数学（四）-2023年中考考前20天终极冲刺攻略

这是一份数学（四）-2023年中考考前20天终极冲刺攻略，共165页。试卷主要包含了从考查的内容来看,重点涉及的有，从考查的热点来看,主要涉及的有，平行四边形的定义，平行四边形的性质，平行四边形中的几个解题模型，矩形的性质，矩形的判定，菱形的性质等内容，欢迎下载使用。

目 录 cntents
（四）
多边形与平行四边形……………………………………………………04
圆相关知识………………………………………………………………… 53
视图与投影…………………………………………………………………110
统计与概率…………………………………………………………………118
考前回练基础………………………………………………………………149
中考倒计时
5天
多边形与平行四边形
1．从考查的题型来看，主要以解答题的形式进行考查，少数以填空题或选择题的形式进行考查，属于中档题,难度一般.
2．从考查的内容来看,重点涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理；多边形与平行四边形的应用.
3．从考查的热点来看,主要涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理，多边形与平行四边形的实际综合应用.
1．多边形的相关概念
1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为．
2．多边形的内角和、外角和
1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3．正多边形
1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．
3）正n边形有n条对称轴.
4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
4．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.
5．平行四边形的性质
1）边：两组对边分别平行且相等．2）角：对角相等，邻角互补．3）对角线：互相平分．
4）对称性：中心对称但不是轴对称．
注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：
1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．
2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．
3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．
6．平行四边形中的几个解题模型
1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．
2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．
3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．
7、平行四边形的判定
1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
8．矩形的性质：
1）四个角都是直角；2）对角线相等且互相平分；3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）
9．矩形的判定：
1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；2）有三个角是直角；3）对角线相等的平行四边形．
10．菱形的性质：
1）四边相等；2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；3）面积=底×高=对角线乘积的一半．
11．菱形的判定：
1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；2）对角线互相垂直的平行四边形；3）四条边都相等的四边形．
12．正方形的性质：
1）四条边都相等，四个角都是直角；2）对角线相等且互相垂直平分；3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．
13．正方形的判定：
1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；2）一组邻边相等的矩形；
3）一个角是直角的菱形；4）对角线相等且互相垂直、平分．
14．特殊的平行四边形之间的联系
（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；
（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角．
15．中点四边形
1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.
2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
1．（2022•河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
【解答】解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：D．
2．（2022•无锡）正八边形的每一个内角都是（ ）
A．120°B．135°C．140°D．150°
【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．
【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，
每一个内角的度数为×1080°＝135°．
故选：B．
3．（2022•内江）如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】由平行四边形的得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，再证∠CBM＝∠CMB，则MC＝BC＝8，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，
故选：B．
4．（2022•襄阳）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
5．（2022•淄博）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（ ）
A．16B．6C．12D．30
【分析】连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝2，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．
【解答】解：连接AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，
∵E为AD边的中点，
∴DE＝2，
∵∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE＝2，
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠BCF，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC＝4，
∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，
∴OB＝OD＝3，
在Rt△BOC中，OC＝＝，
∴AC＝2OC＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×2×6＝6．
故选：B．
6．（2022•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A．α﹣90°B．α﹣45°C．180°﹣αD．270°﹣α
【分析】根据矩形的性质和三角形外角的性质，可以用含α的式子表示出∠2．
【解答】解：由图可得，
∠1＝90°+∠3，
∵∠1＝α，
∴∠3＝α﹣90°，
∵∠3+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α，
故选：C．
7．（2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mmB．2mmC．2mmD．4mm
【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．
【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，
∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，
∴AF约为4mm，
故选：D．
8．（2022•广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A．B．C．2﹣D．
【分析】连接EF，由正方形ABCD的面积为3，CE＝1，可得DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，即得∠EBC＝30°，又AF平分∠ABE，可得∠ABF＝∠ABE＝30°，故AF＝＝1，DF＝AD﹣AF＝﹣1，可知EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，而M，N分别是BE，BF的中点，即得MN＝EF＝．
【解答】解：连接EF，如图：
∵正方形ABCD的面积为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝，
∵CE＝1，
∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，
∵AF平分∠ABE，
∴∠ABF＝∠ABE＝30°，
在Rt△ABF中，AF＝＝1，
∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，
∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，
∵M，N分别是BE，BF的中点，
∴MN是△BEF的中位线，
∴MN＝EF＝．
故选：D．
9．（2022•眉山）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为 11 ．
【分析】多边形的内角和定理为（n﹣2）×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意可得：，
解得：n＝11，
故答案为：11．
10．（2022•邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为 48 cm2．
【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，
∴另一边长＝＝8cm，
∴它的面积为8×6＝48cm2．
故答案为：48．
11．（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 ∠A＝90°（答案不唯一） ．
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．
【解答】解：需添加的一个条件是∠A＝90°，理由如下：
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．
12．（2022•广州）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为 21 ．
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，
∵AC+BD＝22，
∴OC+BO＝11，
∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝11+10＝21．
故答案为：21．
13．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ 1 ．
【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x的值，进而求出BG的长．
【解答】解：连接AG，EG，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝4，
设CG＝x，则BG＝8﹣x，
在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得
AB2+BG2＝CE2+CG2，
即82+（8﹣x）2＝42+x2，
解得x＝7，
∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．
故答案是：1．
14．（2022•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△BEC．
（2）若CD＝4，∠F＝30°，求CF的长．
【分析】（1）先根据矩形性质得出AD∥BC，然后证得∠F＝∠BCE，再根据AAS即可证明：△AEF≌△BEC；
（2）根据矩形的性质得出∠D＝90°，然后根据∠F＝30°得出CF＝2CD即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠F＝∠BCE，
∵E是AB中点，
∴AE＝EB，
∵∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵CD＝4，∠F＝30°，
∴CF＝2CD＝2×4＝8，
即CF的长为8．
15．（2022•徐州）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
16．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证AD＝CD，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AE＝BE＝CE＝2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC，AC的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
17．（2022•淮安）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A'B'ED，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'．
【观察发现】
A'D与B'E的位置关系是 A′D∥B′E ；
【思考表达】
（1）连接B'C，判断∠DEC与∠B'CE是否相等，并说明理由；
（2）如图（2），延长DC交A'B'于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
【综合运用】
如图（3），当∠B＝60°时，连接B'C，延长DC交A'B'于点G，连接EG，请写出B'C、EG、DG之间的数量关系，并说明理由．
【分析】【观察发现】利用翻折变换的性质判断即可．
【思考表达】（1）结论：∠DEC＝∠B'CE．证明DE∥CB′即可；
（2）证明GC＝GB′，推出EG⊥CB′，即可解决问题．
【综合运用】结论：DG2＝EG2+B′C2．如图（3）中，延长DG交EB′的延长线于点T，过点D作DR⊥GA′交GA′的延长线于点R．想办法证明DE＝CB′，可得结论．
【解答】解：【观察发现】如图（1）中，由翻折的性质可知，A′D∥B′E．
故答案为：A′D∥B′E；
【思考表达】（1）结论：∠DEC＝∠B'CE．
理由：如图（2）中，连接BB′．
∵EB＝EC＝EB′，
∴∠BB′C＝90°，
∴BB′⊥B′C，
由翻折变换的性质可知BB′⊥DE，
∴DE∥CB′，
∴∠DEC＝∠B′CE；
（2）结论：∠DEG＝90°．
理由：如图（2）中，连接DB，DB′，
由翻折的性质可知∠BDE＝∠B′DE，
设∠BDE＝∠B′DE＝x，∠A＝∠A′＝y．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB＝∠CDB＝∠B′DA′，
∴∠A′DG＝∠BDB′＝2x，
∴∠DGA′＝180°﹣2x﹣y，
∵∠BEB′＝∠EBD+∠EB′D+∠BDB′，
∴∠BEB′＝180°﹣y+2x，
∵EC＝EB′，
∴∠EB′C＝∠ECB′＝∠BEB′＝90°﹣y+x，
∴∠GB′C＝∠A′B′E﹣∠EB′C＝180﹣y﹣（90°﹣y+x）＝90°﹣y﹣x，
∴∠CGA′＝2∠GB′C，
∵∠CGA′＝∠GB′C+∠GCB′，
∴∠GB′C＝∠GCB′，
∴GC＝GB′，
∵EB′＝EC，
∴EG⊥CB′，
∵DE∥CB′，
∴DE⊥EG，
∴∠DEG＝90°；
【综合运用】结论：DG2＝EG2+B′C2．
理由：如图（3）中，延长DG交EB′的延长线于点T，过点D作DR⊥GA′交GA′的延长线于点R．
设GC＝GB′＝x，CD＝A′D＝A′B′＝2a，
∵∠B＝60°，
∴∠A＝∠DA′B′＝120°，
∴∠DA′R＝60°，
∴A′R＝A′D•cs60°＝a，DR＝a，
在Rt△DGR中，则有（2a+x）2＝（a）2+（3a﹣x）2，
∴x＝a，
∴GB′＝a，A′G＝a，
∵TB′∥DA′，
∴＝，
∴＝，
∴TB′＝a，
∵CB′∥DE，
∴＝＝＝，
∴DE＝CB′，
∵∠DEG＝90°，
∴DG2＝EG2+DE2，
∴DG2＝EG2+B′C2．
18．（2022•黔西南州）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF＝45°．
（1）当BE＝DF时，求证：AE＝AF；
（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE．若DF＝a，CH＝b，请用含a，b的代数式表示EF的长．
【分析】（1）证明△ABE≌△ADF，从而得出结论；
（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，类比（1）可证得△ABE≌△ADG，进而证明△GAF≌△EAF，进一步得出结论；
（3）作HR⊥BC于R，证明△ABE≌△GRH，从而BE＝HR，在Rt△CRH中可得出HR＝b•sin45°＝，进而BE＝，根据（2）可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）解：如图1，
BE+DF＝EF，理由如下：
在CD的延长线上截取DG＝BE，
同理（1）可得：△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即：∠GAF＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴FG＝EF，
∴DG+DF＝EF，
∴BE+DF＝EF；
（3）如图2，
作HR⊥BC于R，
∴∠HRG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠ABE＝∠HRG，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵GH⊥AE，
∴∠EKG＝90°，
∴∠G+∠AEB＝90°，
∴∠G＝∠BAE，
在△ABE和△GRH中，
，
∴△ABE≌△GRH（AAS），
∴BE＝HR，
在Rt△CRH中，∠ACB＝45°，CH＝b，
∴HR＝b•sin45°＝b，
∴BE＝，
∴EF＝BE+DF＝．
1．（2023•南海区一模）正十边形的外角和是（ ）
A．144°B．180°C．360°D．1440°
2．（2023•雁塔区校级模拟）在四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，添加下列条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．AB＝CDB．AD∥BCC．AD＝BCD．∠C+∠D＝180°
3．（2023•郑州一模）在下列条件中，能够判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AB＝ACD．AC＝BD
4．（2023•增城区一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．（2023•沂水县一模）如图，直线l将正六边形ABCDEF分割成两个区域，且分别与AB、DE相交于P点、Q点．若∠APQ的外角为75°，则∠PQD的度数为（ ）
A．75°B．85°C．95°D．105°
6．（2023•惠山区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角△AEF．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②点E在线段BD上；③当∠AEC＝135°时，CE平分∠ACD；④若点F在BC上以一定的速度由B向C运动，则点F的运动速度是点E运动速度的2倍．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2023•碑林区校级四模）若一个正多边形的内角和为1260°，则该正多边形一个外角的度数为 ．
8．（2023•宝山区二模）如图，已知点E在矩形ABCD的边AD上，且BC＝EC＝8，∠ABE＝15°，那么AB的长等于 ．
9．（2023•铁东区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为8和6，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长为 ．
10．（2023•合肥模拟）如图，点P在正方形ABCD内，∠BPC＝135°，连接PA、PB、PC、PD．
（1）若PA＝AB，则∠CPD＝ ；
（2）若PB＝2，PC＝3，则PD的长为 ．
11．（2023•徐州模拟）已知：如图，E、F为平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：
（1）BE＝DF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
12．（2023•延庆区一模）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°．点M为边AD的中点，连接CM并延长，交BA的延长线于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ACDE是矩形；
（2）若BE＝10，DE＝12，求四边形BCDE的面积．
13．（2023•芜湖模拟）如图，E为菱形ABCD边BC上一点，过点E作EG⊥AD于G，交BD于F，连接DE．过点D作DM⊥BD，交BC的延长线于点M．
（1）若∠A＝4∠DEG，求证：∠M＝2∠DEG；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，BE＝4，求EF的长．
