广东省茂名市2025-2026学年高二上学期普通高中教学质量监测数学上学期期末试题（试卷+解析）

这是一份广东省茂名市2025-2026学年高二上学期普通高中教学质量监测数学上学期期末试题（试卷+解析），共23页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 已知F是抛物线C， 已知，，若圆C等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数据7，8，7，9，5，4，9，10，7，4的第75百分位数为（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 5
2. 椭圆的长轴长为（ ）
A. B. 2C. D. 4
3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A B.
C. D.
4. 若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（ ）
A. 2B. C. D.
5. 已知F是抛物线C：的焦点，点O是C的顶点，点A在C上，且，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
6. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ）
A. 7B. 10C. 14D. 35
7. 双曲线的左右焦点分别为，，若在双曲线的右支上存在点P满足，则离心率的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 已知，，若圆C：上存在点P使得，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-16，则（ ）
A. A，B两点的纵坐标之积为-9
B.
C. 双曲线的离心率为
D. 双曲线的渐近线方程为
10. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，E为的中点，则（ ）
A.
B.
C. 直线与夹角的余弦值为
D. 若，则点到直线的距离为
11. 设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若A与B相互独立，则
B. 若A与B互斥，则
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列为等差数列，，，则______.
13. 已知一组数据：，则这组数据方差为_____.
14. 在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知点和圆C：.
（1）若P在直线：上，求直线被圆C截得的弦的长；
（2）若点Q在C上运动，M为线段的中点，求点M的轨迹方程.
16. 如图，正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17. 某学校组织150名学生参加生物竞赛，成绩（单位：分）均在内，成绩的频数分布表如图所示：
（1）估计这150名学生生物竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替，结果精确到0.1）；
（2）评卷老师采用分层抽样的方法从竞赛成绩的学生中抽出5人，再从这5人中随机抽取2人的答题卡进行查阅，求选取的2人中恰有1人成绩在内的概率；
（3）已知成绩在内的考生成绩的平均值和方差分别为74和40，成绩在内的考生成绩的平均值和方差分别为86和61，求成绩在内的考生成绩的方差.
18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点在C上.
（1）若点P在x轴上方，且，求点P的坐标；
（2）已知直线：
（i）证明：直线与C相切；
（ⅱ）若与直线交于点Q，过点Q作直线的垂线，垂足为H，求的取值范围.
19. 已知抛物线C：焦点，点O为坐标原点，过点作直线，分别交抛物线C于A，B两点和C，D两点，直线与直线交于点E.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程；
（3）抛物线C在第一象限的图象上是否存在定点M，使得的面积为定值，若存在，求出该定值；若不存在，说明理由.
分数
频数
10
30
60
30
20
2025—2026学年第一学期茂名市普通高中教学质量监测
高二数学
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数据7，8，7，9，5，4，9，10，7，4的第75百分位数为（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据百分位数的定义求解.
【详解】数据从小到大排列为4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，
，
∴第75百分位数为由小到大第8位数9.
故选：A
2. 椭圆的长轴长为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由椭圆的定义可知长轴长为.
【详解】由方程知，所以长轴.
故选：C.
3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】点关于平面对称的点的坐标为.
【详解】点关于平面对称的点的坐标为.
故选：B.
4. 若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，直线平移后的直线方程，根据两直线重合，求得.
【详解】直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，
得到的直线方程为，即.
∴，∴.
故选：B.
5. 已知F是抛物线C：的焦点，点O是C的顶点，点A在C上，且，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的焦半径公式求出点坐标求解即可,
【详解】设，
由可知，则，
∴，∴，
则.
故选：D
6. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ）
A. 7B. 10C. 14D. 35
【答案】A
【解析】
【分析】由等差数列性质可知，代入求出，再由等差数列前n项和公式得出结论.
【详解】因为，
所以，解得，
则.
故选：A.
7. 双曲线的左右焦点分别为，，若在双曲线的右支上存在点P满足，则离心率的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的定义结合，得到，再结合即可求解.
【详解】根据双曲线的定义，
而，∴，
∵，
∴，
∴.∴.
