甘肃民乐县第一中学2025_2026学年高一下学期期中考试数学试题 [含答案]

这是一份甘肃民乐县第一中学2025_2026学年高一下学期期中考试数学试题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ）
A．3B．5C．6D．7
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，若满足且，则（ ）
A．B．C．D．
4．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77
A．328B．253C．007D．860
5．已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形
7．如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（ ）
A．B．C．2D．
8．某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（ ）
A．30B．60C．40或60D．30或60
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A．若与垂直，则B．若，则的值为-5
C．若，则D．若，则与的夹角为
10．下列式子化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．记的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．
B．
C．的外接圆的周长为
D．为钝角三角形
三、填空题
12．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________．
13．已知，则______．
14．在中，，，面积的最大值为______．
四、解答题
15．已知，是平面内两个不共线的向量，，，.
(1)若A，C，D三点共线，求实数m的值；
(2)若，，是钝角，求实数m的取值范围.
16．某中学举行了一次“校园学科知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩整理后，按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；
(2)估计这次竞赛成绩的平均分（各组数据以该组区间的中点值作代表）；
(3)若该中学计划奖励竞赛成绩前15%的学生，求获得奖励的学生竞赛成绩的最低分．
17．在中，内角所对的边分别为，已知且.
(1)求；
(2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求.
18．若，，且，．
(1)求和；
(2)求及．
19．已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且，
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长；
(3)若，求周长的取值范围.
《甘肃民乐县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷》答案
1．D
【详解】将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10，
因为，不是整数，
所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7.
2．A
【详解】由，可得，
因为，所以，
所以，则．
3．C
【详解】设，因为，
所以，，
因为且，
所以且，解得.
4．A
【分析】根据随机数表读法，依次读取数据，判断结果.
【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第四个数为328.
故选：A.
5．B
【详解】，，，向量在上的投影向量为.
6．C
【详解】在中，，
又可得，从而；
利用余弦定理和面积公式可将化为，
所以，从而，故是等边三角形.
7．B
【详解】由题意得，
，
又，
则由平面向量基本定理可知，，得，
则.
8．D
【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值．
【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达，
则，，，，
由正弦定理可得：，即，
．
或，
（1）若，则，为直角三角形，
；
（2）若，则，为等腰三角形，
综上，的值为30或60.
故选：D．
9．BC
【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，数量积的坐标运算，模的坐标表示，以及向量夹角的公式，逐项求解，即可得到答案.
【详解】因为向量，，
对于A中，若与垂直，可得，解得，所以A不正确；
对于B中，若，可得，解得，即，
则，所以B正确；
对于C中，若，可得，则，
所以，所以C正确；
对于D中，若，可得，则，
此时，所以D错误.
10．BCD
【分析】利用三角恒等变换计算各个选项即可.
【详解】，A选项错误；
，B选项正确；
由，
得，
所以，C选项正确；
，
D选项正确.
11．BC
【分析】根据正弦定理、余弦定理解三角形即可得到有关结论.
【详解】由正弦定理可得：，故A错误；
由余弦定理可得：，化简得，解得，故B正确;
由正弦定理可得：,所以的外接圆的周长为,故C正确;
因为，所以角为最大角，由余弦定理有，所以角为锐角，所以为锐角三角形，故D错误.
故选：BC.
12．
【详解】.
13．
【分析】根据正切的两角和公式可得，然后利用二倍角公式即得.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为.
14．
【详解】由余弦定理可得：，
，.
，当且仅当时等号成立，
，
即面积的最大值为.
15．(1)
(2)且
【分析】（1）应用三点共线结合基底列式计算求解参数；
（2）应用钝角得出向量数量积小于0及不共线计算求解参数.
【详解】（1），，
若A，C，D三点共线，即，共线，
即存在实数t使得成立，
即，即，
则，所以，
（2）是钝角，则且与不共线，
又，，，
即，即，
又与不共线，即，
综上，且.
16．(1)
(2)分
(3)分
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，结合频率和为，列出方程，即可求解；
（2）由频率分布直方图的平均数的计算公式，准确计算，即可求解；
（3）由的频率为，的频率为，得到前的学生的成绩位于之间，设获得奖励的学生竞赛成绩的最低分为，列出方程，即可求解.
【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，可得，
可得，解得.
（2）由（1）知，
由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，
所以估计这次竞赛成绩的平均分分.
（3）由题意知，前的学生对应的频率为，
因为的频率为，的频率为，
所以前的学生的成绩位于之间，
设获得奖励的学生竞赛成绩的最低分为，则，
所以获得奖励的学生竞赛成绩的最低分为分.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理将换掉，求得，再利用余弦定理即可求出；
（2）求出，在中利用余弦定理即可求出答案.
【详解】（1）因为，
由余弦定理得，
即，解得，
所以，
又，所以.
（2）将，代入得，
因为点是线段BC上靠近点的三等分点，
所以，
在中，，
所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系求解；
（2）根据两角和的余弦公式进行计算，根据的值和的范围确定的值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
又，，所以，
所以；
（2）
，
又，所以.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案；
（2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长.
（3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案.
【详解】（1）在中，因为，
所以，即，
因为所以，故 ，则；
（2）因为的面积为，即，
所以.
由余弦定理得.
解得, 所以周长为.
（3）由正弦定理得，即，
则，
因为为锐角三角形，则 ，故，
所以，则，
故，
故周长的取值范围为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
A
B
C
B
D
BC
BCD
题号
11









答案
BC