14．（2023•未央区校级三模）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
15．（2023•南海区一模）如图1，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，点E在射线AB上运动，将△AED沿ED翻折，使得点A与点G重合，连接AG交DE于点F．
（1）【初步探究】当点G落在BC边上时，求BG的长；
（2）【深入探究】在点E的运动过程中，BG是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，点P为BG的中点，连接AP，点E在射线AB上运动过程中，求AP长的最大值．

16．（2023•福建模拟）已知正方形ABCD，在BC和CD边上各有一点E，F，且CE＝CF，连接AF，EF，分别取AF，EF的中点M，N，连接DM，CN，MN．
（1）如图1，连接AE．
①求证：AE＝AF．
②求∠DMN的度数．
（2）如图2，将△CEF绕点C旋转，当△CEF在正方形ABCD外部时，连接DN，试探究DN与MN的数量关系．
1．四边形的外角和等于（ ）
A．180°B．360°C．400°D．540°
2．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝100°，若∠ABD：∠DBC＝3：2，则∠DBC的度数为何？（ ）
A．32B．40C．48D．60
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（ ）
A．2.2cmB．2.3cmC．2.4cmD．2.5cm
4．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为（ ）
A．B．C．D．
5．平行四边形ABCD中，E点在BC上，P、Q两点在AD上，其位置如图所示．若PB与AE相交于R点，QB与AE相交于S点，则下列三角形面积的大小关系，何者正确？（ ）
A．△PBE＞△QBE，△PRE＞△QSEB．△PBE＜△QBE，△PRE＜△QSE
C．△PBE＝△QBE，△PRE＞△QSED．△PBE＝△QBE，△PRE＜△QSE
6．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤
7．若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是 ．
8．如图，菱形ABCD中，∠ACD＝40°，则∠ABC＝ °．
9．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝ ．
10．如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE∥AB，则OE的长是 ．
11．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
12．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °．
13．如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
15．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．
16．已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接AF，CE，点M是CE的中点，连接DM．
（1）请你猜想AF与DM的数量关系是 ．
（2）如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．
①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN）
②求证：AF⊥DM；
③若旋转角α＝45°，且∠EDM＝2∠MDC，求的值．（可不写过程，直接写出结果）
名校预测
1．【分析】根据任意多边形的外角和等于360°解答即可．
【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，
∴正十边形的外角和是360°．
故选：C．
2．【分析】先证AD∥BC，再由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
A、由AB＝CD，AD∥BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AD∥BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
3．【分析】由平行四边形的判定方法和矩形的判定方法，即可得出结论．
【解答】解：A、∵AB＝AD，∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，不符合题意；
B、∵AC⊥BD，∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，不符合题意；
C、∵AB＝AC，∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，不符合题意；
D、∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD为矩形，符合题意；
故选：D．
4．【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出菱形边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵点E为AD的中点，OE＝3，
∴AD＝2OE＝6，
故选：B．
5．【分析】根据正六边形对边平行，得出∠EQP＝75°，根据邻补角的定义即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCDEF是正六边形，
∴AB∥DE，
∴∠EQP＝∠1＝75°，
∴∠PQD＝180°﹣∠EQP＝180°﹣75°＝105°，
故选：D．
6．【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得：∠FAE＝∠DAC＝45°，从而可判定①；由△CAF∽△DAE可得∠ADE＝∠CDE＝45°，由正方形的性质可证明△ADE≌△CDE，可得AE＝CE，即有∠EAC＝∠ECA，再由∠AEC＝135°可得∠EAC＝∠ECA＝22.5°，从而CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD，即可判定③；连接BD交AC于点O，由∠ADE＝∠CDE＝45°知，点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC，即可判断②，由知，点F的运动速度是点E的运动速度的倍，即可判断④，因而可确定答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝45°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠FAE＝∠DAC＝45°，
∵∠FAE＝∠CAF+∠CAE＝∠CAE+∠DAE＝∠DAC＝45°，
∴∠CAF＝∠DAE，
故①正确；
∵△AEF、△DAC都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵∠CAF＝∠DAE，
∴△CAF∽△DAE，
∴∠ADE＝∠ACB＝45°，即点E在线段BD上，
故②正确；
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEC＝135°，
∴，
∵∠DAC＝∠DCA＝45°＝2∠EAC＝2∠ECA，
∴CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD，
故③正确；
如图，连接BD交AC于点O，
∵∠ADE＝∠CDE＝45°，
当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，
∴点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC，
∵，且点F与点E的运动时间相同，
∴，
故④错误；
故选：C．
7．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，根据题意列方程，求出该正多边形的边数，再根据多边形的外角和为360°解答即可．
【解答】解：设该正多边形的边数为n，
根据题意列方程，得（n﹣2）•180°＝1260°，
解得n＝9．
∴该正多边形的边数是9，
∵多边形的外角和为360°，
360°÷9＝40°，
∴该正多边形的一个外角为40°．
故答案为：40°．
8．【分析】作BF⊥EC于点F，由BC＝EC，得∠CEB＝∠CBE，由矩形的性质得AD∥BC，则∠AEB＝∠CBE，所以∠AEB＝∠CEB，则AB＝FB，由∠ABC＝90°，∠ABE＝15°，得∠CEB＝∠CBE＝75°，则∠BCF＝30°，所以AB＝FB＝BC＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：作BF⊥EC于点F，则∠BFC＝90°，
∵BC＝EC＝8，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
∵AB⊥EA，FB⊥EC，
∴AB＝FB，
∵∠ABC＝90°，∠ABE＝15°，
∴∠CEB＝∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣15°＝75°，
∴∠BCF＝180°﹣∠CEB﹣∠CBE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴AB＝FB＝BC＝×8＝4，
故答案为：4．
9．【分析】由菱形的性质可得AO＝CO＝4，DO＝BO＝3，AC⊥BD，由勾股定理可求AB的长，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝4，DO＝BO＝3，AC⊥BD，
∴AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DE，
∴×8×6＝5•DE，
∴DE＝，
故答案为：．
10．【分析】（1）根据正方形的性质得到AD＝AB，求得PA＝AD，设∠APB＝α，则∠BAP＝180°﹣2a，根据周角的定义即可得到结论；（2）如图，过C作 CQ⊥CP，过P作PQ⊥PB，PQ与CQ相交于Q，连接BQ，推出△PCQ为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到BQ＝PD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∵PA＝AB，
∴PA＝AD，
设∠APB＝α，则∠BAP＝180°﹣2a，
∴∠PAD＝2α﹣90°，∠APD＝＝135°﹣α，
∵∠BPC＝135°，
∴∠CPD＝360°﹣（135°﹣α）﹣a﹣135°＝90°；
故答案为：90°；
（2）如图，过C作CQ⊥CP，过P作PQ⊥PB，PQ与CQ相交于Q，连接BQ，
∵∠BPC＝135°，
∴∠CPQ＝45°，
∴△PCQ为等腰直角三角形，
∵PC＝3，
∴，
∵CD＝BC，∠PCD＝∠QCB，PC＝CQ，
∴△DCP≌△BCQ（SAS），
∴BQ＝PD，
在Rt△PBQ中，PB2+PQ2＝BQ2，
∵PB＝2，
∴．
11．【分析】（1）证△BAE≌△DCF（SAS），即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得BE＝DF，∠1AEB＝∠CFD，再证BE∥DF，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAE+∠BAC＝180°，∠DCF+∠DCA＝180°，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（SAS），
∴BE＝DF；
（2）由（1）可知，△BAE≌△DCF，
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∴BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
12．【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠MAE＝∠MDC，而MA＝MD，即可证明△MAE≌△MDC，得ME＝MC，则四边形ACDE是平行四边形，因为∠ACD＝∠BAC＝90°，所以四边形ACDE是矩形；
（2）由AE＝CD，AB＝CD，∠AED＝90°，得DE⊥BE，AE＝AB＝CD＝BE＝5，则S四边形BCDE＝×（5+10）×12＝90．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MAE＝∠MDC，
∵点M为边AD的中点，
∴MA＝MD，
在△MAE和△MDC中，
，
∴△MAE≌△MDC（ASA），
∴ME＝MC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴四边形ACDE是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，
∴AE＝CD，AB＝CD，∠AED＝90°，
∴DE⊥BE，
∵BE＝10，DE＝12，
∴AE＝AB＝CD＝BE＝×10＝5，
∵BE∥CD，
∴S四边形BCDE＝×（5+10）×12＝90，
∴四边形BCDE的面积是90．
13．【分析】（1）设∠DEG＝α，则∠A＝4α，由菱形的性质得到∠ABD＝∠CBD＝∠BDC＝90°﹣2α，再证∠M＝2α，即可得出结论；
（2）先证DM＝EM＝EC+CM＝6，再由勾股定理得BD＝8，然后证△FBE∽△MBD，得＝，即可得出结论．
【解答】（1）证明：设∠DEG＝α，则∠A＝4α，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣4α，∠ABD＝∠CBD＝∠BDC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BDC＝90°﹣2α，
∵DM⊥BD，
∴∠BDM＝90°，
∴∠M＝90°﹣∠CBD＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，
∴∠M＝2∠DEG；
（2）解：由（1）可知，∠CDM＝90°﹣∠BDC＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，
∴∠M＝∠CDM，
∴CD＝CM＝5，
∵EG⊥AD，
∴∠BEG＝90°，
∴∠DEM＝180°﹣∠BEG﹣∠DEG＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∴∠EDM＝180°﹣∠DEM﹣∠M＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α＝90°﹣α，
∴∠DEM＝∠EDM，
∴DM＝EM＝EC+CM＝1+5＝6，
∴BM＝BC+CM＝5+5＝10，
∴BD＝＝＝8，
∵∠BEF＝∠BDM＝90°，∠FBE＝∠MBD，
∴△FBE∽△MBD，
∴＝，
即＝，
解得：EF＝3，
即EF的长为3．
14．【分析】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；
（2）同（1）的方法证出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝4即可．
【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵正方形ABCD
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°
且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
②解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG
∴AC＝AE+CE＝AB＝×2＝4，
∴CE+CG＝4 是定值．
15．【分析】（1）由翻折得：DG＝AD＝12，根据勾股定理可得CG＝＝＝4，再由BG＝BC﹣CG，即可求得答案；
（2）以D为圆心，AD长为半径作⊙D，可得点G在⊙D上运动，当点G在线段BD上时，BG最小，此时，BG＝BD﹣DG，由勾股定理可得BD＝4，即可求得BG的最小值为4﹣12；
（3）以D为圆心，AD长为半径作⊙D，延长BA至H，使AH＝BA＝8，连接GH，根据三角形中位线定理可得AP＝GH，则AP最大时，GH最大，由于点G在⊙D上运动，当HG经过点D时，GH最大，即可求得答案．
【解答】解：（1）当点G落在BC边上时，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝12，CD＝AB＝8，∠B＝∠C＝90°，
由翻折得：DG＝AD＝12，
在Rt△CDG中，CG＝＝＝4，
∴BG＝BC﹣CG＝12﹣4；
（2）如图2，以D为圆心，AD长为半径作⊙D，
由翻折得：DG＝AD＝12，
∴点G在⊙D上运动，
当点G在线段BD上时，BG最小，此时，BG＝BD﹣DG，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝4，
∴BG＝BD﹣DG＝4﹣12，
故在点E的运动过程中，BG存在最小值，BG的最小值为4﹣12；
（3）如图3，以D为圆心，AD长为半径作⊙D，延长BA至H，使AH＝BA＝8，连接GH，
∵AH＝BA，
∴点A是BH的中点，
∵点P为BG的中点，
∴AP是△BGH的中位线，
∴AP＝GH，
则AP最大时，GH最大，
由翻折得：DG＝AD＝12，
∴点G在⊙D上运动，
当HG经过点D时，GH最大，如图4，
在Rt△ADH中，HD＝＝＝4，
∴GH＝HD+DG＝4+12，
∴AP＝GH＝2+6，
故点E在射线AB上运动过程中，AP长的最大值为2+6．
16．【分析】（1）①由正方形的性质得AB＝AD＝BC＝DC，∠ABE＝∠ADF＝90°，因为CE＝CF，所以BE＝DF，即可证明△ABE≌△ADF，得AE＝AF；
②由∠ADF＝90°，M、N分别是AF＝EF的中点，得DM＝AM＝FM，MN∥AE，则∠MDA＝∠DAF＝∠BAE，∠FMN＝∠FAE，即可求得∠DMN＝∠FMD+∠FMN＝∠DAF+∠BAE+∠FAE＝90°；
（2）连接AC、AE，则AE＝2MN，由CE＝CF，∠ECF＝90°，点N是EF的中点，得CN⊥EF，CN＝EN＝FN，则∠CNE＝90°，∠NCE＝∠NEC＝45°，由AD＝CD，∠ADC＝90°，得∠DCA＝∠DAC＝45°，则＝＝sin45°＝，∠DCN＝∠ACE＝45°+∠DCE，即可证明△DCN∽△ACE，得＝＝，则＝，所以DN＝MN．
【解答】解：（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝DC，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∵CE＝CF，
∴BC﹣CE＝DC﹣CF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
②∵∠ADF＝90°，M、N分别是AF＝EF的中点，
∴DM＝AM＝FM＝AF，MN∥AE，
∴∠MDA＝∠DAF，∠FMN＝∠FAE，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴∠MDA＝∠BAE，
∴∠FMD＝∠DAF+∠MDA＝∠DAF+∠BAE，
∴∠DMN＝∠FMD+∠FMN＝∠DAF+∠BAE+∠FAE＝∠DAB＝90°．
（2）DN＝MN，理由如下：
如图2，连接AC、AE，
∵M、N分别是AF、EF的中点，
∴AE＝2MN，
∵CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴CN⊥EF，CN＝EN＝FN＝EF，
∴∠CNE＝90°，
∴∠NCE＝∠NEC＝45°，
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴＝＝sin45°＝，
∵∠DCN＝∠ACE＝45°+∠DCE，
∴△DCN∽△ACE，
∴＝＝，
∴＝，
∴DN＝MN．
专家押题
1．【分析】多边形的外角和都等于360°，所以四边形的外角和为360°．
【解答】解：∵多边形外角和等于360°，
∴四边形的外角和等于360°．
故选：B．
2．【分析】首先根据平行四边形的性质求得∠ABC的度数，然后根据∠ABD：∠DBC＝3：2求得答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝100°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
∵∠ABD：∠DBC＝3：2，
∴∠DBC＝80°×＝32°，
故选：A．
3．【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，根据勾股定理求出AC，进而求出BD、OD，最后根据三角形中位线求出EF的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），
∴BD＝10cm，DO＝5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝OD＝2.5cm，
故选：D．
4．【分析】Rt△ABO中，sin∠ABO＝＝，而∠ABO＝∠AFE＝∠DFC，即可求解．
【解答】解：设AC与BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，AD＝AB，
∴AC⊥OD，AO＝AC＝4，DO＝BO＝BD＝3，
由勾股定理得到：AD＝AB＝＝5，
在Rt△ABO中，sin∠ABO＝＝，
∵∠EAF+∠AFE＝90°，∠FAE+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠AFE＝∠DFC，
∴sin∠DFC＝，
故选：D．
5．【分析】根据平行线之间的距离处处相等，可得△PBE、△QBE有同底和相等的高，即可得△PBE的面积＝△QBE的面积；由图可得△BRE的面积＞△BSE的面积，可得△PRE的面积＜△QSE的面积．即可判断．
【解答】解：①△PBE、△QBE如图所示：
两个三角形有相同的底BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵平行线之间的距离处处相等，
∴△PBE、△QBE有相等的高，
∴△PBE的面积＝△QBE的面积；
②∵△PBE的面积＝△QBE的面积，
∴△PRE的面积+△BRE的面积＝△QSE的面积+△BSE的面积，
由图可知：△BRE的面积＞△BSE的面积，
∴△PRE的面积＜△QSE的面积．
故选：D．
6．【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS）即可解决问题．