故选：D.
8. 已知，，若圆C：上存在点P使得，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据求出点的轨迹方程为，由题意，两圆有公共点，根据两圆位置关系列式求解即得.
【详解】设，由得，化简得：，
∴P的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
因为点P在圆C上，则两圆有公共点，因此两圆圆心距满足：.
又，，则，即，
∴.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-16，则（ ）
A. A，B两点的纵坐标之积为-9
B.
C. 双曲线的离心率为
D. 双曲线的渐近线方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对称性求出点的坐标，进而求出，再结合离心率、渐近线的意义逐项求解.
【详解】设，依题意，点A，B两点关于原点对称，则，不妨设，
对于A，由，得，则，，即，A正确；
对于B，，代入双曲线方程得，B错误；
对于C，双曲线半焦距，双曲线的离心率为：，C正确；
对于D，，则双曲线的渐近线方程为，D错误.
故选：AC
10. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，E为的中点，则（ ）
A.
B.
C. 直线与夹角的余弦值为
D. 若，则点到直线的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据四棱锥的性质，结合已知条件，构造空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，利用向量加减法求出，判断选项A；求出向量，求数量积判断选项B；利用向量夹角余弦公式求向量与夹角的余弦值，判断选项C；利用向量夹角余弦公式求出夹角的余弦值，进而求出正弦值，进而计算点到直线的距离，判断选项D．
【详解】平面，平面，
，，在正方形中，有，
，，两两互相垂直，以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
而，E为的中点，，
从而，，，，，，，
对于A，，故A正确；
对于B，，，故，故B正确；
对于C，，，则直线与夹角的余弦值为
，故C错误；
对于D，，，故，
，
，
点E到直线的距离为，故D正确．
故选：ABD．
11. 设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若A与B相互独立，则
B. 若A与B互斥，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用和事件的概率公式，及相互独立事件同时发生的概率公式即可求解；对于B，利用互斥事件的关系即可求解；
对于C，根据积事件的概率公式，及事件的关系即可求解；
对于D,根据和事件的概率公式求出再由相互独立事件的定义得到A与B相互独立再利用和事件的概率公式即可求解
【详解】若A与B相互独立，则，
∴，故A正确；
若A与B互斥，则，∴，故B错误；
∵，∴，
∴，故C正确；
∵，∴，
∴A与B相互独立.∴与B相互独立，A与相互独立.
∴
，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列为等差数列，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列的定义求出首项和公差即可.
【详解】设的公差为d，则，
解得，
所以.
故答案为：.
13. 已知一组数据：，则这组数据的方差为_____.
【答案】2
【解析】
【分析】方法一：先计算平均数再应用方差公式计算求解；方法二：应用特殊值法计算求解.
【详解】方法一：，，，，的平均数，
所以方差为
.
方法二（特殊值法）：
令，则，，，，与1，2，3，4，5的方差是一样的，
经计算得平均数，这组数据的方差为.
故答案为:2.
14. 在四面体中，Q为重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】设中点为R，，连接，则有，且，从而得，解得，可得，由重心性质可得，设，且，从而可得，最后由D，E，F，G四点共面，即可求得答案.
【详解】如图所示：设中点为R，，连接，
由P，R，C，Q，S，G共面，
可知与平面的交点即与的交点D.
因为，，，
设，
则，
设，
则，
故，
故，
解得，代入，
可得，即.
由重心性质可得，
设，
又，
则，
故，解得，
故，
则，
由D，E，F，G四点共面，
可知：（其中），
所以，
则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知点和圆C：.
（1）若P在直线：上，求直线被圆C截得的弦的长；
（2）若点Q在C上运动，M为线段的中点，求点M的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）将点代入直线：中求出直线方程，再由勾股定理求直线被圆截得的弦长；
（2）设点、，将点Q坐标用点M坐标表示，再代入圆方程整理即可得出结论.
【小问1详解】
由题可知圆心，半径，
因为点在直线：上
所以，即直线：.
设圆心C到直线：的距离为d，则.
所以弦.
【小问2详解】
设，.
由中点坐标公式可知，
则.
