2026年河南南阳市唐河县中考模拟试卷（一）数学（含解析）

这是一份2026年河南南阳市唐河县中考模拟试卷（一）数学（含解析），共14页。
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 实数、、、在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据实数，，，在数轴上的对应点，只有距离原点的距离最远，故这四个数中，绝对值最大的是．
2. 根据河南省文化和旅游厅数据显示，2025年“五一”5天假期，河南省接待游客6450.3万人次，同比增长4.6%．数据“6450.3万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．根据科学记数法的定义求解即可．
【详解】解：数据“6450.3万”用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：A、，故此选项计算正确，符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意．
4. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解．
【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，
故选：A．
5. 有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点P射入，折射光线从点B射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等等知识．先求出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C
6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：对于方程 ，其判别式为
，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即，
解得．
故选：D．
7. 习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（ ）
A. 2022年，人均纸质书籍阅读量为5本
B. 2023年，人均电子书籍阅读量为11本
C. 2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍
D. 2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，根据条形统计图逐项判断即可．从图形中读取有效信息是解题关键．
【详解】解：由统计图可知，2022年人均纸质书籍阅读量为5本，故A正确，不符合题意；
2023年人均电子书籍阅读量为11本，故B正确，不符合题意；
2024年人均电子书籍阅读量为12.3本，人均纸质书籍阅读量为5.3本，
，
年人均电子书籍阅读量不是人均纸质书籍阅读量的3倍，故C错误，符合题意；
2016年至2024年人均电子书籍阅读量是逐年上升的，故D正确，不符合题意．
故选：C．
8. 如图，P是菱形的边上的一点，，过点P作，垂足为Q．若，则的长为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
连接交于点O，，，根据勾股定理，可得，继而证明，则，即可解答．
【详解】解：连接交于点O，如图，
∵四边形菱形，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，．
故选：C．
9. 如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了圆心角和弧的关系、扇形的面积公式、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据弧和圆心角的关系可得，即，进而得到，根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、进而得到；在中解直角三角形可得，最后根据求解即可．
【详解】解：如图：
∵在扇形中，，点为的三等分点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
．
故选A．
10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ）
A. 2B. 2.5C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形的性质，得到当点P运动到点C时，的面积最大是解题的关键；
根据运动轨迹可得的面积先增大再减小，可得当点P运动到点C时，的面积最大为4，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答．
【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大再减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为4，如图，
∵等腰直角三角形，，点D为边的中点，
∴，
∴，
当点P运动到的中点时，
∵点D为边的中点，
∴；
故选：A.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若是整数，则整数的值可以是________．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先将化简，根据二次根式的性质，若结果为整数，则化简后被开方数需为完全平方数，据此即可求出整数的值．
【详解】解：
∵是整数，为整数，
∴是完全平方数，
∴时，，是完全平方数，，是整数，符合题意．
∴整数的值可以是．
12. 如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为___________（用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化规律、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．根据图形的变化规律可知，从第二个图形起每个图形都比前一个多3个小正方形，以此即可找到图形规律．
【详解】解：第1个图案有4个正方形，即，
第2个图案有7个正方形，即，
第3个图案有10个正方形，即，
……
以此类推，第个图案有个正方形，
故答案为：．
13. 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先用表格列举出所有等可能出现的结果，找出符合条件的结果数，再根据概率的定义计算即可．
【详解】解：将所有等可能结果列表如下：
由表可知，共有种等可能的结果，其中两张卡片刚好拼成“德”字读音的结果有种，
因此所求概率为．
14. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，坐标与图形等知识，连接，，过点P作于点A，由点P的坐标可得出，，再结合切线的性质和圆的半径相同可得出，再由勾股定理得出，进而可求出，即可求出点N的坐标．
【详解】解：如图，连接，，过点P作于点A，
∵与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，
∴轴，
∵点P的坐标为，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 已知和都为等腰直角三角形，，，，连接，当时，若，，则的长为________．
【答案】5或
【解析】
【分析】根据题意得：，，则，，证明，则，可求；当时，分当在外部，当在内部两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵和都为等腰直角三角形，
∴，，
∴，，即，
∴，
∴，即，
解得，；
当时，分当在外部，当在内部，两种情况求解；
当在外部时，，如图①，记的交点为，
由题意知，，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，
∴；
当在内部时，，如图②，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，即，，即，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴；
综上所述，的长为5或，
故答案为：5或．
本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦，勾股定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算与化简：
（1）计算：；
（2）化简．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值，进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：
．
17. 某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡30毫升和牛奶150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案：10毫升；方案：30毫升；方案：50毫升），并从300位品尝嘉宾中随机抽取10位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以1至10的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）．
数据处理：根据收集到的数据，绘制了下列统计图表．
表1 甜度、整体口感评分统计表
数据应用
（1）在表1中，__________，__________．根据整体口感评分，三个方案中方案__________（填A、B或C）最受欢迎；
