2026年中考数学考前20天冲刺讲义（四）

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➤图形投影与视图……………………………………………………………………………3
核心涵盖三视图识别与绘制、由视图还原几何体、小正方体组合体计数、平行与中心投影应用、视图求表面积体积五大高频考点，分值稳定占3—6分，多以选择填空形式命题，是考查空间想象能力、必须稳拿分的基础重点内容。
倒计时4天
➤锐角三角函数………………………………………………………………………………15
涵盖锐角三角函数定义、特殊角三角函数值、解直角三角形、仰角俯角坡度坡角实际应用等核心考点，分值占8–12分，选择填空与解答大题均有考查，是几何计算和实际应用题的必考主干内容。
倒计时3天
➤阅读与证明…………………………………………………………………………………47
阅读与证明以新定义理解、几何逻辑推理、类比探究、迁移拓展证明为核心考点，分值约10–14分，常作为中考压轴类解答题出现，是区分数学思维层次、拉开中考分数差距的关键拔高题型。
倒计时2天
➤图形相似……………………………………………………………………………………94
涵盖相似三角形判定与性质、相似多边形性质、位似图形、相似综合计算与几何压轴探究，分值约8–15分，贯穿选择填空、解答证明与压轴大题，是几何计算、线段求值及综合压轴解题的重要工具与拉分重点。
倒计时1天
➤押题模拟卷…………………………………………………………………………………70
倒计时5天 吃透图形投影与视图的核心考点，掌握三视图与投影的解题规律，放平心态细心观察、冷静辨析，这类基础题型定能轻松稳拿满分、稳稳守住中考基础分值。
图形投影与视图
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：
图形投影与视图属中考数学基础必考题，分值稳定在3-6分，占比3%-5%，以选择题、填空题为主，偶尔涉及简单解答题。核心考查三视图识别与绘制、由视图还原几何体、小正方体组合体计数、平行与中心投影区分、展开图及表面积/体积计算。命题注重空间想象与几何直观，难度偏低，遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则，多结合生活实物或简单组合体命题，是必须稳拿分的基础模块。
►中考前沿：
2026年仍以基础稳分为主，大概率考1道选择或填空（3-5分）。重点聚焦：组合体三视图判断、小正方体个数最值、简单几何体表面积/体积计算、平行投影实际应用。可能融入生活场景（如建筑、包装），或与展开图、相似知识简单综合，但整体难度不变，核心是考查空间观念与规范识图能力，细心审题即可稳拿满分。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 平行投影、中心投影、正投影（简单）
终极考点2 简单几何体的三视图（简单）
画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
2、常见的几何体的三视图：
圆柱的三视图：
终极考点3 简单组合体的三视图（重点）
1、观察角度判定
从正面、左面、上面三个方向观察简单正方体堆叠组合体，准确辨别主视图、左视图、俯视图。
2、三视图绘制规则
严格遵循长对正、高平齐、宽相等；看得见的棱画实线，被遮挡看不见的棱画虚线。
3、常考题型
（1）给出立体图形，判断三视图；（2）给出三视图，还原立体图形
（3）小正方体堆叠组合，根据三视图数个数、求最多最少块数；（4）判断几何体某视图的形状
终极考点4 由三视图判断几何体（重点）
第一步：看俯视图，定底面布局
俯视图决定底层小正方体的位置和行列分布，先画好地面格子框架。
第二步：看主视图，定每列最大层数
主视图从左到右有几列，对应俯视图每一列最高能堆几层。
第三步：看左视图，定每行最大层数
左视图从左到右代表前后行，限定俯视图每一行最高层数。
第四步：行列结合，逐格定层数
把主视图、左视图的层高限制叠加，每个格子确定准确层数，就能完整还原几何体。
二、快速秒杀判断技巧
1、三视图全是正方形→ 正方体；
2、三视图全是圆形→ 球；
3、两长一圆 → 竖放圆柱；
4、两三角一圆（带圆心）→ 圆锥；
5、两长一三角 → 直三棱柱；
6、两三角一方框 → 正四棱锥。
真题精研--复盘经典 把握规律
题型一 平行投影
（2026·辽宁抚顺·一模）某校数学小组在测量校园内一颗古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（ ）
A．9米B．9.2米C．9.5米D．11米
题型二 中心投影
（2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（ ）
A．36B．12C．9D．6
题型三 投影的有关计算
（2026·安徽合肥·一模）九年级学生李明想测量他家楼下的一棵松树的高度．由于松树周边有花坛，无法直接到达松树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告．
题型四 简单几何体的三视图
（2026·安徽芜湖·二模）将如图所示的几何体水平放置，则该几何体的三视图是（ ）
A．B．
C．D．
题型五 简单组合体的三视图
（2026·浙江衢州·一模）如图，是由五个相同的正方体搭成的几何体，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
解题妙法
1、定观察方向
主视图：从正面正对着看；左视图：从左面正对着看；俯视图：从正上方往下看。
2、分层分列数方块
横着分层、竖着分列，只看每一列最高有几层，只画轮廓不画内部多余线条。
3、遮挡原则
能看到的棱画实线，被挡住看不到的棱不画或画虚线。
4、排除法秒杀
先看列数，再看每列层数，直接排除行列、层数不对的选项。
题型六 由三视图还原几何体
（2026·浙江衢州·一模）如图是一个长方体的立体图和左视图，则左视图中的a的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
解题妙法
1、看俯视图定地基
俯视图画出底面所有小正方体的排布位置，先把底层框架定好。
2、看主视图定列高
主视图每一列的层数，对应俯视图每一列的最大高度。
3、看左视图定行高
左视图每一行的层数，对应俯视图每一行的最大高度；三者互相约束，逐格确定每个位置有几层方块。
题型七 由三视图判断几何体的个数
（2026·海南省直辖县级单位·一模）一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（ ）
A．4B．7C．10D．13
解题妙法
求实际总个数解法
1、先用俯视图标出每个位置格子；
2、结合主视图、左视图，逐个格子确定准确层数；
3、把所有格子层数相加，就是总个数。
题型八 由三视图求侧面积或表面积
（2026·江苏徐州·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元/，则买油毡纸要花费的费用至少为（ ）