②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．
④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
⑤正确．当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，利用勾股定理构建方程可得x＝即可解决问题．
【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝BE，
∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，
∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，
∵﹣＜0，
∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，
当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，
在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，
解得x＝，
∴AG＝GD，故⑤正确，
故选：D．
7．【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设该多边形的边数为n，
根据题意，得，（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
故这个多边形的边数为6．
故答案为：6
8．【分析】由菱形的性质得出AB∥CD，∠BCD＝2∠ACD＝80°，则∠ABC+∠BCD＝180°，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠BCD＝2∠ACD＝80°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣80°＝100°；
故答案为：100．
9．【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE＝∠BEC，即可得CB＝CE，利用等腰三角形的性质可得BF＝EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠BEC，
∴CB＝CE．
∵CF⊥BE，
∴BF＝EF．
∵G是AB的中点，
∴GF是△ABE的中位线，
∴GF＝AE，
∵AE＝4，
∴GF＝2．
故答案为2．
10．【分析】由菱形的性质得出AB＝4，再由三角形中位线定理即可得出OE的长．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，OA＝OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝2，
故答案为：2．
11．【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
【解答】解：方法一：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，
∴▱ABCD的A点和C点关于点O中心对称，
∵A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
方法二：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点A和C关于对角线的交点O对称，
又∵O为原点，
∴点A和C关于原点对称，
∵点A（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
12．【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2+∠BCP＝45°＝∠1+∠BCP，由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
13．【分析】（1）由ASA证△PBE≌△QDE即可；
（2）由全等三角形的性质得出EP＝EQ，同理△BME≌△DNE（ASA），得出EM＝EN，证出四边形PMQN是平行四边形，再由对角线PQ⊥MN，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，
，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）如图所示：
由（1）得：△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴平行四边形PMQN是菱形．
14．【分析】（1）根据菱形的性质得出OB＝OD，再由点E是AD的中点，所以，AE＝DE，进而判断出OE是三角形ABD的中位线，得到AE＝OE＝AD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝＝3，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
15．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBE；
（2）由全等三角形的性质可求∠CEB＝70°，由三角形的外角的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
又∵∠AEC＝140°，
∴∠CEB＝70°，
∵∠DEC+∠CEB＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝110°，
∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，
∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝110°﹣45°＝65°．
16．【分析】（1）根据题意合理猜想即可；
（2）①延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN，先证明△MNC≌△MDE，再证明△ADF≌△DCN，得到AF＝DN，故可得到AF＝2DM；
②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；
③依题意可得∠AFD＝∠EDM＝30°，可设AG＝k，得到DG，AD，FG，ED的长，故可求解．
【解答】解：（1）猜想AF与DM的数量关系是AF＝2DM，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠ADC＝90°，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE，
∵M是CE的中点，
∴CE＝2DM，
∴AF＝2DM，
故答案为：AF＝2DM；
（2）①AF＝2DM仍然成立，
理由如下：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN，
∵M是CE中点，
∴CM＝EM，
又∠CMN＝∠EMD，
∴△MNC≌△MDE（SAS），
∴CN＝DE＝DF，∠MNC＝∠MDE，
∴CN∥DE，
又AD∥BC
∴∠NCB＝∠EDA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠BCD＝90°＝∠EDF，
∴∠ADF＝∠DCN，
∴△ADF≌△DCN（SAS），
∴AF＝DN，
∴AF＝2DM；
②∵△ADF≌△DCN，
∴∠NDC＝∠FAD，
∵∠CDA＝90°，
∴∠NDC+∠NDA＝90°，
∴∠FAD+∠NDA＝90°，
∴AF⊥DM；
③∵α＝45°，
∴∠EDC＝90°﹣45°＝45°
∵∠EDM＝2∠MDC，
∴∠EDM＝∠EDC＝30°，
∴∠AFD＝30°，
过A点作AG⊥FD的延长线于G点，∴∠ADG＝90°﹣45°＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
设AG＝k，则DG＝k，AD＝AG÷sin45°＝k，
FG＝AG÷tan30°＝k，
∴FD＝ED＝k﹣k，
故＝．
中考倒计时
04天
圆相关知识
1．从考查的题型来看，填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查，多数题目较难，属于中、高档题。
2．从考查的内容来看,主要涉及的有：圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)，圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积，圆锥的侧面积)。
3．从考查的热点来看，主要涉及的有：圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)；圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积，圆锥的侧面积)，阴影部分的面积。
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
五、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．(1)dr⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
六、切线的性质与判定
1．切线的性质
1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
七、三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
八、正多边形的有关概念
正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
九、与圆有关的计算公式
1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
2．圆锥与侧面展开图
1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
1．（2022•巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（ ）
A．B．C．1D．2
【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°，，
∴AE＝AC•cs∠BAC＝3，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故选：C．
2．（2022•长沙）如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的度数为（ ）
A．32°B．52°C．64°D．72°
【分析】利用切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，然后利用四边形内角和是360°，进行计算即可解答．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠AOB＝128°，
∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠AOB＝52°，
故选：B．
3．（2022•台湾）如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？（ ）
A．3B．4C．D．
【分析】根据垂径定理可以得到CD的长，根据题意可知OD＝3，然后根据勾股定理可以求得OC的长．
【解答】解：作OD⊥AB于点D，如图所示，
由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3，
∴AB＝8，
∴AD＝BD＝4，
∴CD＝2，
∴OC＝＝＝，
故选：D．
4．（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3，
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴3＜r＜5，
故选：C．
5．（2022•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°
【分析】先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数即可．
【解答】解：∵∠AOC＝160°，
∴∠ADC＝∠AOC＝80°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，
故选：B．
6．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2
【分析】根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．
【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝﹣
＝2.25πm2．
故选：D．
7．（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝ 62 °．
【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．
【解答】解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，
∴∠D＝∠ABC＝62°，
故答案为：62．
8．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 90° ．
【分析】根据已知，列出关于α，β的方程组，可解得α，β的度数，即可求出答案．
【解答】解：根据题意得：，
解得，
∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，
故答案为：90°．
9．（2022•包头）如图，已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦．若AB＝2，则劣弧的长为 π ．
【分析】根据勾股定理的逆定理和弧长的计算公式解答即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为2，
∴AO＝BO＝2，
∵AB＝2，
∴AO2+BO2＝22+22＝＝AB2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴的长＝＝π．
故答案为：π．
10．（2022•遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；
（参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为 33792 千米．
【分析】根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：作OK⊥BC，则∠BKO＝90°，
∵BC∥OA，∠AOB＝28°，
∵∠B＝∠AOB＝28°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
∴BK＝OB×csB≈6400×0.88＝5632，
∴北纬28°的纬线长C＝2π•BK
≈2×3×5632
＝33792（千米）．
故答案为：33792．
11．（2022•玉林）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是 1 ．
【分析】先求出弧长BD＝CD+BC，再根据扇形面积公式：S＝lR（其中l为扇形的弧长，R是扇形的半径）计算即可．
【解答】解：由题意的长＝CD+BC＝1+1＝2，
S扇形ABD＝••AB＝×2×1＝1，
故答案为：1．
12．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 2+1 ．
【分析】连接OE、OF，根据正切的定义求出∠ABC，根据切线长定理得到∠OBF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：当⊙O与BC、BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值，
设⊙O与BC、BA的切点分别为E、F，连接OE、OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，
∵AC＝6，BC＝2，
∴tan∠ABC＝＝，AB＝＝4，
∴∠ABC＝60°，
∴∠OBF＝30°，
∴BF＝＝，
∴AF＝AB﹣BF＝3，
∴OA＝＝2，
∴AD＝2+1，
故答案为：2+1．
13．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD＝．
即CD的长为：．
14．（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD＝，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO＝tan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长＝．
15．（2022•攀枝花）如图，⊙O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与⊙O相切于点C．
（1）求证：∠PCB＝∠PAD；
（2）若⊙O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠PCB+∠OCB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB，根据圆周角定理得到∠ADF＝∠OBC，等量代换证明结论；
（2）连接OD，根据直角三角形的性质求出∠ODF＝30°，根据三角形的面积公式得到S△CFB＝S△DFO，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CP与⊙O相切，
∴OC⊥PC，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∵AB⊥DC，
∴∠PAD+∠ADF＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
由圆周角定理得：∠ADF＝∠OBC，
∴∠PCB＝∠PAD；
（2）解：连接OD，
在Rt△ODF中，OF＝OD，
则∠ODF＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∵AB⊥DC，
∴DF＝FC，
∵BF＝OF，AB⊥DC，
∴S△CFB＝S△DFO，
∴S阴影部分＝S扇形BOD＝＝π．
16．（2022•陕西）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延长OA至点C，使AC＝8，连接BC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BA，与⊙O交于点E，作弦BF＝BE，连接EF，与BO的延长线交于点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
【分析】（1）根据题意可得，∠OAB＝∠BAC＝90°，以此推出△OAB∽△BAC，根据相似三角形的性质可得∠BOA＝∠ABC，以此得到∠OBA+∠ABC＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）过点O作OG⊥BF于点G，根据题意可证明Rt△BOG≌Rt△BOA，以此得到BD平分∠FBE，则BD⊥EF，DF＝DE，再根据sin∠OBA＝＝＝，以此即可求解．
【解答】（1）证明：∵OA＝2，AB＝4，AC＝8，
∴，
∵∠OAB＝∠BAC＝90°，
∴△OAB∽△BAC，
∴∠BOA＝∠ABC，
∵∠OBA+∠BOA＝90°，
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
即∠OBC＝90°，
∵OB为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OG⊥BF于点G，
∵OG⊥BF，OA⊥BE，弦BF＝BE，
∴BG＝AB，
∵OB＝OB，
∴Rt△BOG≌Rt△BOA（HL），
∴∠FBD＝∠EBD，即BD平分∠FBE，
∵BF＝BE，即△BEF为等腰三角形，
∴BD⊥EF，DF＝DE，
∵OA＝2，AB＝4，
∴，
在Rt△ABO中，sin∠OBA＝＝，
在Rt△BDE中，sin∠DBE＝，
∴DE＝
∴EF＝．
1．（2023•拱墅区模拟）已知⊙O的半径为4，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
2．（2023•太湖县一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OE＝CE＝2，则BE的长为（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2023•浠水县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，∠OCD＝68°，则∠B的度数为（ ）
A．44°B．43°C．42°D．45°
4．（2023•大安市校级二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A＝19°，则∠AEC的度数为（ ）
A．19°B．21°C．26°D．64°
5．（2023•巧家县一模）如图点A，B，C都在⊙O上，若⊙O的半径为3，∠A＝60°，则劣弧BC的长是（ ）
A．B．πC．2πD．3π
6．（2023•合肥模拟）AB是半圆O的直径，AC与半圆O相切于点A，BC交半圆O于点D，若∠C＝α，则∠ODC的度数为（ ）
A．180°﹣αB．180°﹣2αC．90°﹣αD．90°+α
7．（2023•郓城县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在CD边上的点B′处，线段AB扫过的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023•东莞市校级一模）如图的电子装置中，一枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处，跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，经过2023秒钟后，跳棋所在顶点与点E的距离是（ ）
A．4B．C．2D．0
9．（2023•顺义区一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC＝140°，则∠D的度数为 ．
10．（2023•南昌模拟）如图，AB是⊙O的弦，以AB为边作等腰三角形ABC，∠C＝100°，若⊙O的半径为2cm，弦AB的长为2cm，点D在⊙O上，若，则∠DBA＝ °．
11．（2023•肇东市一模）已知一个圆锥的高是20，底面圆半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ．
