函数（且）恒过定点.
因为，所以，则.

平行四边形中，，，
则，所以，即，
则，即，所以，
又向量与方向相反，所以.
又，则，此时点为.
故函数（且）恒过定点.
17. 已知函数.
（1）求的单调减区间及对称轴；
（2）当时，求函数的值域.
【正确答案】（1）单调减区间为；对称轴为
（2）
【分析】（1）根据三角恒等变换得，再根据正弦函数，结合整体代换求解即可；
（2）由题意知，进而结合正弦函数的性质得.
【小问1详解】
解：，
因为正弦函数的减区间为，
令，则，
解得.
所以的单调减区间为
对称轴：正弦函数的对称轴为，
令，解得
所以的对称轴为.
【小问2详解】
解：令，因为，所以，
所以，，即
所以
因此，即的值域为.
18. 记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，为的平分线，.
（1）若，，
（i）求角的大小：
（ii）求的面积：
（2）当时，求的最小值.
【正确答案】（1）
（i）（ii）
（2）
【分析】（1）（i)可利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式化简，进而求出角；
(ii)先利用余弦定理求出b，再结合三角形面积公式计算面积;
（2）可利用角平分线性质和余弦定理建立、的关系式，再结合基本不等式，即可求出的最小值.
【小问1详解】
（i）已知，由正弦定理得
整理得即
左边，因此
因为，，所以，又，故
(ii) 设，在中，已知，，，
由余弦定理得代入得，
整理得，解得​（负根舍去）

【小问2详解】
设，是角平分线，​，代入面积公式： ，代入，得

由余弦定理，​，且，
代入化简得
整理得
​ 令，，得
由基本不等式，
​，且，代入得 当且仅当​​时等号成立，故的最小值为.
19. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，且的外接圆半径为1，求的面积；
（3）若为边上一点，且，求的最大值．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和正弦公式、同角三角函数关系式中的商关系进行求解即可；
（2）根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可；
（3）根据正弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得，
又，则，
所以，
即，又，则，
所以，
所以，由，得；
【小问2详解】
由，得，
由，得，可得，
所以．
【小问3详解】
因为，
所以，
在中，由正弦定理得，所以，
又在中，，
所以
，
因为，所以，
当即时，的最大值为．