（2）补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响；
（3）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为3：7，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于6.5分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案．
【答案】（1），，B
（2）见解析 （3）推断该店将会推出方案B
【解析】
【分析】（1）根据平均数的计算公式和方案的得分即可计算出方案的平均分；把方案的整体口感得分从小到大排列，中间的两个数据的平均数即为方案的中位数；
（2）由（1）可得方案A的整体口感平均数是，即可补全统计图，根据统计图可得，随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增高后降低；
（3）分别计算出三个方案的综合得分，根据综合得分判断推出哪一个方案．
【小问1详解】
解：方案A的整体口感平均数是，
方案C的整体口感得分从小到大排列为：、、、、、、、、、，
第五个和第六个数据都是，
方案C的整体口感中位数；
由统计表可知：方案的平均数和中位数最高，
方案B最受欢迎；
故答案为：，，B；
【小问2详解】
由（1）可得方案A的整体口感平均数是
由图2可知：随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增高后降低．
【小问3详解】
解：方案综合得分为：；
方案综合得分：；
方案综合得分为：；
由，则推断该店将会推出方案．
18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，顶点，在反比例函数的图象上，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求的值；
（2）直接写出的值为__________；
（3）将菱形向下平移，当点落到反比例函数的图象上时，求平移的距离．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）点，点代入得出，即可得，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）连接交于点，根据菱形的性质可得，进而根据中点坐标公式，即可求解；
（3）由（2）可得，代入反比例函数解析式，可得，进而得出平移的距离．
【小问1详解】
解：∵点，点在的图象上，
．
将代入，得．
【小问2详解】
如图，连接交于点，则，
∵，
∴，点，
，
即，
解得：；
【小问3详解】
∵，点的坐标为，
∴；
令，代入中，得，
∴平移距离为．
19. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
（1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
（2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
【答案】（1）每个篮球60元，每个足球50元
（2）当购买篮球4个的时候，所花费用最少
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键：
（1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可．
【小问1详解】
解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得：
或或，（三个方程组任选一个即可）
解得：；
答：每个篮球60元，每个足球50元．
【小问2详解】
设蓝球有个，则足球有个
，
解得：，
设购买的总费用是元，
，
，
随着的减小而减小；
∵且为整数，
当最小值为4时，最小值为540元；
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少．
20. 如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， 可得，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，进一步证明，利用相似三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形，
∴，
∵，
∴点N和点G重合，
∴；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
答：避雷针顶端的高度为．
21. 如图是一张半圆形纸片，是其直径，是半圆上一点，将纸片沿直线翻折后，交直径AB于点．若点恰好落在点处．
（1）尺规作图：在图中作出点折叠前的对应点（保留作图痕迹）；
（2）分别连接、、、，与、分别交于点F、G，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）在上取一点，使，根据菱形的性质即可求解．
（2）利用轴对称性得出，，结合半径，得出，即可得四边形是菱形；证明，求出，同理得出，，则可求，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，以点为圆心，以为半径画弧交于点，连接，
∵，
∴是等边三角形，，
∵折叠，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴点即为折叠前点的对应点；
【小问2详解】
连接
是点关于直线AC的对称点，
∴四边形是菱形
，
，
，
同理，
．
22. 体育课上嘉嘉同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似的看作是抛物线的一部分，如图1是嘉嘉连续两次蛙跳的运动示意图，规定嘉嘉距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为，第一个蛙跳的起跳点为原点，并在达到最高点，在点A处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同．
（1）求嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式；
（2）若嘉嘉第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点．
①求的值；
②在距离原点处，水平放置一个距离地面高度为的可调节支撑杆，判断嘉嘉在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①代入得出，进而设第二个蛙跳路线为抛物线为待定系数法求，即可求解；
②将，代入第二个蛙跳路线的解析式，比较函数值与的大小，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，设嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式为，代入得，
，
解得：，
∴嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式为
；
【小问2详解】
解：①∵第一个蛙跳在点A处落地，
∴当时，，
解得：，
，
∵第二个蛙跳路线为抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同，在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点，
又，
解得：；
②嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由如下，
∵，
∴第二个蛙跳路线为抛物线
当时，，
，
∴嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆．
23. 已知在矩形纸片中，,，P为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，过点E作的平行线，交于点M，交于点N．
（1）【思考】如图1，当E为线段的中点时，的度数为______；
（2）【探究】如图2，当点E恰好落在矩形的对角线上时，求线段的长；
（3）【拓展】在点P的移动过程中，当时，连接，直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的判定与性质得到，进而，由折叠性质得，在中，利用正弦定义可求解；
（2）先由勾股定理求得，再由折叠性质得，，，由列方程求解即可；
（3）分当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时两种情况，根据折叠性质和勾股定理分别求解即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点E为线段的中点，
∴，
由折叠性质得，
在中，，
∴；
【小问2详解】
解：在中，,，
∴，
由折叠性质得，，，
由得，
∴，
解得；
【小问3详解】
解：当点P在线段上时，如图，
∵，，
∴，
由折叠性质得，，
∴四边形是正方形，
∴；
当点P在线段的延长线上时，如图，
由折叠性质得，，
∵，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
综上，的长为或．
本题考查矩形的性质、折叠性质、解直角三角形、平行线的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠性质和矩形的性质，分类讨论是解答的关键．
韵母
声母




方案/评分/项目
甜度
整体口感
平均数
中位数
平均数
中位数
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同