A．8.4元B．17元C．34元D．50元
题型九 已知三视图求体积
（2026·安徽马鞍山·一模）如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型十 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
（2026·黑龙江·一模）如图①是用3个大小相同的小正方体搭成的几何体，在此基础上，再搭上若干个小正方体，使其主视图、左视图如图②所示，则至少再放小正方体的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解题妙法
求实际总个数解法
1、先用俯视图标出每个位置格子；
2、结合主视图、左视图，逐个格子确定准确层数；
3、把所有格子层数相加，就是总个数。
终极预测--压轴实战 稳拿高分
1．（2026·黑龙江牡丹江·一模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（ ）
A．10个B．9个C．8个D．7个
2．（2026·安徽马鞍山·二模）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·安徽六安·二模）如图，是一个长方体沿部分棱的中点切去两个三棱锥后得到的新几何体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·湖南长沙·二模）如图放置的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都一样的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·山西·三模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其示意图如图所示，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·安徽合肥·一模）如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
7．（2026·云南临沧·二模）下列几何体中，主视图（也称正视图）、左视图（也称侧视图）、俯视图完全相同的几何体是（ ）
A．B．C．D．
8．（2026·山东临沂·二模）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（ ）
A． B．C．D．
9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B．C．D．
10．（2026·河南·二模）如图，斗彩雉鸡牡丹纹缸图案绘制精湛、设色艳丽、画面清晰明快，鲜花怒放，枝繁叶茂，展现出姹紫嫣红、春意盎然的景致，胎体厚重但器型端庄规整，是清康熙时期的罕见之作．以下关于斗彩雉鸡牡丹纹缸的说法正确的是（ ）
A．俯视图是一个正方形B．主视图和左视图相同
C．截面可以是三角形D．侧面展开图是矩形
倒计时4天 吃透锐角三角函数定义、特殊角值与解直角三角形及实际应用核心考点，稳住心态、理清边角关系、规范步骤演算，放平节奏认真审题，就能攻克三角函数重难点，稳稳拿下中考高分。
锐角三角函数
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：
锐角三角函数为中考几何核心必考模块，分值8-10分，选择、填空、解答题均有涉及。过往命题基础与应用并重：选填题聚焦定义辨析、特殊角（30°/45°/60°）函数值计算、网格/坐标系中求三角函数值；解答题以解直角三角形实际应用为主，高频考查仰角、俯角、坡度、方位角，常考“双直角三角形”“母子三角形”模型。命题侧重建模能力、构造直角三角形转化思想，常与勾股定理、相似、圆综合，弱化繁杂计算，强调边角关系灵活运用。
►中考前沿：
2026年中考锐角三角函数命题将延续“基础稳固、应用主导、综合适度”趋势。选填题仍考查特殊角计算、定义应用、网格求值，注重基础熟练度。解答题以真实情境应用题为核心，结合本土文化、工程测量等背景，强化数学建模与识图能力。综合题将深化与圆、相似、四边形融合，出现“一题多测”探究题型，考查创新思维。命题更重素养，弱化套路，强调辅助线构造直角三角形、方程思想，难度梯度合理，中档题为主，压轴侧重综合应用
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 锐角三角函数（重点）
在Rt△ABC中，∠C=90°．
1、正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA=∠A的对边除以斜边=
2、余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
即csA=∠A的邻边除以斜边=．
3、正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=．
4、三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
终极考点2 特殊角的三角函数值（重点）
30°、45°、60°角的各种三角函数值
终极考点3 解直角三角形（重点）
一、基础概念考点
1、理解解直角三角形定义：已知直角三角形中除直角外两个元素（至少一条边），求出其余所有未知边和未知角。
2、掌握Rt△五大元素关系：两锐角互余、勾股定理、锐角三角函数边角关系。
锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；
三边之间的关系：
边、角之间的关系：sinA= =，csA =，tanA =，（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）．
三、四大基本类型考点
（在Rt△ABC中，∠C=90°，三边为a、b、c，∠A、∠B为锐角）
1、已知两条直角边a、b
解题方法：①利用勾股定理c=求斜边c；②通过tanA=a/b求锐角∠A；③利用∠B=90°-∠A求出∠B。
2、已知斜边c和一条直角边a
解题方法：①由勾股定理b=求另一直角边b；②通过sinA=a/c求出锐角∠A；③根据∠B=90°-∠A算出∠B。
3、已知斜边c和一个锐角∠A
解题方法：①利用∠B=90°-∠A求另一个锐角；②通过a=c·sinA求∠A的对边a；③通过b=c·csA求∠A的邻边b。
4、已知一条直角边a和一个锐角∠A
解题方法：①由∠B=90°-∠A求出另一个锐角；②通过c=a/sinA求斜边c；③通过b=a/tanA求另一条直角边b。
四、构造直角三角形考点（重中之重）
1、非直角三角形，通过作高、作垂线构造Rt△。
2、等腰三角形、四边形、梯形、不规则图形，作高分割成直角三角形求解。
3、网格图形中，利用格点边长直接构造直角三角形求三角函数值。
终极考点4 解直角三角形实际应用题（重点）
一、核心考查本质
把生活测量、工程建筑、航海爬坡等实际问题，抽象转化为直角三角形模型，利用锐角三角函数、勾股定理、方程思想求解边长、高度、距离、角度，是中考解答题高频必考题型。