12．（2023•鹿城区校级模拟）若扇形的圆心角为120°，半径为6，则该扇形的面积为 ．
13．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．
（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；
（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．
14．（2023•双流区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在边AB上，以O为圆心的圆经过A，D两点，⊙O交AB于点E，连接DE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，当时，求线段BE的长．
15．（2023•金牛区模拟）AB为⊙O直径，AB＝8，点C为的一点，过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点D，CD＝3，点E是上一点，连结BE、CE，过点C作AB的垂线，交⊙O于点F，垂足为点H．
（1）求AD和FH的长；
（2）延长FC、BE交于点G，若，求CG的长．
16．（2023•香洲区校级一模）如图1，已知⊙O的半径为2，A、B、D在⊙O上，DH经过点O且与AB垂直垂足为点H，点F是线段HB上的一个动点（不与H，B重合），连接DF并延长与⊙O交于点C，过点C作⊙O的切线CE交AB的延长线于点E．
（1）求证：EC＝EF；
（2）如图2，连接CA，CB，DE，DB，DA，已知∠ACD＝60°时，求DF•DC的值；
（3）在（2）的条件下，若∠CAB＝∠BDE，求证：DF•DC＝AC•DE．
1．一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（ ）
A．3B．6C．8D．12
2．如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝70°，则∠C的度数是（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
3．如图，在⊙O中，AO＝，∠C＝60°，则的长度为（ ）
A．6πB．9πC．2πD．3π
4．若120°的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC＝，则BC的长为（ ）
A．8B．7C．10D．6
7．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸
8．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠B＝40°，则∠OAC的度数为 ．
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝ ．
10．如图，传送带的一个转动轮的半径为10cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送6πcm，则n＝ ．
11．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 ．
12．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD＝4，DF＝，则BE＝ ．
13．如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求BC的长．
14．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，过点A的切线与CD的延长线交于点M，连接OM与AD交于点E，AD＞1，CD＝1．
（1）求证：△DBC∽△AMD；
（2）设AD＝x，求△COM的面积（用x的式子表示）；
（3）若∠AOE＝∠COD，求OE的长．
16．已知⊙O为△ACD的外接圆，AD＝CD．
（1）如图1，延长AD至点B，使BD＝AD，连接CB．
①求证：△ABC为直角三角形；
②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值；
（2）如图2，若∠ADC＝90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系并给予证明．
名校预测
1．【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为4，若PO＝3，
而3＜4，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内部，
故选：A．
2．【分析】连接OC，由勾股定理得，，从而即可得到，最后由BE＝OB﹣OE计算即可得到答案．
【解答】解：如图所示，连接OC，
∵OE＝CE＝2，弦CD⊥AB于点E，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴，
故选：B．
3．【分析】连接OD，求出△OAD≌△OCD，根据全等三角形的性质得出∠OAD＝∠OCD＝68°，根据圆周角定理求出∠AOC＝2∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC+∠B＝180°，求出∠ADC＝180°﹣∠B，再根据四边形的内角和等于360°得出∠AOC+∠OAD+∠OCD+∠ADC＝360°，再求出答案即可．
【解答】解：连接OD，
在△ADO和△CDO中，
，
∴△ADO≌△CDO（SSS），
∴∠OAD＝∠OCD，
∵∠OCD＝68°，
∴∠OAD＝68°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠B，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B，
在四边形AOCD中，∠AOC+∠OAD+∠OCD+∠ADC＝360°，
∴2∠B+68°+68°+180°﹣∠B＝360°，
∴∠B＝44°，
故选：A．
4．【分析】根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，可求∠ADC的度数，进而可以求解．
【解答】解：∵，
∴，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴，
∴∠AEC＝∠A+∠ADC＝19°+45°＝64°．
故选：D．
5．【分析】如图连接OB、OC，根据圆周角定理求得∠BOC＝120°，由弧长公式进行解答即可．
【解答】解：如图连接OB、OC，
∵∠BOC＝2∠A＝120°，
∴劣弧BC的长＝＝2π．
故选：C．
6．【分析】由切线的性质及直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣α，由等腰三角形的性质求得∠ODB＝90°﹣α，根据平角的定义即可求出∠ODC．
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，AC与半圆O相切于点A，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝90°﹣α，
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝90°﹣α，
∴∠ODC＝180°﹣∠ODB＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．
故选：D．
7．【分析】由旋转的性质可得AB'＝AB＝2，由锐角三角函数可求∠DAB'＝60°，由扇形面积公式可求解．
【解答】解：∵AB＝2BC＝2，
∴BC＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，∠D＝∠DAB＝90°，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，
∴AB'＝AB＝2，
∵cs∠DAB'＝＝，
∴∠DAB'＝60°，
∴∠BAB'＝30°，
∴线段AB扫过的面积＝＝，
故选：B．
8．【分析】读懂题意，先通过运动规律确定2023秒后，棋落在哪个顶点位置，再通过正多边形的性质求出两点间的距离．
【解答】解：棋每经过6秒钟落回A点一次，
2023÷6＝337余1，
∴可以推测棋落在顶点B，
连接BE，过A、F作BE的垂线，垂足为H、L，
∴HL＝AF＝2，
∵△FLE中∠LFE＝30°，
∴LE＝FE＝×2＝1，
同理HB＝1，
∴BE＝1+2+1＝4．
故选：A．
9．【分析】先利用平角定义求出∠BOC的度数，然后再利用圆周角定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝40°，
∴∠D＝∠BOC＝20°，
故答案为：20°．
10．【分析】过点O作OE⊥AB于E，连接OA，OB，解直角三角形可得∠AOE＝60°，则∠AOB＝120°，求出∠BAC＝40°，则∠DAC＝20°，再进行分类讨论，结合三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：如图1，过点O作OE⊥AB于E，连接OA，OB，
则AE＝BE＝AB＝，
∵OA＝OB＝2，
∴sin∠AOE＝＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOE＝120°，
∵△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，
∴∠BAC＝∠ABC＝（180°﹣100°）＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
①如图1，当点C在圆内，AD在AC下方时，
∵∠AOB＝120°，
∴∠D＝60°，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝40°+20°＝60°，
∴∠DBA＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
②如图2，当点C在圆内，AD在∠BAD内部时，
∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝20°，
∴∠DBA＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣20°＝100°．
③如图3，当点在圆的外部，AD在∠BAC内部时，
∵的度数＝120°，
∴的度数＝240°，
∴∠D＝120°，
∴∠DBA＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
综上得，∠DBA＝60°或100°或40°，
故答案为：60°或100°或40°．
11．【分析】底面圆半径为10，则圆的周长是20π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知展开图的半径，再利用弧长公式计算．
【解答】解：＝30，
根据弧长公式可知20π＝，
解得n＝120°．
故答案为：120°
12．【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据扇形面积公式，得＝12π．
故答案为：12π．
13．【分析】（1）先根据垂径定理得到＝，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；
（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．
【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，∠ODB＝90°，
∴∠BOC＝2∠ABC，
∵∠BOD+∠OBD＝90°，
∴2∠ABC+∠OBA＝90°；
（2）如图，连接OA，
∵G是AF的中点，
∴BE⊥AF，
∵CF为直径，
∴∠CAF＝90°，
∴CA⊥AF，
∴BE∥AC，
∴∠ABE＝∠BAC，
∴＝，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO，
∴∠BAO＝∠CBA，
∴OA∥BC，
∵AM⊥BC，
∴AM⊥OA，
而OA为⊙O的半径，
∴AM是⊙O的切线．
14．【分析】（1）连接OD，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质得到AD2＝AE•AC＝6AC，利用勾股定理求得AC的长，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴AC∥OD，
∴∠ODC+∠C＝180°．
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC．
∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C．
∵∠BAD＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
∵⊙O的半径为3，
∴AE＝6．
∴AD2＝AE•AC＝6AC，
∵，
∴DE＝AC．
∵AD2+DE2＝AE2，
∴6AC+＝36，
∵AC＞0，
∴AC＝．
∵AC∥OD，
∴△BOD∽△BAC，
∴，
∴，
∴BE＝．
15．【分析】（1）连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD＝90°，再利用勾股定理计算出OD，则计算OD﹣OA得到AD的长，由于CF⊥AB，根据垂径定理得到CH＝FH，然后利用面积法求出CH，从而得到FH的长；
（2）连接BF、EF，如图，先根据垂径定理得到＝，则利用圆周角定理得到∠BFC＝∠BEF，再利用圆内接四边形的性质得到∠GEC＝∠BEF，∠GCE＝∠EBF，于是可判断
△GCE∽△FBE，利用相似三角形的性质得到＝，接着利用勾股定理计算出OH，从而得到BH的长，然后计算出BF的长，从而可求出CG的长．
【解答】解：（1）连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AB＝8，
∴OC＝OA＝4，
在Rt△OCD中，OD＝＝＝5，
∴AD＝OD﹣OA＝5﹣4＝1，
∵CF⊥AB，
∴CH＝FH，
∵CH•OD＝OC•CD，
∴CH＝＝，
∴FH＝CH＝，
即AD的长为1，FH的长为；
（2）连接BF、EF，如图，
∵CF⊥AB，
∴＝，
∴∠BFC＝∠BEF，
∵∠GEC＝∠BFC，
∴∠GEC＝∠BEF，
∵∠GCE＝∠EBF，
∴△GCE∽△FBE，
∴＝＝，
在Rt△OCH中，∵OH＝＝＝，
∴BH＝OH+OB＝+4＝，
在Rt△BFH中，BF＝＝＝，
∴GC＝BF＝×＝．
16．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到，∠OCD+∠ECD＝90°，根据垂直及同圆的半径相等得到∠CFE＝∠ECD，进而证明EC＝EF；
（2）连接OB，根据同弧所对的圆周角相等，先证明△ABD为等边三角形，然后证明△BDC∽△FDB，推比例线段，求DF•DC的值；
（3）证明△CAB～△BDE，推比例线段，等量代换后得出BD2＝AC•DE，再根据（2）DF•DC＝DB2，等量代换后得出DF•DC＝AC•DE．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵⊙O的切线是CE，
∴∠OCD+∠ECD＝90°，
∵DH⊥AB，
∴∠HDB+∠HFD＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠HDC＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠ECD，
∴EC＝EF；
（2）解：连接OB，如图所示：
∵∠ACD＝60°，，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，
∵DH⊥AB且DH过圆心，
∴AH＝BH，
∴DB＝DA，
∴△ABD为等边三角形，
在Rt△OBH中，∠BOH＝60°，OB＝2，
∴OH＝OB＝1，
∴BH＝，
∴∠BCD＝∠DBF＝60°，
AD＝AB＝BD＝2BH＝2，
∠BDC＝∠FDB，
∴△BDC∽△FDB，
∴，
∴DF•DC＝DB2＝12；
（3）证明：∵△ABD为等边三角形，
∴∠ACD＝∠DBF＝60°，AD＝AB＝DB，
∴∠ACB＝∠DBE＝120°，
∵∠CAB＝∠BDE，
∴△CAB～△BDE，
∴，
∴，
∴DB2＝AC•DE，
∵DF•DC＝DB2，
∴DF•DC＝AC•DE．
专家押题
1．【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．
【解答】解：∵正多边形的中心角和为360°，正多边形的中心角是30°，
∴这个正多边形的边数＝＝12．
故选：D．
2．【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠AOB和∠C都对，
∴∠C＝∠AOB＝×70°＝35°．
故选：B．
3．【分析】根据圆周角定理可得∠AOB，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：由题意可得：∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120°，
∴的长度为：＝3π．
故选：D．
4．【分析】根据弧长的计算公式，将n及l的值代入即可得出半径R的值．
【解答】解：由题意得，n＝120°，l＝2π，
故可得：，
解得：r＝3．
故选：C．
5．【分析】根据圆周角定理的推论即可得出∠C的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
故选：B．
6．【分析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用正切的定义求BC的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵tan∠BAC＝＝，
∴BC＝×8＝6．
故选：D．
7．【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝6可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB＝10寸，
∴AE＝BE＝5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
∴CD＝26（寸）．
故选：D．
8．【分析】根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠B＝80°，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和求解即可．
【解答】解：∵∠B＝40°，
∴∠AOC＝2∠B＝80°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）＝×（180°﹣80°）＝50°，
故答案为：50°．
9．【分析】由垂径定理得CE＝CD＝5，设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2，再在Rt△OCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝10，
∴CE＝CD＝5，∠OEC＝90°，
设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2+OE2＝OC2，
即52+（x﹣2）2＝x2，
解得：x＝，
即OC＝，
故答案为：．
10．【分析】物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，代入弧长公式即可求出n的值．
【解答】解：∵物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，
∴＝6π，
解得：n＝108，
故答案为：108．
11．【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π，
设圆心角的度数是n度．则＝4π，
解得：n＝120．
故答案为：120°．
12．【分析】根据垂径定理得到AD＝DC，根据三角形中位线定理求出OC，根据勾股定理求出OD，证明△AOD∽△AEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵OD⊥AC，AD＝4，
∴AD＝DC＝4，
∵DF∥OC，DF＝，
∴OC＝2DF＝5，
在Rt△COD中，OD＝＝＝3，
∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵OD⊥AD，
∴∠ADO＝∠ABE，
∵∠OAD＝∠EAB，
∴△AOD∽△AEB，
∴＝，即＝，
解得：BE＝，
故答案为：．
13．【分析】（1）连接OE，由题意可证OE∥AD，且DE⊥AF，即OE⊥DE，则可证CD是⊙O的切线；
（2）连接BE，证明△ADE∽△AEB，得到，根据tan∠EAD＝，在△ABE中，利用勾股定理求出BE和AE，可得AD和DE，再证明△COE∽△CAD，得到，设BC＝x，解方程即可求出BC．
【解答】解：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE＝∠DAE，
∴∠OEA＝∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BE，∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠D，
又∠DAE＝∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴，
又tan∠EAD＝，
∴，
则AE＝2BE，又AB＝10，
在△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即（2BE）2+BE2＝102，
解得：BE＝，则AE＝，
∴，
解得：AD＝8，DE＝4，
∵OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴，
设BC＝x，
∴，
解得：x＝，
经检验：x＝是原方程的解，
故BC的长为．
14．【分析】（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD＝∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB＝∠ODA，则∠CAD＝∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE＝3，AD＝2，解直角三角形得到∠DAB＝30°，则∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，DF＝2，再根据S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB即可得解；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM＝，EM＝，则MB＝，再根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AE，
