广东茂名市高州市2025-2026学年第二学期高二质量监测数学试题（含解析）期中下学期

这是一份广东茂名市高州市2025-2026学年第二学期高二质量监测数学试题（含解析）期中下学期，共49页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交.，本卷主要命题范围等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
高州市教育局教研室
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，请将答题卡上交.
4．本卷主要命题范围：选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章～第七章7.2.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等差数列2，5，8，…，则41是这个数列的（ ）
A. 第16项B. 第15项C. 第14项D. 第13项
【答案】C
【解析】
【详解】由题可知该等差数列的首项为2，公差为3，
因此该数列通项公式为，
令am=3m−1=41 ，可得.
因此41是这个数列的第14项.
2. 一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A. 1m/sB. 3m/sC. 5m/sD. 7m/s
【答案】D
【解析】
【详解】因为St=t2−t+3 ，所以S't=2t−1 ，
则在时的瞬时速度为S'4=2×4−1=7 .
3. 在的展开式中，第7项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据二项展开式的通项可得第7项为T7=Cn61n−6−x6=Cn6x6.
4. 下表是离散型随机变量的分布列，则（ ）
A. 0.35B. 0.45C. 0.3D. 0.4
【答案】D
【解析】
【详解】由题可知，0.51+1−2q+q2=1 ，解得q=1.7 或，
当q=1.7 时，，，不满足题意，舍去，
故，则PX=1=1−2q=1−2×0.3=0.4 .
5. 由组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（ ）
A. 300B. 360C. 420D. 480
【答案】C
【解析】
【分析】由最后一位数是0和最后一位不是0，两类情况讨论求解即可.
【详解】最后一位数是0，偶数的个数是；
最后一位不是0，偶数的个数是，
所以一共有种.
6. 已知正项数列满足，且，则（ ）
A. 6B. 42C. 80D. 84
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算性质，结合等比数列的定义，可得数列是以2为公比的等比数列，根据条件，代入求解，可得的值，即可得数列的通项公式，代入数据，即可得答案.
【详解】由题意，所以，则，
所以数列是以2为公比的等比数列，则，
所以，解得，
所以，则，
所以
7. 某校从高一､高二､高三中各选派名同学参加“党的光辉史”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为，，，学习后，学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设事件为“24人中抽出一名女同学”，事件为“24人中抽出一名高三同学”，分别求得，，代入条件概率公式即可求解.
【详解】设事件为“24人中抽出一名女同学”，事件为“24人中抽出一名高三同学”，
则，，.
故选：A.
8. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间，即可比较的大小关系，构造函数利用导数求出函数的单调区间，即可比较的大小关系，即可得解.
【详解】令，则f'x=1x+1−1=−xx+1，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以f7878，即，
综上所述，.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 把10本不同的书排放在书架上，其中两本数学书不能相邻的排法有（ ）
A. 种B. 种
C. 种D. 种
【答案】AC
【解析】
【分析】法一：利用插空法解决即可.
法二：利用间接法结合捆绑法求解即可.
【详解】法一：先把其他的8本书排好，形成了9个空，再将2本数学书插入9个空，
则有种不同的排法.
法二：若两本数学书相邻，则有种排法，
所以两本数学书不能相邻的排法有A1010−A22A99种.
故选：AC.
10. 若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，方盒的容积最大B. 方盒的容积没有最小值
C. 方盒容积的最大值为D. 方盒容积的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】将方盒容积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得单调性、最值点和最值，由此可得结果.
【详解】由题意知：方盒的底面为边长为的正方形，高为，其中，
则方盒的容积为，
，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，无最小值，ABC正确，D错误.
故选：ABC.
11. 记等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 当且仅当时，最大D. 的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】由等差数列和等比数列基本量的运算，求得等差数列的公差，等比数列的公比，进而逐项判断即可.
【详解】因为为等差数列，，所以，
又因为，所以公差，所以，
，，，
所以当或时，最大，所以A正确，C错误；
因为是等比数列，所以，
所以，因为，
所以公比，
所以或，所以或，
所以选项B错误；
当时，，，，
所以当或时，最大，且最大值为；
当，
，，，，
当时，，当时，，又，当时，，
所以当时，最大，且最大值为，
综上，可知的最大值为，所以选项D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据组合数的性质，分析即可得答案.