二、四大必考专业概念
1、仰角：视线在水平线上方，向上看形成的夹角。
2、俯角：视线在水平线下方，向下看形成的夹角。
3、坡度与坡角
坡度（坡比）i=铅直高度:水平宽度 =tan坡角；
坡角：坡面与水平面的夹角。
坡度只算比值，不是角度。
4、方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体偏转的角度，如北偏东、南偏西。
三、三大经典几何模型（中考必考）
1、单直角三角形模型
直接一个直角三角形，已知边角，求高度、距离，题型最简单。
2、双直角三角形共高模型
两个直角三角形共用一条高，左右并排，常见测塔高、楼高、山高，设高为未知数，列方程求解。
3、母子直角三角形模型
大直角三角形内含小直角三角形，共公共直角边，多用于山坡、堤坝、跨河测量。
四、通用标准解题步骤
1、审题画图：根据题意画出平面几何示意图，标出已知角度、已知边长。
2、构造直角三角形：无直角就作垂线、作高，分割成直角三角形或双直角三角形。
3、设未知数：把要求的高、距离设为 x。
4、列关系式：用正弦、余弦、正切或坡度定义列出方程。
5、计算求解：代入特殊角三角函数值，规范计算。
6、作答还原：回归实际问题，写出完整答语，注意单位。
真题精研--复盘经典 把握规律
题型一 锐角三角函数的定义
（2026·海南海口·一模）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连接，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型二 特殊角的三角函数值
（2026·广东中山·二模）计算：
题型三 求角的三角函数值
（2026·广东佛山·一模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型四 利用三角函数求边长
（2026·海南海口·一模）如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则______，_______．
题型五 锐角三角函数与网格问题
（2026·四川广元·二模）如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（ ）
A．B．C．D．
题型六 锐角三角函数与最值问题
（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，分别连接，，，，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．面积的最大值为
D．面积的最大值为
题型七 锐角三角函数与翻折问题
（2026·黑龙江·一模）如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______．

题型八 解直角三角形的相关计算
（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在中，，点是边的中点，连接，将沿翻折至，交于点，连接．若，则（1）的长为____；（2）的面积为___．
解题妙法
1、已知两直角边：先用勾股定理求斜边，再用正切求锐角，互余求另一角。
2、已知斜边+一直角边：勾股定理求第三边，用正弦或余弦求锐角。
3、已知斜边+一锐角：先用互余求另一角，再用sin、cs分别求两条直角边。
4、已知一直角边+一锐角：互余求另一角，再用三角函数求斜边和另一直角边。
题型九 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
（2026·宁夏银川·一模）综合与实践
发现新知：小李同学发现这样一个命题：已知和都是锐角，若，则．他想：这个命题是真命题还是假命题呢？请同学们跟随小李同学一起探究一下吧．
(1)初步探究：小李在如图①所示的正方形网格中，取格点A，B，C（网格线的交点），经过测量发现______；
(2)尝试探究：如图②，在中，，求证：；
(3)拓展应用：如图③，在正方形中，是的中点，点在上，且，求的长；
(4)如图④，在矩形中，，点在矩形内，且，求四边形的面积．
解题妙法
构造直角三角形解题方法
1、斜三角形：过顶点作底边高，分成两个直角三角形。
2、梯形、四边形：作高分割为直角三角形和矩形。
3、网格图形：利用格点横向纵向边长，直接构直角三角形求三角函数值。
4、圆中题型：连直径、作切线，构造直角三角形。
题型十 解直角三角形的应用：俯角仰角问题
（2026·广东梅州·二模）综合与实践．
【主题】探索锐角三角函数的应用．
【背景】广东吴川“飘色”起源于清代，是一种由色板上装饰着靠色梗支撑的固定姿势人物的传统民俗艺术，其人物造型依据戏剧人物设计，内容涵盖历史故事、神话传说及现代题材等．
【素材】如图，这是“飘色”的示意图，是“飘色”的支撑杆．小明站在处，测得与支撑杆的距离米，借助测角仪观察，发现支撑杆上的点的仰角；小琪在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，支撑杆上的点的俯角，点，之间的距离是米，已知支撑杆米，小明的眼睛到地面的距离米．
【探究】
(1)求支撑杆上的长度．
(2)求支撑杆上的长度．（结果精确到米，参考数据：，）
解题妙法
1、口诀：水平线做基准，上仰下俯看视线。
2、先画水平平行线，把观测点水平线画出。
3、仰角：视线向上与水平线夹角；俯角：视线向下与水平线夹角。
4、必有双直角三角形共水平距，常设高度为x。
5、同一水平线、同一竖直高，利用两个直角三角形正切列方程联立求解。
6、技巧：只多用tan，少用正余弦，计算最简。
题型十一 解直角三角形的应用：方向角问题
（2026·江苏连云港·一模）水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，）
解题妙法
1、口诀：先定南北线，再偏东或西。
2、方位角永远以正北、正南为起始基准，不以东、西为基准。
3、先画十字坐标：上北、下南、左西、右东。
4、把所有方向角标在坐标里，利用平行线内错角相等转化角度。
5、最终一定凑出直角或特殊角三角形（30°、45°、60°）。
6、方法：标角→转化→构Rt△→用三角函数或勾股定理求解。
题型十二 解直角三角形的应用：坡度坡角问题
（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为．
(1)求的度数；
(2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数）
解题妙法
1、口诀：坡度是比值，坡角才是角；竖直比水平，就是正切值。
2、分清概念：
坡度 i= 竖直高度 h: 水平宽度 l
坡角α：坡面与水平面夹角，i=tanα
3、见到坡度，立刻拆成竖直边、水平边、坡面斜边。
4、已知坡度，直接设份数：如坡度1:，设高为x，水平宽为x。
5、用勾股定理求坡面长，再配合三角函数求边长、高度。
6、易错妙法：坡度永远不是角度，不能直接当角代入计算。
题型十三 三角函数综合
