广西壮族自治区崇左市2026届高三下学期二模数学试题（含解析）高考模拟

这是一份广西壮族自治区崇左市2026届高三下学期二模数学试题（含解析）高考模拟，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由，则.
2. 已知命题：，，命题：，，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】B
【解析】
【详解】由，得，即，解得.
方法二：由，得或.
解得.
所以是假命题，是真命题.
当时，显然成立，所以是真命题，是假命题.
3. 已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确.
4. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球，的学生喜欢篮球，的学生既喜欢足球又喜欢篮球.若对只喜欢足球和只喜欢篮球的学生用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取的样本中只喜欢足球的学生有3人，则抽取的样本中只喜欢篮球的学生有（ ）
A. 3人B. 4人C. 6人D. 9人
【答案】D
【解析】
【详解】由题意，有的学生只喜欢足球，有的学生只喜欢篮球，
则只喜欢足球的学生与只喜欢篮球的学生比例为，
按照分层随机抽样，由于抽取的样本中只喜欢足球的学生有3人，设抽取的样本中只喜欢篮球的学生有人，
则，解得，则抽取的样本中只喜欢篮球的学生有9人.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用角的整体代换，将表示成，再利用诱导公式和二倍角公式，即可求出的值.
【详解】由题意得
，
因为，
所以.
6. 已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上，代入点可得，即可得渐近线方程.
【详解】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上，
则，解得，
且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为.
7. 某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为（单位：千米），小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设无人机主动飞行对应的向量为，根据题意可得，列方程求解即可.
【详解】设无人机主动飞行对应的向量为，则飞行路程为，
因为，由题意可得：，
则，可得，即，
由可得，
则，且，解得，，
所以无人机主动飞行对应的向量为.
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】整理可得，令，，结合的单调性可得.举反例判断ABC；结合对数函数单调性判断D.
【详解】因为，则，
即，且，，
令，，则，
因为函数在定义域内单调递增，则.
例如，，满足，但，且均无意义，故AC错误；
例如，，满足，但，故B错误；
由可得，即，
所以，故D正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，，成等比数列，则下列三个数一定可以构成等比数列的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】BD
【解析】
【分析】设公比为，则，，，.对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据等比数列定义分析判断.
【详解】若，，，成等比数列，
设公比为，则，，，.
对于选项A：若，则，，，
可得，此时，，不为等比数列，故A错误；
对于选项B：因为，，，
可知均不为0，且，
所以，，为等比数列，故B正确；
对于选项C：若，则，
可得，此时，，为等比数列，故C错误；
对于选项D：因为，，，
可知，，均不为0，且，
所以，，为等比数列，故D正确.
10. 已知函数，下列命题正确的是（ ）
A. 的定义域为B. 的值域为
C. 的图象关于点对称D. 在，上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正切函数的性质判断．
【详解】对AB，的定义域为，值域为，A正确，B错误.
对C，，所以的图象关于点对称，C正确.
对D，当时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递减.当时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递减，D正确.
11. 如图，在该九面体中，六边形是边长为2的正六边形，，均为正三角形，且平面，平面均垂直于平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面B. 该九面体的体积为8
C. 该九面体外接球的表面积为D. 二面角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：作辅助线，可证平面，平面，则，即可判断；对于B：建系并标点，求点到平面的距离，利用割补法求多面体体积；对于C：分析可知球心，设，根据两点间距离公式可得，进而可得半径和表面积；对于D：求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.
【详解】对于选项A：取，的中点分别为，连接，
因为为等边三角形，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，则，
且，可知四边形为平行四边形，则，
且平面，平面，所以平面，故A正确；
对于选项B：取，的中点分别为，连接，
则，可知平面，，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
可得，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得；
则点到平面的距离，
由对称性可知点到平面的距离，且为正三棱柱，
所以该九面体的体积为，故B错误；
对于选项C：因为为正六边形的中心，平面，
可知该九面体外接球的球心，设，外接球的半径为，
因为，则，解得，
可得，所以该九面体外接球的表面积为，故C正确；
对于选项D：设平面的法向量为，则，
令，则，可得；
由题意可知：平面的法向量为，
设二面角为，
则，
可得，所以二面角的正弦值为，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，共有300多台机器人参赛.某人形机器人在加速奔跑时，电机转速逐秒依次构成等差数列，已知第3秒转速为，第7秒转速为，则第4秒转速为______.
【答案】270
【解析】
【分析】设第n秒转速为，结合等差数列性质可求公差和.
【详解】设第n秒转速为，
可知数列为等差数列，且，，
则公差，可得，
所以第4秒转速为.
13. 已知函数有且仅有1个零点，则______．
【答案】1或
【解析】
【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，根据偶函数的图象可判断零点位置．
【详解】因为，且的定义域为R，
故为偶函数；
要使得有且仅有1个零点，必有，
化简得:，解得或；
验证：
当时，，
当时，，故是零点，
当时，因为，
故，因此，仅有这一个零点．
当时，，
当时，，故是零点，
当时，因为，
故，因此，仅有这一个零点．
经验证，或符合题意．
14. 已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】若四边形为矩形，则四边形为正方形，可得，根据椭圆性质可得，运算求解即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，
由题意可知：，，且，
若存在点，使得四边形为矩形，此时，
且，则四边形为正方形，可得，
则，可得，且，即，
可得，可得，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，.