∴△OGD∽△EGA，
∴＝，
∵＝，⊙O的半径为2，
∴＝，
∴AE＝3，
如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，
∴∠AED＝∠ADB＝90°，
∵∠CAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴＝，
即＝，
∴AD＝2，
在Rt△ADB中，cs∠DAB＝＝，
∴∠DAB＝30°，
∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，
∴∠F＝30°，
∵OD＝2，
∴DF＝＝＝2，
∴S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB＝×2×2﹣＝2﹣；
（3）如图，过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，
在Rt△AEM中，AM＝AE•cs60°＝3×＝，EM＝AE•sin60°＝，
∴MB＝AB﹣AM＝4﹣＝，
∴BE＝＝＝．
15．【分析】（1）证明∠MAD＝∠BAC＝∠BDC，从而得证；
（2）证明△ADC∽△MAD，得出DM，从而求出CM，再根据三角形的中位线求出CM上的高，从而解得；
（3）延长OB交MA的延长线于G，证明AM＝AG，计算表示出AM和AG，从而得出方程，求出x的值，进而解得OE．
【解答】解：如图1，
（1）∵AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∴∠CAM＝90°，
∴∠MAD+∠DAC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝90°，
∴∠MAD＝∠BAC，
对于：
∠BAC＝∠BDC，
∴∠MAD＝∠BDC，
又∠MDA＝∠BCD＝90°，
∴△DBC∽△AMD；
（2）如图2，
取CD的中点N，连接ON，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，
∴ON∥AD，ON＝，
∴∠CNO＝∠ADC＝90°，
∴ON⊥CM，
由（1）知：△DBC∽△AMD，
∴＝，
∴DM＝＝x2，
∴CM＝DM+CD＝x2+1，
∴S△COM＝CM•ON＝（x2+1）•
＝；
（3）如图3，
作DF⊥AC于F，延长DB交MA的延长线于G
在Rt△ADC中，AD＝x，CD＝1，
∴AC＝，
∴OD＝OC＝AC＝
DF＝，
CF＝＝，
∴OF＝OC﹣CF＝，
∵DF∥AG，
∴△DOF∽△GOA，
∴＝，
∴AG＝＝＝
＝，
∴AG2＝，
在Rt△ACM中，由射影定理得，
AM2＝DM•MC＝x2（x2+1），
∵∠AOE＝∠COD，
∠AOG＝∠COD，
∴∠AOE＝∠AOG，
∵OA＝OA，
∠OAM＝∠OAG，
∴△AOM≌△AOG（ASA），
∴AG＝AM，
∴＝x2（x2+1），
∴x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AD＝，OD＝，
DF＝＝，
OF＝，
作EH⊥OA于H，设OE＝a，
∴EH＝OE•sin∠AOE＝a•sin∠DOF
＝a•＝a，
∴OH＝a，
AH＝＝＝a•＝a，
由AH+OH＝OA得，
a+＝，
∴a＝，
即：OE＝．
16．【分析】（1）①利用如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得出结论；
②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH＝CH，设DH＝x，则OH＝4﹣x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC＝2DH；
（2）猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2＝2QD2+QA2．延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC＝∠DCA＝45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA＝∠E＝45°，则得△DQF为等腰直角三角形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2＝QF2+CF2，QF2＝2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA＝FC，等量代换可得结论．
【解答】证明：（1）①∵AD＝CD，BD＝AD，
∴DB＝DC．
∴DC＝AB．
∴△ABC为直角三角形；
解：②连接OA，OD，如图，
∵AD＝CD，
∴，
∴OD⊥AC且AH＝CH．
∵⊙O的半径为4，
∴OA＝OD＝4．
设DH＝x，则OH＝4﹣x，
∵AH2＝OA2﹣OH2，
AH2＝AD2﹣DH2，
∴52﹣x2＝42﹣（4﹣x）2．
解得：x＝．
∴DH＝．
由①知：BC⊥AC，
∵OD⊥AC，
∴OD∥BC．
∵AH＝CH，
∴BC＝2DH＝．
（2）QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2＝2QD2+QA2．理由：
延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，如图，
∵∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°．
∴∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°．
∴∠QFC＝∠AFD+∠DFC＝90°．
∴QC2＝QF2+CF2．
∵△ADQ与△ADE关于AD对称，
∴∠DQA＝∠E＝45°，
∴∠DQA＝∠DFA＝45°，
∴DQ＝DF．
∴∠QDF＝180°﹣∠DQA﹣∠QFD＝90°．
∴DQ2+DF2＝QF2．
即QF2＝2DQ2．
∵∠QDF＝∠ADC＝90°，
∴∠QDA＝∠CDF．
在△QDA和△FDC中，
，
∴△QDA≌△FDC（AAS）．
∴QA＝FC．
∴QC2＝2QD2+QA2．
中考倒计时
03天
视图与投影
1．从考查的题型来看，主要以填空题或选择题的形式进行考查，属于中、低档题，较为简单；少数题目以解答题的形式进行考查，属于中档题，难度一般。
2．从考查的内容来看，主要涉及的有：平行投影与中心投影的性质；主视图、俯视图、左视图的画法；由三视图判断几何体；投影与解直角三角形、相似相结合的问题。
3．从考查的热点来看，重点涉及的有：平行投影与中心投影的性质；主视图、俯视图、左视图的画法；由三视图判断几何体；投影与解直角三角形、相似相结合的实际问题。
一、投影
1．投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象．影子所在的平面称为投影面．
2．平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心．
【注意】灯光下的影子为中心投影，影子在物体背对光的一侧．等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．
（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影．
【注意】阳光下的影子为平行投影，在平行投影下，同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比．
（3）正投影：投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影．
二、视图
1．视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图．
2．三视图：1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图．2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图．
3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图．
【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映物体的宽和高，俯视图反映物体的长和宽．
3．三视图的画法
1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．
2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．
三、几何体的展开与折叠
1．常见几何体的展开图
2．正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：

第三类，中间二连方，两侧各二个，只有1种，如图10；第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．
1．（2022•阜新）在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A．俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
B．俯视图是圆，左视图是矩形，故本选项不合题意；
C．俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意；
D．俯视图是三角形，左视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（2022•德州）如图所示几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上面看得到俯视图即可．
【解答】解：由题意知，几何体的俯视图为：
故选：C．
3．（2022•湖北）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）
A．长方体B．正方体C．三棱柱D．圆柱
【分析】根据三视图直接判断即可．
【解答】解：根据三视图可知，该立体图形是长方体，
故选：A．
4．（2022•黄石）由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：B．
5．（2022•鞍山）如图所示的几何体是由4个大小相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到几何体从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面可看，底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形．
故选：C．
6．（2022•黔西南州）如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看，底层左边是两个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：C．
7．（2022•鄂尔多斯）下列几何体的三视图中没有矩形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的三视图进行判断即可．
【解答】解：A．该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，因此选项A不符合题意；
B．该三棱柱的主视图、左视图是矩形，因此选项B不符合题意；
C．该圆柱体的主视图、左视图是矩形，因此选项C不符合题意；
D．该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形，因此选项D符合题意；
故选：D．
8．（2022•吉林）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由物体的正面示意图可得物体的俯视图为两同心圆．
【解答】解：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，
由松花砚的示意图可得其俯视图为C．
故选：C．
9．（2022•包头）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．9
【分析】根据俯视图中正方体的个数画出左视图即可得出结论．
【解答】解：由俯视图可以得出几何体的左视图为：
则这个几何体的左视图的面积为4，
故选：B．
10．（2022•青海）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 5 ．
【分析】根据给出的几何体，通过动手操作，观察可得答案为5，也可以根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，直接想象出每个位置正方体的数目，再加上来．
【解答】解：由三视图可得，构成这个几何体的小正方体的个数是：1+2+1+1＝5．如图：
故答案为：5．
1．（2023•福建模拟）下列立体图形的主视图可能是矩形的是（ ）
A．圆柱B．三棱锥C．球D．圆锥
2．（2023•庐阳区校级二模）下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023•蜀山区校级一模）如图，该几何体的俯视图是（ ）
​
A．B．
C．D．
4．（2023•孝感二模）如图，由8个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023•河东区一模）如图是一个由5个相同的小正方体组成的立体图形，从正面看，能得到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023•光明区二模）下列立体图形中，左视图是圆的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023•芜湖模拟）一个长方体的三视图如图所示，主视图的面积为x2+2x，左视图的面积为x2+x，则长方体的表面积用含x的式子表示为（ ）
A．x2+3x+2B．3x2+6x+2C．6x2+12x+4D．6x+6
8．（2023•峄城区校级一模）某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是（ ）
A．4B．5C．7D．10
9．（2023•齐齐哈尔一模）如图，由6个同样大小的正方体摆成的几何体，在正方体①的正上方再放一个这样的正方体，所得的几何体（ ）
A．主视图改变，左视图不变
B．俯视图改变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图改变，左视图改变
10．（2023•张家口二模）下面的图形都是由相同的小正方体粘在一起的几何体．在图①～④中，其左视图与最左边的几何体左视图相同的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
11．（2023•金溪县模拟）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为 ．
12．（2023•南海区校级模拟）如图是某几何体的三视图，根据图所给各边长度算出该几何体的体积是 cm3．（结果保留π）
13．（2023•东城区校级模拟）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的x表示的数字是 ．
14．（2023•怀宁县一模）一个几何体的三种视图如图所示．求这个几何体的表面积．（结果保留π）
15．（2023•婺城区模拟）如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．
（1）已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．
（2）若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭 一个小立方体．
1．某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示的几何体由六块相同的小正方体搭成，若移走一块小正方体，几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3．如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是一个带“矮”圆柱形底的半球形的碗，则该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
6．如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．圆锥B．长方体C．三棱柱D．圆柱
7．如图几何体由单位立方体搭成，则它的俯视图的面积是 ．
8．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的表面积为 ．
9．一个几何体的三种视图如图所示．
（1）这个几何体的名称是 ，其侧面积为 ；
（2）画出它的一种表面展开图；
（3）求出左视图中AB的长．
10．如图是一个几何体的三视图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积．
名校预测
1．【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
【解答】解：A．圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意；
B．三棱锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意；
C．球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
D．圆锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．【分析】根据几何体的特点及三视图的确定方法依次判断即可．
【解答】解：A、左视图是等腰梯形，不符合题意；
B、左视图是长方形，不符合题意；
C、左视图是三角形，符合题意；
D、左视图是长方形，不符合题意；
故选：C．
3．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：观察图形可知，该几何体的俯视图如下：
故选：C．
4．【分析】画出这个组合体的俯视图即可．
【解答】解：这个组合体的俯视图为
故选：D．
5．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，底层有3个正方形上层最中间有一个正方形．
故选：A．
6．【分析】根据各个选项中的几何体的左视图的形状进行判断即可．
【解答】解：A．三棱柱的左视图是长方形，因此选项A不符合题意；
B．圆柱的左视图是长方形，因此选项B不符合题意；
C．圆锥的左视图是等腰三角形，因此选项C不符合题意；
D．球的左视图是圆，因此选项D符合题意；
故选：D．
7．【分析】根据三视图求出长方体的长、宽、高即可得出答案．
【解答】解：∵主视图的面积为x2+2x＝x（x+2），左视图的面积为x2+x＝x（x+1），
∴长为x+2，宽为x+1，高为x，
∴长方体的表面积为2（x+2）（x+1）+2x（x+2）+2x（x+1）＝6x2+12x+4．
故选：C．
8．【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行3列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，可得出，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+1＝5个；
如图所示，
共有5个小正方体，
故选：B．
9．【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：将正方体①正上方再放一个前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①的正上方再放一个后的主视图正方形的个数为1，2，2；主视图发生改变．
将正方体①正上方再放一个前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①的正上方再放一个后的主视图正方形的个数为2，1，1；左视图不发生改变．
将正方体①正上方再放一个前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①的正上方再放一个后的俯视图正方形的个数为1，3，1；俯视图不发生改变．
故选：A．
10．【分析】根据左视图的定义判断即可．
【解答】解：①和②的左视图是一列两个小正方形，③的左视图是一个“田”子，④的左视图与最左边的几何体左视图相同，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：D．
11．【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，底面三角形的高为cm，三棱柱的高为3cm，所以，其左视图为长方形，长为3cm，宽为cm，面积为3×＝3（cm2），
故答案为3cm2．
12．【分析】根据三视图我们可以得出这个几何体应该是个圆柱体，它的体积应该是π×22×6＝24π（cm3）．
【解答】解：该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个圆柱体，
依题意可求出该几何体的体积为：π×22×6＝24π（cm3）．
故答案为：24π．
13．【分析】根据与1相邻的面的数字有2、3、4、6判断出1的对面数字是5，与4相邻的面的数字有1、3、5、6判断出4的对面数字是2，从而确定出3的对面数字是6，再根据图2可得结果．
【解答】解：由图1可知，∵与1相邻的面的数字有2、3、4、6，
∴1的对面数字是5，
∵与4相邻的面的数字有1、3、5、6，
∴4的对面数字是2，
∴3的对面数字是6，
由图2可知：6的对面数字是x，
∴x的值为3，
故答案为：3．
14．【分析】直接利用三视图可得几何体是圆柱，进而得出表面即可．
【解答】解：由三视图可得几何体的表面积为：
S＝S侧+2S底＝2π×3×10+2π×32
＝60π+18π
＝78π．
15．【分析】（1）根据物体形状即可画出左视图有三列与以及主视图、俯视图都有三列，进而画出图形；
（2）可在最左侧前端放两个后面再放一个即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭3块小正方体．
故答案为：3．
专家押题
1．【分析】根据一个几何体左视图和主视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体形状，得到答案
【解答】解：由几何体的左视图和主视图都是长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个三角形，
∴该几何体是三棱柱．
故选：C．