（2026·内蒙古通辽·二模）如图－1，在矩形中，，先将矩形对折得到折痕，再展开，是上一点，沿折叠使点落在上的点处，与交于点，延长交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：；
(3)如图－2，在图－1的基础上，取上的一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上的点处，求的长．
终极预测--压轴实战 稳拿高分
1．（2026·云南昆明·模拟预测）计算：．
2．（2026·河南周口·一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边的边长为，点在以为圆心，为半径的优弧上，若为“反直角三角形”，则___________．
3．（2026·河南周口·模拟预测）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米．
4．（2026·河南周口·模拟预测）如图①为一个不规则的图形，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，，已知点沿的方向以每秒1个单位的速度匀速移动，设移动的时间为秒，的长为，与之间的函数关系如图②所示．若点为曲线的最低点，则该图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·山东临沂·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知：于点于点于点，若分米，．
(1)求的长；
(2)“碓”工作时举起到最高处如图3所示，此时，于点，求点上升的高度．（结果保留一位小数．）【参考数据：，，，，，】
6．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，内接于⊙，若，，则的半径为_____．
7．（2026·河南周口·一模）我国古代数学名著《九章算术》中有记载“仰高测距”问题，传承中华数学文化．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树的 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为，然后向古树底端 C 步行米到达点 B 处，测得古树顶端 D 的仰角为，且点A，B，C在同一直线上．求古树的高度．（已知：，，结果保留整数）
8．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下：
（i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12；
（ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为；
（iii）和车库地面均与水平方向平行．
已知坡度，试根据上述信息解决以下问题：
(1)求主坡道的铅直高度；
(2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离）
①求车库高度；
②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由．
参考数据：当时，，．
9．（2026·安徽六安·二模）如图，点，是正方形边，的中点，与相交于点、连接，作交于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求的值．
10．（2026·安徽六安·二模）2025年11月6日，世界首座公铁两用双层斜拉—悬索协作体系大桥铜陵长江三桥正式通车．某数学活动小组测量主桥塔顶到江面的距离，测量方案如下：
请根据上表计算出主桥塔顶到江面的距离（即的长）（结果精确到）．
倒计时3天 潜心读懂题意、稳抓几何考点，放平心态步步严谨，中考阅读证明题定能稳稳拿满分。
阅读与证明
考情透视--把脉命题 直击重点
►命题解码：
中考数学阅读与证明题，主要考查几何全等、相似、勾股定理、特殊四边形、圆相关性质与定理应用。阅读类侧重新定义理解、规律归纳、公式类比迁移，提炼题干信息转化为数学模型。证明题聚焦逻辑推理、严谨书写、辅助线构造，考查线段、角度、位置关系论证。同时兼顾代数几何综合运算，检验审题归纳、数形结合、举一反三能力，注重步骤完整性与因果逻辑性，贴合核心素养，区分学生自主学习与逻辑推理综合水平。
►中考前沿：
阅读与几何证明是中考数学核心重难点题型，贯穿全卷中档与压轴板块，充分体现数学逻辑素养与综合应用能力。此类题目以新定义、几何模型、规律探究为载体，结合图形性质、定理推理、数形结合思想，既考查全等、相似、圆、特殊四边形等基础知识，又考验学生阅读理解、信息提炼、类比迁移与严谨推理能力。试题层次分明，由基础理解逐步延伸拓展，注重逻辑闭环与规范书写，紧扣中考命题导向，助力夯实几何思维，提升审题分析、推理论证能力，是拉开分数差距、衡量数学综合素养的关键题型。
考点抢分--核心精粹 高效速记
终极考点1 新定义数与运算（简单）
1. 新特殊数
和谐数、友好数、伴随数、对称数、完美数、勾股数、神秘数等
判断一个数是否符合定义、列举符合条件的数、证明这类数具备某种规律、整除特征。
2. 自定义四则运算
规定新符号※、☆、⊕，全新运算顺序与法则
按照题干公式代入计算、整式化简、解方程、比较大小，注意不混用小学初中旧运算律。
3. 数位新定义
两位数、三位数个位十位百位变换，轮换数、颠倒数
结合整式表示：两位数10a+b，三位数100a+10b+c，做加减、整除、倍数证明。
解题核心步骤
1. 读懂定义：圈关键词，抄准运算公式
2. 模仿举例：用简单数字代入验证规则
3. 代数一般化：用字母表示数，整式变形推导
4. 严谨证明：因式分解、配方，证明整除、定值、倍数关系
终极考点2 等式规律探究（简单）
题目给出一组连续特殊等式，先找数字变化规律，写出第n个通用式子，再用整式运算、乘法公式严格证明等式成立。
中考必考阅读大题，侧重观察→猜想→归纳→严谨代数证明，满分易丢步骤分。
高频等式类型
1. 平方差规律：相邻数、连续奇数、连续偶数平方关系2. 完全平方规律：几个数运算后凑完全平方式
3. 裂项求和规律：分数拆分、相邻分式相消4. 自然数倍数规律：连续整数乘积、定值、整除规律
解题三步走
1. 找规律：对比等式左右两边，看序号n与数字关系，用字母写出第n个一般等式。两位数、多位数统一用 10a+b、100a+10b+c 表示。
2. 代数化简：左边展开：平方差、完全平方公式、整式乘除合并同类项
3. 严谨证明：左边化简变形 = 右边，等式恒成立，完成证明。
核心考点公式
平方差：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方：(a±b)2=a2±2ab+b2
终极考点3 因式分解与恒等变形（重点）
中考高频代数阅读压轴题，题干给材料方法、数字特例，让你用因式分解、整式恒等变形，证明整除、定值、大小关系、平方规律，重逻辑、重步骤，不考难题怪题，全考公式熟练运用。