（1）求的内角中最大的角的大小；
（2）点在边上，且，若，的面积为6，求.
【答案】（1）.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式变形，结合余弦函数性质可得；
（2）结合（1）得，然后设，则，表示出题中各线段长，求得，利用三角形面积公式求得得边长，然后由余弦定理求解．
【小问1详解】
,.
因为，所以.
因为，所以.
因为，所以或，
所以或，
所以的内角中最大的角的大小为.
【小问2详解】
因为，所以，结合（1）可得.
设，则，，，，，.
的面积为，解得，所以，.
在中，.
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且.
（1）若，证明：平面.
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）或.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据数量积为零可得，从而证得平面.方法二：取 的中点 ，连接 ， ，根据面面平行的判定定理证明平面// 平面，从而得到// 平面；方法三：取的中点，连接，，先证明，再根据线面平行的判定定理证得// 平面.
（2）根据线面角的向量求法，列得关于的方程，求解可得的值.
【小问1详解】
取的中点，连接.
易证四边形为矩形，所以.
以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，.
，，，，
.
设平面的法向量为，
则取，得.
若，则.
因为，所以.
因为平面，所以// 平面.
方法二：
如图，取 的中点 ，连接 ， .
在中，分别为的中点，所以.
因为平面，平面，所以// 平面.
，，所以四边形是平行四边形，.
因为平面，平面，所以// 平面.
因为，平面，平面，所以平面// 平面.
因为平面，所以// 平面.
方法三：
如图，取的中点，连接，.
在中，，分别为，的中点，所以，.
因为，所以，所以四边形为平行四边形，.
因为平面，平面，所以// 平面.
【小问2详解】
记直线与平面所成的角为，
，
化简得，解得或，所以的值为或.
17. 为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率.
（1）从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率.
（2）从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望.
（3）若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率.
【答案】（1）
（2）的分布列为
的期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）用频率估计概率，结合题意运算求解即可；
（2）可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合独立事件概率公式求分布列和期望；
（3）设相应事件，结合全概率公式可得，代入运算求解即可.
【小问1详解】
用频率估计概率，从甲社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为.
【小问2详解】
用频率估计概率，从乙社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为，
可知随机变量的可能取值为0，1，2，
则；
；
；
所以的分布列为
的期望为.
【小问3详解】
设甲社区随机抽取1人，该人患该疾病为事件，则，
设该人接种了预防该疾病的疫苗为事件，则，，
因为，
即，解得，
所以从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率为.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的零点个数；
（3）若有3个零点，，，证明：.
【答案】（1）
（2）当时，函数有且仅有1个零点；
当时，函数有3个零点.
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）求导可得，根据函数定义域和判别式分和两种情况讨论，判断函数单调性并结合分析零点个数；
（3）可证，分析可知，，，结合基本不等式分析证明.
【小问1详解】
若，则，，
可得，，
所以曲线在点处的切线方程.
【小问2详解】
由题意可知：函数的定义域为，且，
对于方程，则，
因为，若，则；若，即，则；
当时，则，即，
可知函数在定义域内单调递增，
且，所以函数有且仅有1个零点；
当时，则，可知有2个不相等的实数根，，
且，则，
若，则，即；
若或，则，即；
可知函数在，内单调递增，在内单调递减，
则，且，即，
因为，
令，则，
可知在内单调递减，则，可得；
又因为，
所以函数有3个零点；
综上所述：当时，函数有且仅有1个零点；
当时，函数有3个零点.
【小问3详解】
若有3个零点，
由（2）可知：，，
因为，
又因为，则，且，，则，
所以.
19. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，的最小值为4.
（1）求的方程.
（2）记过点且与相切的直线为，过点作直线的垂线交于另一点，求的最小值.
（3）是否存在定圆，使得以为直径的圆始终与相切？若存在，求圆的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，圆的方程为
【解析】
【分析】（1）设直线：，联立方程结合弦长公式可得，即可得和抛物线方程；
（2）根据题意可得直线，，整理可得，令，，利用导数求最值即可；
（3）可知以为直径的圆的圆心为，半径，设圆心为，半径为，可得，运算求解即可.
【小问1详解】
由题意可知：抛物线的焦点为，且直线与抛物线必相交，
设直线：，，，
联立方程，消去x可得，
则，，
可得，当且仅当时，等号成立，
由题意可知：，即，所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
由题意可知：，，且直线的斜率不为0，直线与抛物线必相交，
设直线，，
联立方程，消去x可得，
则，即，
可得直线，
则，
联立方程，消去x可得，
则，即，
可得，
令，，则，
因为，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
所以的最小值为.
【小问3详解】
由（1）可知直线：，，，
则，，
即以为直径的圆的圆心为，半径，
假设存在定圆与圆相切，设圆心为，半径为，
则，即，
若，
整理可得，
则，解得，不合题意；
若，
整理可得，
则，解得，符合题意；
综上所述：存在，圆的方程为.
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