2．【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：单独移开①或②或③，得到的几何体的左视图与原来的几何体的左视图相同，均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；
移走④，则得到的几何体的左视图为一列两个小正方形．
所以若移走一块小正方体，几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是④．
故选：D．
3．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看该几何体，第一层左边是1个小正方形，第二层是2个小正方形，如图所示：
故选：A．
4．【分析】根据俯视图的意义进行判断即可．
【解答】解：选项A中的图形比较符合该组合体的俯视图，
故选：A．
5．【分析】根据俯视图的画法，看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，从而得出答案．
【解答】解：从上面看，“碗口”是可以看到“圆形”的轮廓线，而“圆柱形底座”是看不见的，用虚线表示，
因此选项C中的图形符合题意，
故选：C．
6．【分析】由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱．
故选：D．
7．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：俯视图是，所以它的俯视图的面积是4．
故答案为：4．
8．【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、左视图和俯视图想象几何体的前面、左侧面和上面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，底面三角形的高为cm，三棱柱的高为3cm，
所以该几何体的表面积为：
2×÷2×2+2×3×3＝（2+18）cm2．
故答案为：（2+18）cm2．
9．【分析】（1）由三视图可知，该几何体为三棱柱，根据三棱柱侧面积计算公式计算可得；
（2）画出三棱柱的展开图即可；
（3）根据等边三角形的性质计算可得．
【解答】解：（1）这个几何体的名称是正三棱柱，
这个几何体的侧面积为4×3×6＝72．
故答案为：正三棱柱，72；
（2）展开图如下：
（3）在△EFG中，作EH⊥FG于点H，
则，
故左视图中AB的长为．
10．【分析】根据三视图得到几何体为圆锥，圆锥的母线长为6，圆锥底面圆的半径为2，然后计算侧面积和底面积的和即可．
【解答】解：（1）由三视图得几何体为圆锥，
（2）圆锥的表面积＝π•22+•2π•6•2＝16π．
中考倒计时
02天
概率与统计
1．从考查的题型来看，以选择题或填空题的形式进行考查的题目相对简单，属于中、低档题；以解答题的形式进行考查的题目相对较难，属于中、高档题。
2．从考查的内容来看，主要涉及的有：抽样调查的方式；频率的计算；平均数、中位数、众数的选用与计算；方差的计算；随机事件概率的计算；频率估算概率的计算及应用。
3．从考查的热点来看，重点涉及的有：抽样调查的方式；频率的计算；平均数、中位数、众数的选用与计算；方差的计算；随机事件概率的计算；频率估算概率的计算及应用；统计与概率的以实际生活为背景的综合问题的应用解决。
一、全面调查与抽样调查
1．有关概念
1）全面调查：为一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做全面调查．
2）抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象进行的调查叫做抽样调查．
2．调查的选取：当受客观条件限制，无法对所有个体进行全面调查时，往往采用抽样调查．
3．抽样调查样本的选取：1）抽样调查的样本要有代表性；2）抽样调查的样本数目要足够大．
二、总体、个体、样本及样本容量
总体：所要考察对象的全体叫做总体． 个体：总体中的每一个考察对象叫做个体．
样本：从总体中抽取的部分个体叫做样本． 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量．
三、几种常见的统计图表
1．条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形．
特点：（1）能够显示每组中的具体数据；（2）易于比较数据之间的差别．
2．折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形．特点：易于显示数据的变化趋势．
3．扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图．
百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与360°的比．
扇形的圆心角=360°×百分比．
4．频数分布直方图
1）每个对象出现的次数叫频数．2）每个对象出现的次数与总次数的比（或者百分比）叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度．
3）频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况．
4）频数分布直方图的绘制步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤画频数分布直方图：用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
四、平均数
1）平均数：一般地，如果有n个数，，…，，那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”．
2）加权平均数：如果n个数中，出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权．
五、众数、中位数
1．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
2．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
六、方差
在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“”表示，即．
六、事件的分类
1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．
2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．
3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．
七、概率的计算
1．公式法：P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
2．列举法
1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．
八、利用频率估计概率
1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．
3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
九、概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策．
1．（2022•宁夏）下列事件为确定事件的有（ ）
（1）打开电视正在播动画片
（2）长、宽为m，n的矩形面积是mn
（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
（4）π是无理数
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．
【解答】解：（1）打开电视正在播动画片，是随机事件，不合题意；
（2）长、宽为m，n的矩形面积是mn，是确定事件，符合题意；
（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
（4）π是无理数，是确定事件，符合题意；
故选：B．
2．（2022•内蒙古）下列说法正确的是（ ）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式
B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定
【分析】利用调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式，故错误，不符合题意；
B、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，故错误，不符合题意；
C、一个抽奖活动中，中奖概率为，抽奖20次可能有1次中奖，也可能不中奖，故错误，不符合题意；
D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲2＝0.4，S乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定，正确，符合题意．
故选：D．
3．（2022•德州）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（ ）
A．众数是9B．中位数是8.5
C．平均数是9D．方差是1.2
【分析】根据众数、中位数、平均数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、∵10出现了4次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是10，故本选项不符合题意；
B、该组成绩的中位数是＝9，故本选项不符合题意；
C、该组成绩＝（7+9+10+8+9+8+10+10+9+10）＝9，故本选项符合题意；
D、该组成绩数据的方差S2＝[（7﹣9）2+2×（8﹣9）2+3×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝1，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（2022•阜新）如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先设每个小等边三角的面积为x，则阴影部分的面积是6x，得出整个图形的面积是12x，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【解答】解：先设每个小等边三角的面积为x，
则阴影部分的面积是6x，得出整个图形的面积是12x，
则这个点取在阴影部分的概率是＝．
故选：D．
5．（2022•巴中）若一组数据1，2，4，3，x，0的平均数是2，则众数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平均数的定义，先求出x，然后写出众数即可．
【解答】解：∵一组数据1，2，4，3，x，0的平均数是2，
∴，
解得x＝2，
∴这组数据的众数是2；
故选：B．
6．（2022•徐州）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．
已知人口自然增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，下列判断错误的是（ ）
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B．近十年的人口死亡率基本稳定
C．近五年的人口总数持续下降
D．近五年的人口自然增长率持续下降
【分析】根据折线统计图的信息解答即可．
【解答】解：由折线统计图可知，
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半，说法正确，故本选项不合题意；
B．近十年的人口死亡率基本稳定，说法正确，故本选项不合题意；
C．近五年的人口总数持续下降，说法错误，五年的人口总数增长速度变缓，故本选项符合题意；
D．近五年的人口自然增长率持续下降，说法正确，故本选项不合题意；
故选：C．
7．（2022•朝阳）新冠肺炎疫情期间，学校要求学生每天早晨入校前在家测量体温，七年三班第二学习小组6名同学某天的体温（单位：℃）记录如下：36.1，36.2，36.0，36.0，36.1，36.1．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．36.0，36.1B．36.1，36.0C．36.2，36.1D．36.1，36.1
【分析】将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为36.0，36.0，36.1，36.1，36.1，36.2，
所以这组数据的中位数为＝36.1，众数为36.1，
故选：D．
8．（2022•六盘水）从调查消费者购买汽车能源类型的扇形统计图中可看出，人们更倾向购买的是（ ）
A．纯电动车B．混动车C．轻混车D．燃油车
【分析】根据扇形图即可观察出纯电动车占的最多．
【解答】解：根据扇形图即可观察出纯电动车占的最多．
故答案为：A．
9．（2022•南通）为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是 抽样调查 （填“全面调查”或“抽样调查”）．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查．
10．（2022•淮安）一组数据3、﹣2、4、1、4的平均数是 2 ．
【分析】根据平均数的定义计算即可．
【解答】解：数据3、﹣2、4、1、4的平均数是：＝2．
故答案为：2．
11．（2022•锦州）甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲10次立定跳远成绩的方差为S甲2＝0.6，乙10次立定跳远成绩的方差为S乙2＝0.35，则甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是 乙 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义可直接求解．
【解答】解：∵，，
∴，
∵甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，
∴甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是乙，
故答案为：乙．
12．（2022•荆门）八（1）班一组女生的体重（单位：kg）分别是：35，36，38，40，42，42，45．则这组数据的众数为 42 ．
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义就可以求解．
【解答】解：在这一组数据中42出现了2次，次数最多，
故众数是42．
故答案为：42．
13．（2022•德州）假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在三张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明和姐姐抽取的度假方案相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小明和姐姐抽取的度假方案相同的结果有3种，
∴小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率为＝，
故答案为：．
14．（2022•六盘水）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 五 种不同的情况．
【分析】确定一副扑克牌有红桃牌的数目，根据题意分析得到答案．
【解答】解：∵一副扑克牌有13张红桃牌，甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，
∴剩余4张红桃牌，
∴丁的红桃牌有0，1，2，3，4张五种情况，
故答案为：五．
15．（2022•镇江）某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为 5 kg．
【分析】根据频数分布直方图计算即可．
【解答】解：组距为＝5（kg）．
故答案为：5．
16．（2022•桂林）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearsn）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 0.5 ．
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．
【解答】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5．
故答案为：0.5．
17．（2022•无锡）某校研究性学习小组根据某居民家庭全年消费支出的统计数据，制作了2021年消费支出条形图（单位：元）和预计2022年消费支出扇形图（如图）．预计2022年该居民家庭全年消费支出比2021年消费支出提高10%．解答下列问题：
（1）2022年的“其他类消费支出”与2021年的“其他类消费支出”哪一年高？
（2）预计2022年“养生支出”为26400元，则b＝ 20 ．
（3）预计2022年“教育支出”比2021年减少多少元？
【分析】（1）根据“预计2022年该居民家庭全年消费支出比2021年消费支出提高10%“求出预计2022年该居民家庭全年消费支出，再列式计算2022年的“其他类消费支出”，比较可得答案；
（2）由2022年“养生支出”为26400元，列式算出2022年“养生支出”的百分比，即可得到答案；
（3）先求出2022年“教育支出”，再用2021年“教育支出”减去2022年“教育支出”即可．
【解答】解：（1）∵预计2022年该居民家庭全年消费支出比2021年消费支出提高10%，
∴2022年该居民家庭全年消费支出为（54200+12000+18000+11000+24800）×（1+10）%＝132000（元），
∴2022年的“其他类消费支出”是132000×22%＝29040（元），
而29040＞24800，
∴2022年的“其他类消费支出”高；
（2）由（1）知，2022年该居民家庭全年消费支出为132000元，
×100%＝20%，
∴b＝20，
故答案为：20；
（3）预计2022年“教育支出”为132000×（1﹣40%﹣8%﹣20%﹣22%）＝13200（元），
∵18000﹣13200＝4800（元），
∴预计2022年“教育支出”比2021年减少4800元．
18．（2022•宁夏）宁夏某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息：
甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9
乙品种：如图所示
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：a＝ 3.2 ，b＝ 3.5 ；
（2）若乙品种种植300棵，估计其产量不低于3.16千克的棵数；
（3）请从某一个方面简要说明哪个品种更好．
【分析】（1）利用中位数和众数的定义即可求出；
（2）用300乘以产量不低于3.16千克的百分比即可；
（3）根据方差可以判断乙品种更好，产量稳定．
【解答】解：（1）把甲品种的产量从小到大排列：2.0，2.5，3.1，3.1，3.2，3.2，3.2，3.6，3.8，3.9，中位数是＝3.2，
乙品种的产量3.5千克的最多有3棵，所以众数为3.5，
故答案为：3.2，3.5．
（2）300×＝180（棵）；
答：估计其产量不低于3.16千克的棵数有180棵；
（3）因为甲品种的方差为0.29，乙品种的方差为0.15，
所以乙品种更好，产量稳定．
19．（2022•无锡）A袋中有3白球1红球，B袋中有1白球1红球，某人第一次从A袋中任意摸出一个球，放入B袋中，再将B袋中的球摇匀后第二次从B袋中任意摸出一个球，放入A袋．
（1）第一次摸出的是白球的概率是 ；
（2）经过二次摸球后，A袋中有2白球2红球的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）由概率公式直接可得答案；
（2）画树状图，列出所有可能，再用概率公式可得答案．
【解答】解：（1）∵A袋中有3白球1红球，
∴第一次从A袋中任意摸出一个球，摸出的是白球的概率是＝；
故答案为：；
（2）
由树状图可知，共有12种等可能结果，满足A袋中有2白球2红球（第一次摸到白球，第二次摸到红球）的结果有3种，
∴经过二次摸球后，A袋中有2白球，2红球的概率为．
20．（2022•淄博）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 120 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 99 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×＝99°，
故答案为：120，99；
（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×＝18（名），
则选修“园艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（名），
补全条形统计图如下：
（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为＝．
1．（2023•武汉模拟）袋子中装有3个黑球和1个白球，随机摸出两个球．下列事件是必然事件的是（ ）
A．至少摸出一个黑球B．至少摸出一个白球
C．摸出两个黑球D．摸出两个白球
2．（2023•吴兴区一模）某射击运动员在射击训练中的5次成绩（单位：环）分别是：5，8，6，8，9．这组数据的中位数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．（2023•路桥区一模）在某次数学测试中，10名学生的测试成绩（单位：分）统计如图所示，则这10名学生的测试成绩的众数是（ ）
A．87.5B．90C．95D．92.5
4．（2023•上城区一模）跳远运动员小李在一次训练中，先跳了6次的成绩如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9（单位：m）：这六次成绩的平均数为7.8，方差为．如果小李再跳一次，成绩为7.8（单位：m），则小李这7次跳远成绩与前6次的成绩相比较，其方差（ ）
A．变大B．变小C．不变D．无法确定
5．（2023•江北区一模）某鞋店对某款女鞋一周的销售情况进行统计，结果如下：
根据上表信息，该店主决定下周多进一些37码的鞋子，影响店主进货决策的统计量是（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．方差
