2026昭通高三下学期二模考试数学含解析

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一、单选题
1．已知全集，集合是偶数，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知是的边上的点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知是两个平面，是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知锐角满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．函数的最大值为4，则（ ）
A．
B．图象关于点中心对称
C．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．在上的值域为
10．函数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的极大值点为
C．当时，有3个零点
D．若，则
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，其中，则（ ）
A．直线的斜率为B．点到轴的距离为6
C．的面积为D．直线的倾斜角为或
三、填空题
12．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________．
13．记的面积为，的外接圆半径为，且，则___________．
14．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，若正四面体的棱长为，则对应的勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为___________．
四、解答题
15．已知点在函数的图象上，记数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2026项和．
16．新型AI模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图象数据对一种新型AI降噪模型进行实验，对使用该模型后，图象中的噪声残留量（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表：
并计算得：．
(1)计算变量（迭代轮数）和变量（噪声残留量）的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度；
(2)若图象中的噪声残留量不高于个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该AI模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？
参考数据及公式：
样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，．
17．如图，在四棱锥中，
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的正弦值．
18．已知点与定点的距离和它到定直线的距离之比为．
(1)求的轨迹方程；
(2)过点的直线与交于两点(其中不共线），记（为坐标原点）的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：为定值．
19．帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：．注：已知在处的阶帕德近似为．
(1)求实数的值；
(2)当时，试比较与的大小，并证明；
(3)已知正项数列满足：，证明：．
1
2
第轮迭代
1
2
3
4
5
噪声残留量（个/像素）
70
60
52
45
38
参考答案及解析
1．B
解析：因为，集合是偶数，
所以，则.
2．D
解析：因为，
所以，
其对应点为，在第四象限.
3．B
解析：因为，所以
所以
4．A
解析：若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来．
若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入，
所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件．
故选：A.
5．D
解析：若，则或，A错误；
若，，所以或，B错误；
若，直线只垂直于平面内的一条直线，无法得到，C错误；
，则平面内存在直线l与直线平行，则，可得,D正确.
6．C
解析：双曲线的渐近线方程为，
因为圆的圆心为，面积为，设圆的半径为，
则，故，
由渐近线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，
所以双曲线的离心率为
7．A
解析：的取值为，因此的取值为，，对应概率分别为，
因此 .
因为，解得.
则，进而.
8．C
解析：由题意，
由，可得，即，
所以，
则
，
当且仅当时，即，
即时，等号成立.
9．ABD
解析：因为的最大值为4，
所以，解得，故A正确；
则，因，故B正确；
将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
该函数显然与不是同一函数，故C错误；
对于，当时，，
因函数在上单调递增，故在上的值域为，故D正确.
10．AD
解析：由题意可知：的定义域为，且，
令，解得或.
对于选项A：若，解得，故A正确；
对于选项B：若，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以为的极小值点，故B错误；
对于选项C：若，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则的极大值为，极小值为，
当趋近于时，趋近于，所以有且仅有1个零点，故C错误；
对于选项D：若，令，
构造，则，
可知在内单调递增，则，
即，可得，整理可得，故D正确.
11．BCD
解析：如图所示，抛物线的焦点为 ，已知 ，
故 ，抛物线方程为 .
设直线 ，联立 ，得：，
由韦达定理得：，， .
由，得是的角平分线，
则由角平分线定理可得.
过点向轴作垂线，交轴于,易知和相似，
所以.
因为，
所以，代入，可得，
解得，即.
直线的斜率 ，由，A 错误；
的横坐标，到轴距离为 ，B正确；
面积，C正确；
直线斜率 ，斜率为时倾斜角，
斜率为时倾斜角，D正确.
12．
解析：因为，所以，则，，
则曲线在处的切线方程为：，即：，移项得：.
13．4
解析：由正弦定理知，所以，，.
则，
由余弦定理知，则
又，所以.
又，，所以，
所以.
14．
解析：如图所示：设为底面的中心，为其外接球的球心，半径为，
由勒洛四面体和正四面体的对称性知：为勒洛四面体内切球的球心，
由题意，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去，则，
.
在中，，解得，
所以该勒洛四面体内切球的半径是，所以该勒洛四面体内切球的表面积为.
15．(1)
(2)1013
解析：（1）因为点在函数的图象上，则，
解得，即，则，
当时，则；
当时，则，可得；
且符合上式，所以.
（2）因为，则，
令，数列的前n项和为，
当n为奇数时，，
可得，
所以数列的前2026项和为1013.
16．(1)，迭代轮数与噪声残留量之间存在极强的负线性相关关系；
(2)经验回归方程为;该AI模型至少需要迭代7轮才可以完成降噪
解析：（1）由题可得：，
样本相关系数
，非常接近，说明迭代轮数与噪声残留量之间存在极强的负线性相关关系；
（2）噪声残留量的取值为
因此：，
根据题意可得，
所以关于的经验回归方程为，
要使图象中的噪声残留量不高于25个/像素，则，即，
所以该AI模型至少需要迭代轮才可以完成降噪.
17．(1)证明见解析；
(2).
解析：（1）取的中点为，连接，如下图所示：
在四边形中，，又//，故四边形为平行四边形，故；
在三角形中，，又为中点，故，；
在三角形中，，故；
又面，故面，又面，故面面.
（2）因为，故为上靠近的三等分点，
过作垂足为，过作垂足为，连接，如下所示：
由（1）知，，又，故//，又面，故面，又面，
则，又，面，故面，又面，故；
又面面，，面面，
故即为平面与平面的夹角；
在三角形中，因为为上靠近的三等分点，又//，故；；
由（1）知，，故三角形为等边三角形，；
在三角形中，，又，故；
又面面，故，故三角形为直角三角形；
故.，故，
故平面与平面的夹角的正弦值为.
18．(1)
(2)（i）;（ii）
解析：（1）设点，根据题意得：，两边平方并整理得：
，即，化简得：，
因此，点的轨迹方程为椭圆.
（2）（i）设过的直线方程为，与椭圆方程联立：，
代入得：，整理得：，
设，由韦达定理：，
所以的面积为，
令，则，代入得，
因为函数在上单调递增，所以，
所以，即的取值范围是.
（ii）设，则，
直线的斜率为，直线的斜率为，
且，
所以，
所以，
又因为，所以.
19．(1)；
(2)，证明见详解；
(3)证明见详解.
解析：（1）由题意，，，
则，，
，
，
又，，
所以，解得，，
所以；
（2）当时，，
证明如下：由（1）得，，所以，
当时，，，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
即当时，，得证；
（3）设，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，即，
即，当且仅当时等号成立，
由题意，正项数列，，则，，
所以，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，所以，
即，所以，
又数列为正项数列，，所以，
又由（2）可得，所以，
又因为，所以，即，
所以，即，
所以，则，所以，
又，也符合上式，所以，
要证即证，即证，
又，所以，
又，所以，即，所以，
令，则，
所以单调递增，所以成立，
所以成立，
所以成立，所以成立，所以，得证.
综上所述，可得.