核心考查知识点
1. 乘法公式 平方差：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方：(a±b)2=a2±2ab+b22. 提公因式法、十字相乘分组分解
3. 配方变形、非负数性质4. 整式左右恒等化简、左右互推
常考三大命题类型
1. 整除性证明
把多项式因式分解，写成几个整式乘积形式，直接证明能被某数整除。
例：证明连续四个整数乘积+1一定是完全平方数。
2. 等式规律证明
左边复杂式子，通过展开、合并、因式分解、配方，化简后等于右边，完成严谨论证。
3. 大小比较与定值问题
作差法：A-B因式分解+判断正负，得出A>B或A0：同向位似，图形在原点同侧；k0、动点不能超出线段端点范围，舍去不合理解。
三、三大秒杀技巧
1. 遇直角动点：优先找直角相等，再找一个锐角相等，直接AA相似，不用算边长。
2. 遇平行线动点：动点产生平行→直接A字型、8字型相似，直接套比例。
3. 遇一线三等角动点：直线上有固定直角/等角，动点落上去，天然满足一线三等角，直接相似不用推角。
题型九 相似三角形实际应用
1．（2026·上海普陀·二模）小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜．
【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为．
(1)根据上图验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数．
【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）．
(2)根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距f的函数解析式．
(3)根据材料三抽象出数学模型（如图），镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心O到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由．
2．（2026·江苏泰州·一模）与是位似图形，且与的相似比是，若的周长是4，则的周长是_____．
题型十 位似图形
（2026·江苏无锡·一模）如图，是上的点，和是位似图形，位似中心为点，点对应点是点，与相切，若的半径为，，则的长为______．
题型十一 坐标系与位似图形
（2026·江苏无锡·二模）如图，原点O是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是2，的面积是（ ）
A．4B．8C．12D．16
终极预测--压轴实战 稳拿高分
1．（2026·广东梅州·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，以O为位似中心，在第一象限作矩形的位似图形，使矩形与矩形的位似比为，反比例函数的图象恰好经过点E，且与边交于点G．若点B的坐标为，则点G的坐标为______．
2．（2026·广东珠海·二模）根据素材，解决问题．
解决问题：
(1)如图1，求的长；
(2)如图2，以点为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，若表示球运行的水平距离，表示球的运行高度，求与之间的函数关系式；
(3)通过计算，判断球员乙的预设是否能够实现？
3．（2026·广东深圳·一模）如图，垂直于外角的角平分线于点，过作的垂线，交延长线于点，连接交于点，，，那么的长为______．
4．（2026·广东茂名·一模）如图，在中，延长斜边到点C，使，连接．若，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
5．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为．
(1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标；
(2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：；
(3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围．
6．（2026·江苏淮安·一模）如图，在中，，是中点，点在上，连接．若，，，则______．
7．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，，，．将绕的中点逆时针旋转得到，当经过点时，的长为_____．
8．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，，，，点为的中点，在射线上有点，连接，且，点，分别是，的中点，连接，则的长为_________．
9．（2026·江苏泰州·一模）如图，四边形内接于，平分，连接，延长至点，使，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求值．
10．（2026·浙江湖州·一模）如图，矩形中，对角线，交于点，点是点关于直线的对称点．连接交，于点，连接．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
倒计时1天 认真对待每一套押题模拟，放平心态查漏补缺，稳扎稳打奔赴中考，自信落笔定能超常发挥！
押题模拟卷
一、单选题
1．实数的倒数是（ ）
A．B．C．D．3
2．春节是我国传统节日，每年春节晚会的主题都不同，不仅有艺术价值，还承载着丰富的传统文化．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．“月明松影路，春满杏花山”表达了人们对自然美景的喜爱，杏花花粉的直径为0.000032米，用科学记数法表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米
4．为使太阳能热水器的光能利用率最高，要求集热板始终与太阳光线保持垂直．某日正午，户外的太阳光线与水平面的夹角为，则此时集热板与水平面夹角的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．小明要从五一广场到双塔寺，两地相距3.2千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，骑车的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要骑车多少分钟？设他骑车的时间为分钟，则列出的不等式为（ ）
A．B．
C．D．
6．若反比例函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是的直径，B，C是上两点，过点B作的切线与的延长线交于点E，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．某生物学习小组进行了绿豆发芽试验，在同等实验条件下，统计结果如下：