6．（2023•杭州一模）一个不透明的袋子中只装有8个除颜色外完全相同的小球，其中4个红球，3个黄球，1个黑球．从中随机摸出一个小球，摸到红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023•从化区一模）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023•通州区一模）如图1，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字，图2，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是（ ）
A．转动转盘后，出现偶数
B．转动转盘后，出现能被3整除的数
C．转动转盘后，出现比6大的数
D．转动转盘后，出现能被5整除的数
9．（2023•淮安一模）一组数据7，5，﹣2，5，10的平均数是 ．
10．（2023•宁波模拟）一个不透明的袋子里装有5个红球和6个白球和9个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
11．（2023•中原区校级二模）甲、乙两名学生5次立定跳远成绩的平均数相同，若甲5次立定跳远成绩的方差为＝0.48，乙5次立定跳远成绩的方差为，则甲、乙两名学生5次立定跳远成绩比较稳定的是 .（选填“甲”或“乙”）
12．（2023•房山区一模）某校要在张平和李波两位跳远成绩优秀的同学中选择一位同学代表学校参加区春季运动会．体育老师对两位同学近10次的测试数据进行了统计，发现其平均数都是5.72米，并将两位同学的测试数据制成了折线图．如果要选出一名发挥相对稳定的同学参赛，则应该选择 ．（填“张平”或“李波”）
13．（2023•静安区二模）某旅游风景区为满足不同游客的需求，推出了100、150、200（单位：元）三种价格的套票．景区统计了这三种套票一年的销售情况，并将销售量数据绘制成扇形统计图（如图所示）．那么这一年销售的套票的平均价格是 元．
14．（2023•衡水模拟）为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，某学校积极推进学生综合素质评价改革，某同学在上学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，则该同学五项评价得分的众数是 ，中位数是 ．
15．（2023•滨湖区一模）2023年3月19日，全国马拉松锦标赛（无锡站）正式鸣枪开跑．某校5名学生幸运成为该活动志愿者，负责某区域运动员的物资发放，其中男性3人，女性2人．
（1）若从这5人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是 ；
（2）若从这5人中选2人进行物资发放，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
16．（2023•秀洲区校级二模）为了解学生每周课外体育活动时间的情况，某学校随机调查了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育活动时间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%．根据以上信息及统计图解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）求这50名学生每周课外体育活动时间的平均数；
（3）已知该校共有1200名学生，请估计每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有多少人？
17．（2023•路桥区一模）为了解同学们对垃圾分类知识的知晓程度，某校团委设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，整理得如下不完整的统计图表．
“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表
（1）扇形统计图中B部分所对应的圆心角的度数为 ；
（2）本次测试成绩的中位数落在 组；本次测试成绩的平均数是 分；
（3）为了更好地宣传垃圾分类，在学校、家庭、社会的三位一体环境中发挥作用，学校团委决定组织在本次测试中达到一定分数的同学参加社区志愿活动，请你帮团委确定这个分数的标准，并用统计量说明其合理性．
18．（2023•新昌县模拟）为培养学生良好的学习习惯，某学校举行了一次整理错题集的展示活动，对部分学生整理错题集的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样共调查了多少名学生？若该校有800名学生，估计该校学生整理错题集情况优秀和良好的学生一共约多少名？
（2）某学习小组4名学生的错题集中，有2本优秀（记为A1，A2），1本良好（记为B），1本合格（记为C），这些错题集形状，大小，颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的错题集都是优秀的概率．
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽
B．如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a
C．打开电视，正在播广告
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
2．疫情期间，某商店连续7天销售口罩的盒数分别为10，12，14，13，12，12，11．关于这组数据，以下结论错误的是（ ）
A．众数是12B．平均数是12C．中位数是12D．方差是
3．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知一组数据：23，22，24，23，23，这组数据的方差是（ ）
A．3B．2C．D．
5．如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表：
则本次调查中视力的众数和中位数分别是（ ）
A．4.9和4.8B．4.9和4.9C．4.8和4.8D．4.8和4.9
7．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别为S甲2＝1.4，S乙2＝0.6，则两人射击成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
8．从﹣1，，2中任取两个不同的数作积，则所得积的中位数是 ．
9．已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2 S乙2（填“＞”、“＝”、“＜”）．
10．在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“t”的概率是 ．
11．有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 ．
12．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有 只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
13．学校开展学生会主席竞选活动，最后一轮是演讲环节，抽签方式如下：每位选手分别从标有“A”、“B”内容的签中随机抽取一个，就抽取的内容进行演讲．现有小明、小亮和小丽三名选手，求出下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列举”等方法写出分析过程）
（1）三个选手抽中同一演讲内容；
（2）三个选手有两人抽中内容“A”，一人抽中内容“B”．
14．为弘扬中华传统文化，草根一中准备开展“传统手工技艺”学习实践活动．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最想学习的传统手工技艺”问卷调查（问卷共设有五个选项：“A——剪纸”、“B——木版画雕刻”、“C——陶艺创作”、“D——皮影制作”、“E——其他手工技艺”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项），将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图；
（2）本次问卷的这五个选项中，众数是 ；
（3）该校共有3600名学生，请你估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A——剪纸”的人数．
15．某市某区在今年四月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查．调查结果根据年龄x（岁）分为四类：A类：18≤x＜30；B类：30≤x＜40；C类：40≤x＜50；D类：50≤x≤59．现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）抽取的C类市民有 人，并补全条形统计图；
（2）若本次抽取人数占已接种市民人数的5%，估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有多少人？
（3）区防疫站为了获取更详细的调查资料，从D类市民中选出两男两女，现准备从这四人中随机抽取两人进行访谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是一男一女的概率．
名校预测
1．【分析】根据必然事件的定义逐一判断即可：在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件．
【解答】解：A、由于只有3个黑球和1个白球，所以摸出两个球至少摸出一个黑球，是必然事件，符合题意；
B、由于只有3个黑球和1个白球，所以摸出两个球可以都是2个黑球，则至少摸出一个白球不是必然事件，不符合题意；
C、由于只有3个黑球和1个白球，所以摸出两个球可以是1个黑球，1个白球，则至少摸出两个黑球不是必然事件，不符合题意；
D、由于只有1个白球，则摸出两个白球不可能发生，不是必然事件，不符合题意；
故选：A．
2．【分析】根据中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5，6，8，8，9，
则中位数为：8．
故选：C．
3．【分析】根据众数的定义可以得解．
【解答】解：由图可知，80分有1人，85分有2人，90分有5人，95分有2人，
根据众数的定义，90分是这10名学生成绩的众数．
故选：B．
4．【分析】先由平均数的公式计算出李强第二次的平均数，再根据方差的公式进行计算，然后比较即可得出答案．
【解答】解：∵小李再跳1次，成绩分别为7.6，
∴这组数据的平均数是≈7.8（m），
∴这7次跳远成绩的方差是：
s2＝[（7.6﹣7.8）2+3×（7.8﹣7.8）2+（7.7﹣7.8）2+（8.0﹣7.8）2+（7.9﹣7.8）2]＝0.014，
∵0.014＜，
∴方差变小；
故选：B．
5．【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：A．
6．【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．
【解答】解：从中随机摸出一个小球，摸到红球的概率是．
故选：A．
7．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝；
故选：C．
8．【分析】首先根据图2确定实验的概率，然后确定答案即可．
【解答】解：观察图2知：频率逐渐稳定在0.3，
所以实验的概率为0.3，
A、转动转盘，出现偶数的概率为＝0.5，不符合题意；
B、转动转盘后出现能被3整除的数为3，6，9，概率为＝0.3，符合题意；
C、转动转盘，出现比6大的数为7，8，9，10，概率为＝0.4，不符合题意；
D、转动转盘后，出现能被5整除的数为5和10，概率为＝0.5，不符合题意．
故选：B．
9．【分析】根据平均数的定义即可求解，平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【解答】解：一组数据7，5，﹣2，5，10的平均数是，
故答案为：5．
10．【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行求解即可得出答案．
【解答】解：摸出红球的概率为．
故答案为：．
11．【分析】根据方差的意义可直接求解．
【解答】解：∵甲、乙两名学生5次立定跳远成绩的平均数相同，甲5次立定跳远成绩的方差为＝0.48，乙5次立定跳远成绩的方差为，
∴＜，
∴甲、乙两名学生5次立定跳远成绩比较稳定的是甲，
故答案为：甲．
12．【分析】利用所给图象可直观判断李波较稳定．
【解答】解：由图可得，张平同学的成绩波动程度较大，
李波同学的成绩相对稳定，
故答案为：李波．
13．【分析】利用加权平均数的计算方法解答即可．
【解答】解：这一年销售的套票的平均价格是：100×10%+150×30%+200×60%＝175（元）．
故答案为：175．
14．【分析】众数是出现次数最多的数，中位数是排好序后最中间的数．
【解答】解：德：（9分）；智：（8分）；体（10分）；美（8分）；劳（7分），
其中8出现次数2次最多，
故众数为：8；
分数排序为：7，8，8，9，10，
最中间的数为：8，
故中位数为：8．
故答案为：8；8．
15．【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【解答】解：（1）∵有男性3人，女性2人，每名学生被选中的概率相同，
∴从这5人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：
（2）3名男性分别用A、B、C表示，两名女性分别用D、E表示，列表如下：
共有20种等可能的结果，其中符合题意的结果共有12种，
∴恰好选中一男一女的概率为．
16．【分析】（1）根据每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%，可以求得每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数，从而可以求得2≤x＜4的学生数，从而可以将条形统计图补充完整，
（2）根据条形统计图的数据计算可以得到这50名学生每周课外体育活动时间的平均数；
（3）根据条形统计图，可以估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数．
【解答】解：（1）50×24%＝12，50﹣5﹣22﹣12﹣3＝8，
补全统计图如下：
（2）由题意可得，，
即这50名学生每周课外体育活动时间的平均数是5；
（3）由题意可得，
全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有：（人），
即全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有360人．
17．【分析】（1）先根据A组的数据得到样本总量为100人，再根据圆心角度数＝百分比×360°进行计算，即可得到答案；
（2）根据中位数的定义，即可判断中位数落在D组，再利用组中值，结合加权平均数的公式进行计算即可求出平均数；
（3）根据统计量进行分析即可得到答案．
【解答】解：（1）由A组数据可知，抽取的样本总量为10÷10%＝100人，
∴扇形统计图中B部分所对应的圆心角的度数为，
故答案为：54°；
（2）由题意可知，中位数为第50和第51名成绩的平均值，
∴本次测试成绩的中位数落在D组，
由（1）可知，样本总量为100人，
∴a＝100﹣10﹣15﹣30﹣25＝20，
∴本次测试成绩的平均数＝分，
故答案为：D；79.5；
（3）标准为8，比较合理，
理由：因为平均数是79，若将它定为标准，一半以上学生已经达到标准，不会再学习；
而中位数在80＜x≤90之间，取组中值作为标准，多数人努力能达到，有利于提高学习积极性．
18．【分析】（1）根据良好的35人，在扇形统计图中的圆心角为126°，求出结果即可；利用成绩优秀和良好总的百分比乘以总人数即可求出结果；
（2）先画出树状图，然后再用概率公式计算即可．
【解答】解：（1）（名）；
（名）．
答：本次抽样共调查了100名学生，该校学生整理错题集情况优秀和良好的学生一共约480名．
（2）
．
答：两次抽到的错题集都是优秀的概率为．
专家押题
1．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；
B、如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a，是必然事件，本选项符合题意；
C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；
故选：B．
2．【分析】根据众数、平均数、中位数及方差的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、12出现了3次，出现的次数最多，则这组数据的众数是12，故本选项正确，不符合题意；
B、这组数据的平均数：＝12，故本选项正确，不符合题意；
C、把这些数从小到大排列为：10，11，12，12，12，13，14，中位数是12，故本选项正确，不符合题意；
D、方差是：×[（10﹣12）2+（11﹣12）2+3×（12﹣12）2+（13﹣12）2+（14﹣12）2]＝，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
3．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，
∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为＝，
故选：C．
4．【分析】先计算出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式列式计算即可．
【解答】解：∵这组数据的平均数为×（23+22+24+23+23+23）＝23，
∴这组数据的方差为×[（22﹣23）2+3×（23﹣23）2+（22﹣23）2]＝，
故选：D．
5．【分析】将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到27个小立方体，其中一个面涂色的有6块，可求出相应的概率．
【解答】解：将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到3×3×3＝27（个），有6个一面涂色的小立方体，所以，从27个小正方体中任意取1个，则取得的小正方体恰有一个面涂色的概率为＝，
故选：B．
6．【分析】由统计表可知视力为4.9的有14人，人数最多，所以众数为4.9；总人数为50，得到中位数应为第25与第26个的平均数，而第25个数和第26个数都是4.9，即可确定出中位数为4.9．
【解答】解：由统计表可知众数为4.9；
共有：8+7+9+14+12＝50人，中位数应为第25与第26个的平均数，
而第25个数和第26个数都是4.9，则中位数是4.9．
故选：B．
7．【分析】根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵S甲2＝1.4，S乙2＝0.6，
∴S甲2＞S乙2，
∴两人射击成绩比较稳定的是乙．
故答案为：乙．
8．【分析】分别列出从﹣1，，2中任取两个不同的数作积，将所得的积从小到大排列，根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：从﹣1，，2中任取两个不同的数作积，有以下几种情况：
﹣1×＝﹣，﹣1×2＝﹣2，×2＝1，
将所得的积将从小到大排列为﹣2，﹣，1，
处在中间位置的数是﹣，因此中位数是﹣，
故答案为：﹣．
9．【分析】先计算两组数据的平均数，再计算它们的方差，即可得出答案．
【解答】解：甲射击的成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，
乙射击的成绩为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，
则甲＝×（6+7×3+8×2+9×3+10）＝8，
乙＝×（6+7×2+8×4+9×2+10）＝8，
∴S甲2＝×[（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2+（10﹣8）2]
＝×[4+3+3+4]
＝1.4；
S乙2＝×[（6﹣8）2+2×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+2×（9﹣8）2+（10﹣8）2]
＝×[4+2+2+4]
＝1.2；
∵1.4＞1.2，
∴S甲2＞S乙2，
故答案为：＞．
10．【分析】先数出“mathematics”中共多少个字母，让字母“t”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．
【解答】解：“mathematics”中共11个字母，其中共2个“t”，
任意取出一个字母，有11种情况可能出现，
取到字母“t”的可能性有两种，故其概率是；
故答案为：．
11．【分析】卡片共有5张，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，根据概率公式即可得到卡片上所画图形恰好是轴对称图形的概率．
【解答】解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，
根据概率公式，P（轴对称图形）＝．
故答案为．
12．【分析】用概率乘以动物的总只数即可得出20年后存活的数量；先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有0.8a只，活到25岁的只数为0.5a，
故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为＝，
故答案为：0.8a，．
13．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三个选手抽中同一演讲内容的结果，根据概率公式求解可得答案；
（2）找到这三个选手中有两个抽中内容“A”，一个抽中内容“B”的情况，利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如图：
由树状图知，共有8种等可能结果，其中三个选手抽中同一演讲内容的有2种结果，
∴三个选手抽中同一演讲内容的概率为＝；
（2）三个选手有两人抽中内容“A”，一人抽中内容“B”的有3种结果，
∴三个选手有两人抽中内容“A”，一人抽中内容“B”的概率为．
14．【分析】（1）由“C——陶艺创作”的人数除以所占百分比求出参加问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）由众数的定义求解即可；
（3）由该校共有的学生人数乘以“A——剪纸”的人数所占的比例即可．
【解答】解：（1）参加问卷调查的学生人数为：90÷30%＝300（人），
则“D——皮影制作”的人数为：300﹣66﹣54﹣90﹣15＝75（人），
补全条形统计图如下：
（2）本次问卷的这五个选项中，众数是“C——陶艺创作”，
故答案为：“C——陶艺创作”；
（3）估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A——剪纸”的人数为：3600×＝792（人）．
15．【分析】（1）根据抽取的C类的百分比求出其他三类的百分比，由其他三类的人数和除以其他三类的百分比可得抽取的总数，乘以抽取的C类的百分比即可得抽取的C类人数，从而补全条形统计图；