又因为点Q在圆C上，
所以，
即.
整理得点M的轨迹方程是.
16. 如图，正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】(1)以D为原点，以，，分别作为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.求得平面的一个法向量，利用在该法向量上的投影的绝对值求得点到平面的距离；
（2）根据面面角的向量求法求得平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
由题意，以D为原点，以，，分别作为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系得，
则，，，.
∴，，.
设平面的一个法向量为，
则，所以，
故可取，得，则.
设点到平面的距离为，则.
【小问2详解】
平面的一个法向量为.
由（1）可知平面的一个法向量为，
则.
设平面与平面夹角为θ，则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 某学校组织150名学生参加生物竞赛，成绩（单位：分）均在内，成绩的频数分布表如图所示：
（1）估计这150名学生生物竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替，结果精确到0.1）；
（2）评卷老师采用分层抽样方法从竞赛成绩的学生中抽出5人，再从这5人中随机抽取2人的答题卡进行查阅，求选取的2人中恰有1人成绩在内的概率；
（3）已知成绩在内的考生成绩的平均值和方差分别为74和40，成绩在内的考生成绩的平均值和方差分别为86和61，求成绩在内的考生成绩的方差.
【答案】（1）76.3.
（2）
（3）79.
【解析】
【分析】由样本平均数计算公式得出结论.
先根据分层抽样法确定和需要抽取的学生人数，再列出样本空间，找到满足条件的样本点，由古典概型公式得出结论.
已知各层均值和方差求总体均值和方差.
【小问1详解】
平均数为，
所以估计这150名学生生物竞赛成绩的平均数为.
【小问2详解】
由分层抽样法，在内抽取的学生有人，记为a，b，c.
在内抽取的学生有人，记为A，B.
从这5人中抽取2人的样本空间为共10个样本点.
设事件M=“选取的2人中恰好有1人成绩在内”，
则M包含：，，，，，共6个样本点.
所以.
选取的2人中恰有1人成绩在内的概率为.
【小问3详解】
成绩在内的考生成绩的平均值为，
所以方差为.
成绩在内的考生成绩的方差为79.
18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点在C上.
（1）若点P在x轴上方，且，求点P的坐标；
（2）已知直线：.
（i）证明：直线与C相切；
（ⅱ）若与直线交于点Q，过点Q作直线的垂线，垂足为H，求的取值范围.
【答案】（1）或.
（2）（i）证明见解析；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）由三角形面积公式及求解即可；
（2）（i）联立直线和椭圆方程，由判别式即可判断，（ⅱ）确定，结合向量数量积的坐标表示得到，再结合，即可求解.
【小问1详解】
由已知可得，，
代入解得，
∴或.
【小问2详解】
（ⅰ）联立，得①.
∵，∴①式可化为.
即.
∴与相切，切点即为.
（ii）对：令，得，∴.
.
∵，∴取值范围为.
19. 已知抛物线C：的焦点，点O为坐标原点，过点作直线，分别交抛物线C于A，B两点和C，D两点，直线与直线交于点E.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程；
（3）抛物线C在第一象限的图象上是否存在定点M，使得的面积为定值，若存在，求出该定值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）由题意得到，进而可求解；
（2）设，，确定直线： .设上一点，由到直线距离相等列出等式，进而可求解；
（3）由直线：，直线：，求得坐标，从而确定点E在直线上，再确定使得的面积为定值的点一定在过点F且与平行的直线上，进而可求解.
【小问1详解】
由题意得，则.
∴.
【小问2详解】
设，，显然，
则直线：，整理得.
∵直线过点，∴.①
∵的角平分线方程为，
设上一点，直线：，直线：，
∴.
整理得，
令，
即，是方程的两根.
∴，.
∵，∴，，.
∴直线的方程为.
【小问3详解】
，，
同理可得.②
又∵直线：，
直线：，
∴，
，
将①②代入上式化简得.
∴点E在直线上，
∴使得的面积为定值的点一定在过点F且与平行的直线上，
由解得或（舍），
此时，.
∴点F到直线的距离.
∴.
分数
频数
10
30
60
30
20