随着绿豆的增多，发芽的频率将会稳定在某个常数附近，由此数据可估计绿豆发芽的概率为（ ）
A．0.960B．0.948C．0.950D．0.955
9．如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上的点处，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算：=______．
12．如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花．
13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____．
14．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______．
15．如图是生活中常见的遮阳棚，结构稳固，常用于小区、公园等场所．如图，在中，，，是中线，平分，交延长线于点，则的长为________．
三、解答题
16．计算和化简
(1)计算：．
(2)化简：．
17．如图，在中，，分别是，的中点，连接，是上一点，且点到，的距离相等，连接，过点作交于点．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若四边形B的周长为，，求的长．
18．近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力．某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数．
19．为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析．
数据整理：跳绳个数记为，共分为五组：
A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）．
被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134；
被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136．
数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析：
认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空：________，________，________；并补全频数直方图．
(2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数．
(3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由．
20．阅读与思考
下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
学习任务：
(1)材料中空缺的内容是______，依据1是______．
(2)补全猜想2的证明过程．
(3)如图4，四边形是平行四边形．在平行四边形外求作两点，使得六边形是平行六边形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
21．在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解．
测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为．
任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）．
22．综合与探究
问题情境：如图，在纸片中，，点E在边上，沿折叠，得到．
(1)猜想证明：如图①，当时，交于点F，连接，．判断与的数量关系，并说明理由；
(2)拓展延伸：如图②，连接交于点G．
①连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，若，，，当与的一边垂直时，请直接写出的值．
23．如图1，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，连接．
(1)求抛物线及直线的解析式；
(2)如图2，点P是抛物线上位于第一象限的一点，过点P作x轴的垂线，交于点G，交x轴于点H，连接，设点P的横坐标为m，线段的长度为d，
①求d关于m的函数关系式；
②若为直角三角形，求m的值；
③如图3，点Q是抛物线上位于第四象限的一点，，分别与y轴交于点D和点E，，则直线恒经过一定点．设点Q的横坐标为n，请直接写出m，n的数量关系及该定点的坐标．平行投影
中心投影
正投影
光源类型
平行光线（太阳光）
点光源（路灯、台灯、手电筒）
平行光线
光线特点
互相平行
交于同一点
平行且垂直于投影面
影子方向
同一时刻影子方向一致
影子方向杂乱，不一定相同
投影方向固定垂直投影面
物高与影长
同一时刻，物高和影长成正比例
无固定比例，近大远小
平面图形投影形状大小不变
典型实例
阳光下树影、旗杆影
路灯下人影、灯光下影子
物体竖直投影、三视图
相同点
都是光线照射物体在平面上形成影子；都可利用影子进行长度、高度相关计算。
调查目的
测量李明家楼下的一棵松树的高度．
调查数据
①经查阅资料，该住宅楼的高度为；
②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到松树顶端的俯角为；
③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为，且松树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为．
建立模型
根据调查数据，画出数学图形．如图，点B，E，H，D，F在同一条直线上，， ，，．
测量工具
卷尺、测角仪器、无人机
参考数据
，，
问题解决
求松树的高度．（结果精确到）
实物图
测量工具
卷尺、测角仪……
测量示意图
测量方案及数据
在江边一点处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进到达点，点处有一高为4m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为（点，，在同一水平直线上，且，均垂直于）
参考数据
，，
．
解：方程两边同乘，得，……第一步
，……第二步
．……第三步
检验：当时，．
所以是分式方程的解……第四步
一类特殊乘法运算的研究
研究对象：两个十位数字相同，个位数字和为10的两位数相乘．
初探算法：例：；；；
．．．．．．
发现规律：可以将它们的积分解成“前积”和“后积”两部分．例：的积为4216，其中42看作“前积”，16看作“后积”．“前积”就是将十位数字与________相乘的积，“后积”就是个位数字相乘的积，“前积”乘以100加上“后积”就是这两个两位数相乘的积．