【详解】根据组合数的性质，且，
所以.
13. 二项式的展开式中，前3项的系数依次成等差数列，则偶数项二项式系数之和为________．
【答案】128
【解析】
【分析】首先根据二项式定理求出二项式的通项公式，并求出前三项，根据已知条件列方程，解得，再根据二项式系数的性质求解.
【详解】二项式展开式的通项公式，
当时，，
当时，，
当时，，
因为前3项的系数依次成等差数列，
所以，即，
解得（舍）或，
所以偶数项二项式系数之和为.
14. 某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为1：5，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________．
【答案】9597
【解析】
【详解】设表示“被检测人员是业主”，表示“被检测人员是外来访客”，设表示“允许通行”，
已知外来访客和小区业主的比为，则，PA=16，
小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，
则业主被允许通行的概率为PBA=1−120=1920，
外来访客被判定为“允许通行”的概率为PBA=110，
因此“允许通行”的概率为PB=PAPBA+PAPBA=56×1920+16×110=97120，
所以PAB=PAPBAPB=56×192097120=9597.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 设等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列通项公式及前项和公式求解；
（2）代入求出数列的通项公式，利用分组求和法求出数列的前项和.
【小问1详解】
设等差数列的首项为，公差为，
，
，
则a1+3d=7a1+6d=13，解得，
所以.
【小问2详解】
，，
.
16. 已知函数fx=lnx+ax−2x ．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有两个极值点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
当时，fx=lnx+2x−2x ，求导可得f'x=1x−2x2−2 ，
当时，f1=0+2−2=0 ，f'1=1−2−2=−3 ，
所以在点处的切线方程为.
【小问2详解】
由（1）可知，f'x=1x−ax2−2=x−a−2x2x2x>0，
设函数gx=−2x2+x−ax>0，要有两个极值点，即方程要有两个不相等的正实数根，
设为的两个极值点，即方程的两个正实数根，
所以Δ=1−4×−2×−a>0x1+x2=12>0x1x2=a2>0，解得，即实数的取值范围为.
17. 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字．
（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）求随机变量的分布列．
【答案】（1）
（2）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求出结果；
（2）先求出的可能取值为2，3，4，5．在求出的每个取值的概率即可得解.
【小问1详解】
“取出的3个小球上的数字互不相同”记为事件，
则为“取出的3个小球上有2个数字相同”，∴，∴．
【小问2详解】
由题意可知的可能取值为2，3，4，5，
，，
，．
可得的分布列如表所示．
18. 已知数列的前n项和为，且．
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）记，记数列的前n项和为．
①求；
②若存在，使得，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式.
（2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可.
【小问1详解】
数列中，，当时，，
两式相减得，整理得，于是，
而，即，则，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，；
【小问2详解】
①由（1）知，，，
.
②由①知，，，
，
而数列单调递增，则，
因此，由存在，使得，得，
所以的取值范围是.
19. 已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数分析的单调性，进而求得函数的最大值；
（2）根据题意，在上恒成立，参变分离后，通过（1）中所求，即可求得参数的范围；
（3）将转化为在上恒成立，构造函数，讨论该函数的单调性，进而根据不同单调性的情况，分析是否在区间上恒成立，从而求得参数的范围.
【小问1详解】
，定义域为，，
令，得，当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为.
【小问2详解】
因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立，即，
由（1）可知，的最大值为1，所以，即，
所以实数的取值范围为.
【小问3详解】
若函数在上恒成立，即在成立，
所以在上恒成立，
令，
则，
因为，所以当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意；
当时，令，
①当时，即时，则恒成立，
即在上恒成立，所以函数在上单调递减，
所以，所以时符合题意；
②当时，即时，令，
则，
因为，所以，
所以当时，，所以在上恒成立，
即函数在上单调递增，所以当时，，
所以时，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
0
1
2
0.51
2
3
4
5