北京市第二十中学2025_2026学年第二学期期中考试试卷高一数学（含答案）

这是一份北京市第二十中学2025_2026学年第二学期期中考试试卷高一数学（含答案），共21页。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每题的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知为等差数列，且，，则（）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】由已知条件求出等差数列的公差，从而可求出
【详解】设等差数列的公差为，
由，，得
，解得，
所以，
故选：B
2. 等比数列，，，，的项数为（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据规律即可求解.
【详解】，，，，的项数为,
故选：C
3. 下列函数中，在上为增函数的是（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】结合正弦函数的单调区间判断A；利用导数，求导判断BCD选项的导函数在上的符号，进而判断其单调性即可.
【详解】对于A，由于正弦函数是周期函数，由其性质知不满足上为增函数，故A选项错误；
对于B，，y'=x−1exx2，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，不满足在上为增函数，故B选项错误；
对于C，，恒成立，所以函数在上为增函数，故C选项正确；
对于D，，y'=3x2−1=3x−33x+33，
故当时，，单调递减，当时，，单调递增，
不满足在上为增函数，故D选项错误；
4. 已知函数的图象与直线相切于点，则（）
A. 4B. 8C. 0D. -8
【正确答案】B
【分析】根据导数的几何意义直接求解出的值，再根据点在直线上求解出的值，即可计算出结果.
【详解】直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以，
又点在函数的图象上，同时也在切线上，所以，
．
则．
故选：B．
5. 已知函数，下面说法正确的是（）
A. 在上的平均变化率为1B.
C. 是的一个极大值点D. 在处的瞬时变化率为2
【正确答案】D
【分析】本题运用平均变化率公式及运用复合函数求导并根据导数的意义来作出判断.
【详解】由在上的平均变化率为，所以选项A是错误的；
利用复合函数求导法则，由，所以选项B是错误的；
因为，当时，，所以选项C是错误的；
因为，当时，，所以选项D是正确的；
故选：D.
6. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A.
B. 是极大值点
C. 的图象在点处的切线的斜率等于0
D. 在区间内一定有2个极值点
【正确答案】D
【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，，
所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误；
对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数，
因为，所以不是函数的极值点，所以B错误；
对于C中，由函数的图象，可得，
所以函数的图象在点处的切线的斜率大于，所以C不正确；
对于D中，由函数的图象，当时，；当时，；当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以D正确.
故选：D.
7. 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（）
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺
【正确答案】B
【分析】
女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.
【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，
且，故公差，
故，
故选：B.
8. 已知函数在处取得极小值，则m的值为（）
A. B. 1C. 或1D. 或2
【正确答案】A
【分析】利用极值点的导数值为0，再进行检验，即可得解.
【详解】求导得，则，
解得：或，
当时，，
由于，，，，
所以函数在时有极小值，
当时，，
由于，，，，
所以函数在时有极大值，故舍去，
故选：A.
9. 设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【详解】由题意可得：首项为正数，所以，
即对于任意的正整数,有,
因为可以推出，反之则不成立，所以是该条件的必要不充分条件.
故选：B.
10. 已知函数，若有3个零点，则a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】设求出函数的单调区间和最小值，再利用数形结合分析得解.
【详解】解：设，
令，令，
所以函数在单调递增，在单调递减.
所以.
令有三个零点.作出函数和的图象如图所示，
所以a的取值范围为.
故选：B
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知函数，则______.
【正确答案】
【分析】先求导函数，进而得，再结合导数的极限定义求解即可.
【详解】由题意知，f'x=−1x+12，，
所以limΔx→0f0+Δx−f0Δx=f'0=−1
12. 若等比数列的前项和，则公比______.
【正确答案】2
【分析】根据前项和求得，，进而求解公比即可.
【详解】因为等比数列的前项和，
所以，，
所以，，
所以等比数列的公比.
13. 已知函数，若对于任意，都有，则实数取值范围是______.
【正确答案】
【详解】函数的定义域为，，
由题意可知，对于任意，都有，
则函数在上单调递减，
所以当时，恒成立，即恒成立，
由幂函数性质可知，当时，，所以，
故实数取值范围是.
14. 已知等比数列的首项，，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为______.
【正确答案】
【分析】根据题意求得，进而求得，再解不等式得即可求得答案.
【详解】因为等比数列的首项，，
所以等比数列的公比为，
所以等比数列的通项公式为，
所以数列的前项积，
所以，即，解得，
所以时正整数的最大值为.
15. 如果数列满足不等式（其中），我们就称这个数列为“数列”，对于以下关于“数列”的四个结论：①等差数列均为“数列”；②“数列”一定是递增数列；③“数列”通项公式可以是；④“数列”中对于任意，都满足.所有正确结论的序号是__________.
【正确答案】①③④
【分析】利用等差中项的关系可判断①的正误；再根据等差数列的公差与单调性的关系判断②的正误；将等价转化为，结合可判断③的正误；利用累加法的思想可判断④的正误.
【详解】对于①，根据等差数列的性质可知，
（其中），
所以等差数列均满足不等式（其中），
所以等差数列均为“数列”，①正确；
对于②，由①可知，等差数列均为“数列”，
当公差小于0时仍然满足“数列”，
所以“数列”可能是递减数列，②错误；
对于③，等价于，
因为，所以，
因为函数为减函数，所以，
满足不等式（其中），③正确；
对于④，当时，满足，
由于对称性，不妨设，
由③可知，，
所以，
，
，即，
以此类推，，即，
所以
，
所以，④正确，
故答案为: ①③④.