算法推理：两个两位数分别记为和，且，其中，，则上述规律表示为________．尝试对此规律进行证明．
……
奇数
4的倍数
表示结果
…
…
一般结论
_______
假设，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数，
则为4的倍数．
而不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．
②若x，y均为奇数，……
③若x，y一个是奇数一个是偶数，……
由①②③可知，猜测正确．
主题
一元二次方程整数根的探究
提出问题
小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有．
分析探究
问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明：
设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，．
推广延伸
小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题．
问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值．
解法一：由得．
具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得
，即，
从而有或③ 或④ 即或或．
当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出．
解法二：在上面，我们已经求得……
利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况
对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如，，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况．
我们已知学习过反比例函数，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0．对于部分分式我们可以令，则函数，可以看作是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的新函数．那么当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，此时的值无限接近．例如，已知部分分式，我们令，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，所以的值无限接近2． ……
课题
图形翻折变换中圆的有关问题探究
素材
如图1，在中，，，，点E、F分别是边、上的动点，连接，，在同一平面内，将沿着翻折得，M为的中点，过点M作的垂线交于点O，以长为半径作．
变换1
如图2，点E为的中点，且点P恰好落在边上，与交于点H，连接．
变换2
如图3，平分，且．
关于“射影定理”的研究报告如图①，被平行于CD的光线照射，，于点D，AB在投影面上．那么线段的投影是，线段的投影是．我们可以利用三角形相似证明，这个结论我们称为射影定理．下面为某同学的证明过程：
证明：∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，则，∴．
某数学兴趣小组利用上述结论进行了如下的探究：
已知：如图②，在矩形中，．
求作：等腰直角三角形，使等腰直角三角形的面积等于矩形面积的一半．
作法：
（1）在的延长线上截取；
（2）作线段的垂直平分线l，交于点O；
（3）以点O为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H；
（4）以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点G，连接，即为所求等腰直角三角形．
勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形
研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究．
研究方法：观察—猜想—推理证明．
研究过程：
【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形．
【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质：
（1）如图2，连接，，分别为，的中点，
，（依据1），
同理可得，，
，，∴四边形是平行四边形（依据2）．
同时可得，连接，同理可得，
．
性质1：中点四边形是平行四边形．
性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和．
（2）进一步研究发现：
性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．
勤思小组证明过程如下：
如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到，
则，，，
，，
……
关于“平行六边形”的研究报告
研究对象：平行六边形
研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定”的路径展开研究．
研究方法：观察度量—提出猜想—推理证明
研究内容：
【概念理解】如果一个凸六边形的三组对边分别平行，我们称这个凸六边形为平行六边形．如图1，在六边形中，，，，六边形就是平行六边形．其中与，与，与是三组对边，与，与，与是三组对角．
【性质探索】由平行六边形的定义，我们知道平行六边形的三组对边分别平行．除此之外，平行六边形还有什么性质呢？它的角之间有什么关系？它的边之间还有什么关系？
通过观察和度量，我们提出如下猜想：
猜想1：平行六边形相邻三个角的和都等于______，三组对角分别相等．
下面我们结合图1所示平行六边形，证明，，．
证明：如图2，连接．
六边形是平行六边形，，．
，．（依据1）
，即．
同理，，．
猜想2：如果平行六边形的一组对边相等，则另两组对边也分别相等．
如图3，若六边形是平行六边形，且，则，．
证明：分别连接．
六边形是平行六边形，
，，．
又，四边形是平行四边形．
…
底角互余梯形
概念理解：
如图1，在四边形中，，，则四边形称为底角互余梯形
性质分析：
从“角”的角度分析：①两下底角互余，即；②两上底角相加等于，即；③夹边为腰的两邻角互补，即，．
从“边”的角度分析：①上底和下底平行，即；②两腰的平方和等于上底与下底之差的平方，即．
从“特殊点”分析：……
性质求证：
在图1中，四边形是底角互余梯形，求证：．
证明：如图2，过点A作的平行线，交于点E，
又，∴四边形是平行四边形．
……
互补三角形
【概念理解】
如果两个三角形中，有两边分别相等，且两边的夹角互补，则称这两个三角形是互补三角形；反之，若两个三角形是互补三角形，那么这两个三角形有两边分别相等，且两边的夹角互补．
