吉林省梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份吉林省梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量，，且，则（ ）
A．B．1C．D．4
3．已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
4．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，若把的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于点对称，则ω的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．已知为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知中，，则此三角形为（ ）
A．等边三角形B．等腰非等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
8．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．棱柱的侧面一定是平行四边形
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．棱锥的各侧面一定有一个公共点
D．棱台各侧棱的延长线交于一点
10．设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．是实数
11．如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（ ）
A．外接圆的半径为B．
C．的最大值为3D．的最大值为
三、填空题
12．____.
13．在中，点满足，若对任意，均有，则的最小值是_____.
14．已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．
四、解答题
15．已知向量，满足，，且与的夹角为.
(1)分别求与的值；
(2)若，求的值.
16．如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为，
(1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）
(2)求证;山高
17．如图，一块扇形铁皮，半径厘米，圆心角，现剪下一个扇环做圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面）．
(1)应取多少厘米？
(2)制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？（不计连接处损耗）
18．记的内角的对边分别是，已知，．
(1)证明：为等腰三角形；
(2)若边上的高为，且，求的周长．
19．对于定义域为的函数，如果存在非零常数，那么称函数具有性质.
(1)判断函数是否具有性质，并说明理由；
(2)设，证明：函数具有性质；
(3)若函数具有性质，求的取值范围.（参考公式：）
1．D
利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解作答.
【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“”的否定是：.
故选：D
2．C
由向量平行的坐标表示可求得.
【详解】因为，，且，所以，解得.
故选：C.
3．B
【详解】由题可知，向量，满足，，，
所以，
则在上的投影向量为.
4．A
利用特殊点法判断即可.
【详解】因为，
所以，故排除C；
，故排除B；
而，
所以在不可能单调递减，故排除D；
因为排除了BCD，而A又满足上述性质，故A正确.
故选：A.
5．A
根据平移写出函数解析式，可得，运算得，得解.
【详解】由题意，平移后函数解析式为，
由题意得，，
解得，，且，
当时，.
故选：A.
6．C
通过补形的方法求得正确答案.
【详解】将正四面体补形成正方体如下图所示，
正四面体的棱长为，所以正方体的边长为，
所以正方体的对角线长为，
所以正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为，
所以外接球的表面积为.
故选：C

7．A
若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状.
【详解】若是的中点，则，故，
所以，显然为等腰三角形，即，
由，可得，
又，故，故为等边三角形.
故选：A

8．D
根据条件，利用向量的中线公式及“爪子”定理，得，从而有，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为点是的中点，则，又，则，
又三点共线，则，所以，得到，
由，得到，所以，
又，则，
当且仅当，即时取等号，
所以.
9．ACD
根据棱柱的几何特征可判断AB选项；利用棱锥的定义可判断C选项；利用棱台的几何特征可判断D选项.
【详解】对于A选项，由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故A正确；
对于B选项，如图，平面平面，
但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行，故不是棱柱，故B错误；
对于C选项，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，
即必须是有一个公共顶点的几何体，故C正确；
对于D选项，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正确．
故选：ACD.
10．ABD
根据复数的四则运算、复数的模、共轭复数以及复数的定义加以计算判断.
【详解】对于A，令，则，
于是，所以A正确；
对于B，令，则，因为，
，所以B正确；
对于C，令，满足，
而，，所以C错误；
对于D，令，则，
而是实数，所以D正确.
故选：ABD.
11．BC
对于选项A，根据正弦定理可求出三角形外接圆半径；对于选项B，在两个小三角形中，分别运用正弦定理，结合中线的定义进行判断即可；对于选项C，运用余弦定理和基本不等式可验证其正确；对于选项D，结合选项C的结论，然后根据向量的模可求出其最小值为.
【详解】对于选项A：根据正弦定理可得，解得，
所以外接圆的半径为，A错误；
对于选项B：在中，，所以.
在中，，所以.
因为，
所以， B正确；
对于选项C： 根据余弦定理得，
可得，
所以，当且仅当时等号成立，此时的最大值为3，C正确；
对于选项D：因为，
所以
因为，所以，
所以，
当时，，所以，此时取最小值.
所以的最小值为，D错误.
12．
根据向量运算法则，化简整理即可.
【详解】由题意.
13．/0.8
根据给定条件，结合向量的几何意义可得，确定点的轨迹，进而求出的最小值.
【详解】在直线上取点，令，不等式，
依题意，是点与直线上任意点距离的最小值，则，
点在以为直径的圆上（除点外），当与圆相切时，最大，最小，
令，则，圆半径，，
所以的最小值为.
故答案为：
14．
建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可.
【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设点，则，，，
所以，
则，
当且仅当，时，取最小值．
15．(1)1，
(2)
（1）根据向量数量积定义和向量模的公式求解即可.
（2）根据向量垂直，可得到其数量积为0，从而可列出等式求出的值.
【详解】（1）.
.
（2）因为，
所以，解得.
16．(1)
(2)证明见解析
（1）由题意利用坡面的坡比的定义计算可得；（2）求得的的长度和正弦定理可求得山的高度.
【详解】（1）坡面的坡比为
（2）在中,
在中,根据正弦定理
所以山高为
17．(1)
(2)
（1）根据的长度等于的周长可计算出的半径，再根据几何关系可计算出的长度；
（2）根据条件先计算出上下底面的半径和母线长度，然后计算出下底面面积和侧面积，则结果可知.
【详解】（1）连接并延长交于点，过点作交于点，
因为，所以的长度为，所以的周长为，
所以，所以，
在中，，所以，
所以，
所以应取厘米.
（2）设圆台上、下底面的半径分别为，母线长为，
因为，所以的长度为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以需要的铁皮为：平方厘米，
故需要平方厘米的铁皮.
18．(1)证明见解析
(2)
（1）利用正弦定理化简条件可得，结合三角形内角关系即可证明结论；、
（2）根据可得，结合二倍角公式化简可得，从而得到，根据边上的高为​，可得，即可求解
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
因为在中，，
所以，即，
因为在中，，
所以或（舍去），
则，
则在中，，
即，
所以为等腰三角形；
（2）由（1）知因此；
因为，代入
得：，
所以，得
因为为三角形内角，，
故：，
由于，所以
因为边上的高为​，，
所以，解得：
因为，
所以
因此，
所以的周长为：
19．(1)不具有，具有，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）不具有性质，
理由：函数的定义域为，
因为；所以函数不具有性质，
具有性质，
理由：函数的定义域为，
因为，所以，
所以，故函数是否具有性质，
（2）当时，要证明函数具有性质，
，
即证，即证.
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上单调递减，
所以.
故只需，而，所以显然成立，
所以具有性质.
（3）因为函数具有性质，所以对任意的，
即，即，
即，
即.
因为的最大值为1，所以.
由参考公式，，即，即.
根据三角函数线知，当时，；又当时，，故，所以当时，.
所以当，即时，符合要求；当，即时，不符合要求.
综上，的取值范围是.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
A
A
C
A
D
ACD
ABD
题号
11









答案
BC