关键点点睛：本题的难点在于④的判断，结合题意的不等式可得，，，，，利用累加法的思想即可证明.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，，，．
（1）求的值；
（2）求的面积.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理结合给定数据求解即可.
（2）利用余弦定理建立方程求出，最后结合三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
以及，，，得．
【小问2详解】
由余弦定理得，则，
化简得，解得或（舍去）.
故的面积为．
17. 已知函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）单调增区间单调减区间 （2）
【详解】试题分析：（1）对函数求导，令，解不等式，即得到递增区间，令，解不等式，即得递减区间；（2）若对恒成立，即对恒成立，所以问题转化为求成立即可，即求函数在区间上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在上的最小值，于是可以求出的取值范围．
试题解析：（1）令，解得或，
令，解得.
故函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
∴，
∵对恒成立，
∴，即，∴
18. 已知无穷等比数列的各项都是正数，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设无穷数列{的前n项和为，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使数列唯一确定，求数列的前n项和．
条件①：，；
条件②：，；
条件③：，．
注：如果选择的条件不符合要求，此题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由等比数列通项公式结合题意可得答案；
（2）若选①，可得是等差数列，然后由分组求和法可得答案；若选②，由与关系可得通项公式，据此可得答案；若选③，数列无法唯一确定，不满足题意；
【小问1详解】
设各项都是正数的无穷等比数列的公比为q，
由题意知，解得，（舍）．
所以的通项公式为．
【小问2详解】
选条件①
因为，，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以．
．
选条件②
由题意知，当时，．
因为，所以．
．
选③，，则是等差数列，但无法确定公差，不满足题意.
19. 已知数列的前项和为，．
（1）求的值；
（2）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（3）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（结论不要求证明）．
【正确答案】（1）；
（2）证明见解析，；
（3）数列中不存在三项，它们可以构成等差数列．
【分析】（1）分别将代入，求得的值；
（2）时，利用退位作差法得到，进而得到是等比数列，进而得到数列的通项公式；
（3）反证法，假设存在，，成等差数列，整理为，左边为偶数而右边为奇数，不相等，所以假设不成立.
【小问1详解】
由，可得，解得，
时，，即，解得，
时，，即，解得；
【小问2详解】
当时，由，可得，
两式相减可得，整理为，即，
则数列是首项为6，公比为2的等比数列，
可得，即；
【小问3详解】
不存在
假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列，
设，，成等差数列，且，，，，
即有，即为，
化为，可得，
上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立．
故数列中不存在三项，它们可以构成等差数列．
方法点睛：构造法求数列通项公式：递推关系形如的数列，构造一个以为公比的等比数列，由数列的通项公式得到数列的通项公式.
20. 已知函数.
（1）若，求的极小值；
（2）当时，求的单调递增区间；
（3）若有极大值，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据导数直接研究函数的单调性即可求得是函数的极小值点，极小值为；
（2）求导得，再结合讨论导函数在−∞,−1,−1,lna,lna,+∞上的符号即可得答案；
（3）根据（1）讨论的情况；结合（2）讨论的情况，最后结合（2）的导函数的零点讨论和时的情况即可求得答案.
【小问1详解】
当时，，，
令得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是函数的极小值点，极小值为；
【小问2详解】
函数的定义域为，，
令得，，
因为，，
所以当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以函数的单调递增区间为；
【小问3详解】
由（1）知，当时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，是函数的极小值点，无极大值点，即不存在极大值；
由（2）知，，令得，，
当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，是的极小值点，存在极大值，满足题意；
当时，，恒成立，
故在上单调递增，无极值，不满足题意；
当时，，
所以当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以是函数的极大值点，是的极小值点，存在极大值，满足题意；
综上，当a∈0,1e∪1e,+∞时，函数存在极大值.
21. 已知数列是无穷数列，.
（1）若，，写出，的值；
（2）已知数列中，求证：数列中有无穷项为；
（3）已知数列中任何一项都不等于，且，记，其中为，中较大的数. 求证：数列是递减数列.
【正确答案】（1），
（2）证明见解析（3）证明见解析
【分析】（1）直接根据递推公式计算即可；
（2）假设，再分，，三种情况讨论，得到在无穷数列中，第项后总存在数值为的项，进而证明；
（3）由题知，，再根据题意分和两种情况讨论，根据递减数列的定义证明即可.
【小问1详解】
，，，，；
【小问2详解】
，假设，
①若，则；
②若，则，；
③若，则，，
，，；
由以上过程可知，若，在无穷数列中，第项后总存在数值为的项，依次类推，数列中有无穷项为；
【小问3详解】
由，，可知，
数列中任何一项都不等于，，
①若，则，
，即.
若，则，即；
若，则，
即，
所以，即；
②若，则，
，即，
，即，
所以，即.
综上，对于一切正整数，总有，所以数列是递减数列.
关键点点睛：本题解题的关键在于根据递推公式，利用分类讨论思想，结合递减数列的定义证明目标形式对任意的正整数成立.