（2）根据本次抽取人数占已接种市民人数的5%即可求解；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男和一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，其他三类的百分比为1﹣25%＝75%，
其他三类的人数和为20+20+50＝90（人），
抽取的总数为90÷75%＝120（人），
抽取的C类市民有120×25%＝30（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：30；
（2）120÷5%＝2400（人），
答：估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有2400人；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男和一女的有8种结果，
∴抽取的两人恰好是一男和一女的概率为＝．
中考倒计时
01天
考前回练基础
一．选择题
1．﹣7的相反数是（ ）
A．﹣7B．﹣C．7D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．2a2﹣a2＝2B．（ab2）2＝ab4C．a2•a3＝a6D．a8÷a4＝a4
3．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b＜0B．b﹣a＜0C．2a＞2bD．a+2＜b+2
4．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
5．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．我市某校开展“共创文明班，一起向未来”的古诗文朗诵比赛活动，有10位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前5位进入决赛．如果小王同学知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，他需要知道这10位同学成绩的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
7．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（ ）
A．12B．9C．8D．6
8．2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.11×108B．1.1×107C．11×106D．1.1×106
9．某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（ ）
A．﹣＝20B．﹣＝20
C．﹣＝D．﹣＝
10．反比例函数为常数，k≠0）的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、二象限D．第三、四象限
11．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
13．如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（ ）
A．137°B．53°C．47°D．43°
14．如图是正方体的表面展开图，每个面内都分别写有一个字，则与“创”字相对面上的字是（ ）
A．文B．明C．城D．市
15．中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则以下结论错误的是（ ）
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h
C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有20km
16．如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（ ）
A．∠BADB．∠ACBC．∠BACD．∠DAC
二．填空题
17．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
18．已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于原点对称，则a+b＝ ．
19．分解因式：a2b+4ab+4b＝ ．
20．某公司10名职工的3月份工资统计如下，该公司10名职工3月份工资的中位数是 元．
21．一个正多边形的每个内角为135°，则这个正多边形的边数为 ．
22．方程的解为 ．
23．如图，已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：5，BD＝6，则BF的值是 ．
24．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝4，BD＝8，则OM的长为 ．
25．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如表所示：
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 ．若该中学共有2000名学生，请你估计这所中学一周在校的体育锻炼时间达到8小时的同学有 名．
26．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为 ．
三．解答题
27．计算：|﹣3|+2cs30°﹣．
28．化简：（a﹣1）（a+1）﹣a（a+1）．
29．化简：．
30．解不等式组：．
31．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2．
32．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA．
（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．
33．为了解学生每周课外体育活动时间的情况，某学校随机调查了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育活动时间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%．根据以上信息及统计图解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）求这50名学生每周课外体育活动时间的平均数；
（3）已知该校共有1200名学生，请估计每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有多少人？
34．为落实国家“双减”政策，某学校在课后服务活动中开设了A书法、B剪纸、C足球、D乒乓球这四门课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．
（1）小军选择的课程是篮球这一事件是 ；
A．随机事件
B．必然事件
C．不可能事件
（2）若小军和小贤两位同学各计划选修自己喜欢的一门课程，请用列表法或画树状图法求他们两人恰好同时选修球类课程的概率．
35．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．
36．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且DE⊥AC，BF⊥AC．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形DEBF是平行四边形．
37．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）
一．选择题
1．【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣7的相反数为7，
故选：C．
2．【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，积的乘方法则，同底数幂的乘，除法法则分别判断即可．
【解答】解：2a2﹣a2＝a2，故A错误，不符合题意；
（ab2）2＝a2b4，故B错误，不符合题意；
a2•a3＝a5，故C错误，不符合题意；
a8÷a4＝a4，故D正确，符合题意；
故选：D．
3．【分析】首先利用数轴上的信息确定a、b的正负性，然后利用不等式的性质即可解决问题．
【解答】解：根据数轴可知a＜0＜b，|a|＜|b|，
A：依题意a+b＞0，故结论错误；
B：依题意b﹣a＞0，故结论错误；
C：依题意2a＜2b，故结论错误；
D：依题意a+2＜b+2，故结论正确．
故选：D．
4．【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故选：A．
5．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
6．【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
【解答】解：由于总共有10个人，要判断是否进入前5名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．则应知道中位数的大小．
故选：C．
7．【分析】先求摸到红球的频率，再用20乘以摸到红球的频率即可．
【解答】解：摸到红球的频率为3÷5＝0.6，
估计袋中红球的个数是20×0.6＝12（个），
故选：A．
8．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：11000000＝1.1×107．
故选：B．
9．【分析】根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为2xkm/h，利用时间＝路程÷速度，结合汽车比骑车学生少用20min，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵骑车学生的速度为xkm/h，且汽车的速度是骑车学生速度的2倍，
∴汽车的速度为2xkm/h．
依题意得：﹣＝，
即﹣＝．
故选：D．
10．【分析】首先判断比例系数的符号，然后根据其性质确定其图象所处的位置即可．
【解答】解：∵k为常数，k≠0，
∴k2＞0，
∴反比例函数为常数，k≠0）的图象位于第一、三象限，
故选：A．
11．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，
由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
12．【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点得出a、b的符号，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣a，b）在第一象限内，
∴﹣a＞0，b＞0，
∴a＜0，
∴点B（a，b）所在的象限是：第二象限．
故选：B．
13．【分析】根据平行线的性质，得∠2＝∠1＝43°．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，
∴∠2＝∠1＝43°．
故选：D．
14．【分析】先以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，再判断与“创”字相对的字即可．
【解答】解：将正方体的表面展开图还原成正方体，以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，可知“创”字与“市”字相对．
故选：D．
15．【分析】根据“速度＝路程÷时间”分别求出两车的速度，进而得出轿车出发的时间，再对各个选项逐一判断即可．
【解答】解：由题意可知，
货车从西昌到雅安的速度为：240÷4＝60（km/h），故选项B不合题意；
轿车从西昌到雅安的速度为：（240﹣75）÷（3﹣1.5）＝110（km/h），故选项C不合题意；
轿车从西昌到雅安所用时间为：240÷110＝（小时），
3﹣＝（小时），
设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：
，
解得x＝1.8，
∴货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；
轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有60×＝40（km），故选项D符合题意．
故选：D．
16．【分析】俯角是向下看的视线与水平线的夹角，直接根据定义进行判断即可．
【解答】解：从热气球A看一栋楼底部C的俯角是∠DAC．
故选：D．
二．填空题
17．【分析】根据分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
18．【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
a＝﹣5，b＝﹣1．
a+b＝﹣5+（﹣1）＝﹣6，
故答案为：﹣6．
19．【分析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝b（a2+4a+4）＝b（a+2）2，
故答案为：b（a+2）2
20．【分析】根据中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5000，5200，5200，5200，5400，5400，5400，5400，5600，5600，
则中位数为：．
故答案为：5400．
21．【分析】利用外角和360°除以一个外角的度数就是正多边形的边数．
【解答】解：180°﹣135°＝45°，
360÷45＝8．
故答案为：八．
22．【分析】方程两边都乘x（x﹣1）得出2x＝x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：＝，
方程两边都乘x（x﹣1），得2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即方程的解为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
23．【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，从而可计算出DF的长，然后计算BD和DF的和即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：5，
∴＝，
即＝，
∴DF＝15，
∴BF＝BD+DF＝6+15＝21，
故答案为：21．
24．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝4，则∠AOB＝90°，所以AB＝＝2，由点M为AB的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得OM＝AB＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝8，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×4＝2，OB＝OD＝BD＝×8＝4，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵点M为AB的中点，
∴OM＝AB＝×2＝，
故答案为：．
25．【分析】根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算；再用2000乘以8小时所占样本的比例即可．
【解答】解：，
∴这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时，，
∴这所中学一周在校的体育锻炼时间达到8小时的同学有200名，
故答案为：6.4小时，200．
26．【分析】直接由圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵∠BAC＝54°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝108°，
故答案为：108°．
三．解答题
27．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：|﹣3|+2cs30°﹣
＝3+2×﹣2+1
＝3+﹣2+1
＝4﹣．
28．【分析】先用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝a2﹣1﹣a2﹣a
＝﹣1﹣a．
29．【分析】根据分式的混合运算进行化简即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝x﹣2．
30．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（2﹣x）＜2+x，得x＞1，
解不等式，得x≤2，
∴不等式组的解集为1＜x≤2．
31．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示．
32．【分析】（2）由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA即可；
（2）由全等三角形的性质求出∠BAD＝35°，由直角三角形的性质求出∠BAC＝55°，即可得出所求．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠D＝90°．
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）；
（2）解：∵△ACB≌△BDA，
∴∠BAD＝∠ABC＝35°，
∵∠BAC＝90°﹣∠ABC＝55°，
∴∠CAO＝∠BAC﹣∠BAD＝20°．
33．【分析】（1）根据每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%，可以求得每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数，从而可以求得2≤x＜4的学生数，从而可以将条形统计图补充完整，
（2）根据条形统计图的数据计算可以得到这50名学生每周课外体育活动时间的平均数；
（3）根据条形统计图，可以估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数．
【解答】解：（1）50×24%＝12，50﹣5﹣22﹣12﹣3＝8，
补全统计图如下：
（2）由题意可得，，
即这50名学生每周课外体育活动时间的平均数是5；
（3）由题意可得，
全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有：（人），
即全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有360人．
34．【分析】（1）由不可能事件的概念即可得出结论；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果数，其中小军和小贤两位同学恰好同时选修球类的有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵学校在课后服务活动中没有开设篮球这门课程，
∴小军选择的课程是篮球这一事件是不可能事件，
故选：C；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小军和小贤两位同学恰好同时选修球类课程的结果有4种，
∴小军和小贤两人恰好同时选修球类课程的概率是．
35．【分析】（1）由AC⊥BC，DE⊥BC，得AC∥DE，由四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，得AD∥CE，则四边形ACED是平行四边形，即可由∠ACE＝90°，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形；
（2）由平行四边形的性质和矩形的性质得AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝2，因为∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，则AB＝AE＝BE＝2CE＝4，∠AFB＝90°，所以AF＝AE＝2，即可根据勾股定理求得BF＝＝2．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2×2＝4，
∴∠AFB＝90°，AF＝AE＝×4＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴BF的长是2．
36．【分析】（1）由AAS证明△ADE≌△CBF即可；
（2）先证DE∥BF，再由全等三角形的性质得DE＝BF，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，
由（1）可知，△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
37．【分析】（1）分别把点A（1，0），B（3，2）代入直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c，利用待定系数法解得y＝x﹣1，y＝x2﹣3x+2；
（2）根据题意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根据图象可知，x2﹣3x+2＞x﹣1的图象上x的范围是x＜1或x＞3．
【解答】解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c得：
0＝1+m，，
∴m＝﹣1，b＝﹣3，c＝2，
所以y＝x﹣1，y＝x2﹣3x+2；
（2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
d几何体
立体图形
表面展开图
侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
平均数
中位数
众数
方差
甲品种
3.16
a
3.2
0.29
乙品种
3.16
3.3
b
0.15
尺码
35
36
37
38
39
40
销售量（双）
6
18
33
12
2
1
组别
测试成绩/分
频数（人）
A
50＜x≤60
10
B
60＜x≤70
15
C
70＜x≤80
a
D
80＜x≤90
30
E
90＜x≤100
25
整理情况
频数
频率
优秀
0.25
良好
35
合格
不合格
18
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
8
7
9
14
12
A
B
C
D
E
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）
工资/元
5000
5200
5400
5600
人数/人
1
3
4
2
时间（小时）
5
6
7
8
人数
10
15
20
5