例如：如图①，在与中，若，，，则与是互补三角形．
【问题解决】
问题：如图②，在矩形中，，对角线与相交于点O，则与是不是互补三角形_____________（填“是”或“否”）．
【性质探索】互补三角形的性质：互补三角形的面积相等．
已知：如图③，已知与是互补三角形，，．
求证：与的面积相等．
证明：如图③，分别过点A，D作，，分别交的延长线，于点G，H，
则，
与是互补三角形，，，
，
…

三角形的旁心
【概念理解】
与三角形两条边的延长线、第三条边都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心是三角形第三条边所对内角的平分线与另外两个外角的平分线的交点，叫做三角形的旁心．如图1，平分，平分，平分，分别与，，相切，所以点O是的旁心，是的旁切圆．
【性质探索】
1．每个三角形都有_______个旁心，且所有旁心均位于三角形_______（填“内部”“边上”或“外部”）．
2．三角形的旁心到三角形三边的距离相等，且到三边的距离与三角形的边长和面积存在数量关系．
如图2，点O是的旁心，设，，所对的边长分别为a，b，c，过点O分别向，，作垂线，与边及，的延长线分别交于点E，D，F．
①求证：．
②若，求证：．
证明：①∵平分，，，
（依据）．
同理，，．
．
②∵……
垂等四边形【概念理解】
对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形．
例如，图1中的四边形的对角线与满足关系：，且，则四边形是垂等四边形．
【问题解决】
问题1：如图2，在垂等四边形中．对角线与交于点．若，，，则对角线的长为 ▲ ．
问题2：如图3，在四边形中，，，且．求证：四边形是垂等四边形．
证明：如图3，过点作的垂线，交的延长线于点．
，，
．
又，
……
主题
“错”中取义——“非法约分”的规律探究
提出问题
小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确的练习题：，，小明称之为“非法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等．
分析问题
问题. 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．
解决问题
小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为，，且该分数的“非法约分”表示为：．
提出并证明了以下命题．
命题：若分数，则必有或时，有序数对有且仅有对．
证明：依题意知，，整理，得…（*），
当时，，显然成立；
当时，，所以矛盾，舍去；
当时，，所以矛盾，舍去；
当时，因为，所以不是9的倍数，由（*）得为的倍数，所以，或，
若，则由（*）得，，由得，不是整数，舍去；
若，则由（*）得， ① ；
若，则由（*）得， ② ．
综上所述，应满足或时，有序数对有且仅有对．
故命题成立．
推广延伸
问题.若把的分子、分母中相同数字“拉长”至个得到分数，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论．
画法一：
1．以为端点画一条射线；
2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段，连接；
3．过点分别画的平行线，交线段于点，则就是线段的三等分点．
证明：
由作法可知：（依据）
由作图得：
是线段的三等分点．
画法二：
1．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，四段弧分别交于点；
2．连接，作射线
3．以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；
4．连接，交于点，则点为的一个三等分点．
证明：由作法可知：
四边形是菱形
，
．．．．．．
画法三：
1．过点任意作一条直线
2．以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交直线于点3．．．．．．．
知识链接：
已知三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心有一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．如图④，在中，分别是边的中点，相交于点，则是的三等分点，也是的三等分点．
材料一：摘自数学八上教材P79页
近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米．
材料二：摘自物理八上教材页
如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点．凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示．
材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑．
阅读素材
素材一：如图1，羽毛球双打场地为长米、宽米的矩形，球网高度米，点在上，米，点在球场内，点到距离为米，到距离为米，点到距离为米，到距离为米，为球网线（即球场的中线）．
素材二：如图2，在某次比赛中，球员甲在点的上方1米的处击球，若球的运行路线呈抛物线，在球网线正上方距地面4米处达到最高，预设球的落地点在射线上．
素材三：如图1，若球员乙在上的点上方处迎球回击，，预设球沿直线运行指向点处（如图3所示）．
试验种子粒数
100
400
600
1000
2000
3000
发芽种子粒数
96
382
570
948
1908
2850
发芽的频率
0.960
0.955
0.950
0.948
0.954
0.950
平均数
中位数
众数
方差
男同学
134
135
女同学
134
136
关于“平行六边形”的研究报告
研究对象：平行六边形
研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定”的路径展开研究．
研究方法：观察度量—提出猜想—推理证明
研究内容：
【概念理解】如果一个凸六边形的三组对边分别平行，我们称这个凸六边形为平行六边形．如图1，在六边形中，，，，六边形就是平行六边形．其中与，与，与是三组对边，与，与，与是三组对角．
【性质探索】由平行六边形的定义，我们知道平行六边形的三组对边分别平行．除此之外，平行六边形还有什么性质呢？它的角之间有什么关系？它的边之间还有什么关系？
通过观察和度量，我们提出如下猜想：
猜想1：平行六边形相邻三个角的和都等于______，三组对角分别相等．
下面我们结合图1所示平行六边形，证明，，．
证明：如图2，连接．
六边形是平行六边形，，．
，．（依据1）
，即．
同理，，．
猜想2：如果平行六边形的一组对边相等，则另两组对边也分别相等．
如图3，若六边形是平行六边形，且，则，．
证明：分别连接．
六边形是平行六边形，
，，．
又，四边形是平行四边形．
…