浙江四校联考2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷

这是一份浙江四校联考2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷，共28页。试卷主要包含了6 ，则当 E,F等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟.
答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
设复数 z  2  i ，则 z  （）
1
B. 2C.
D. 5
5
化简 AB  BO  CD  CO  ()
–––→
A. ODB. OAC. ACD. AD
如图所示，等腰梯形 ABCD 为水平放置的平面图形 ABCD 根据斜二测画法得到的直观图，
BC //AD , BC 2 AB 2CD  2 ，则平面图形 ABCD 的面积为（ ）
2
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
2
2
2
若用长为 4cm，宽为 2cm 的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（）
​
π
4
2 2
cm3B. cm3C.
π
8
4 2
cm3D. cm3
ππ
在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，异面直线 A1D 与 AB1 所成的角为（）
A. 30B. 45∘C. 60D. 90∘
设 a，b，c 是空间的三条直线，给出以下三个命题：
①若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c；
②若 a 和 b 共面，b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面；
③若 a∥b，b∥c，则 a∥c．
其中正确命题的个数是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
设 z 为复数，若 z  2i  1 ，则 z 的最小值为（）
B. 2C. 3D. 4
如图，正方体 ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E,F ，且 EF  0.6 ，则当 E,F
移动时，下列结论中错误的是（）
AE // 平面C1BD
四面体 ACEF 的体积为定值
三棱锥 A  BEF 的体积为定值
异面直线 AF、BE 所成的角为定值
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为 O，M 为 PB 的中点，给出以下结论，其中正确的是（）
OM∥PDB. OM∥平面 PAC
C. OM∥平面 PDAD. OM∥平面 PBA
如图，在直三棱柱 ABC  A1B1C1 中， AA1  2 ， AB  BC  1， ABC  120 ，侧面 AA1C1C 的对
角线交点O ，点 E 是侧棱 BB1 上的一个动点，下列结论正确的是（）
直三棱柱的侧面积是4  2
3
直三棱柱的外接球表面积是8π
三棱锥 E  AA1O 的体积与点 E 的位置有关
2
AE  EC1 的最小值为2
如图，以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和V ACD 折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中正确的是（）
BD  AC
V ABC 是等边三角形
2
平面 ADC  平面 ABCD. 二面角 A  BC  D 的正切值为
非选择题部分 三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
2π→→
已知平面向量a ， b 的夹角为 3 ，且 a  1 ， b  2 ，则a b  ．
如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2 ，圆柱的底面半径为1，高为4 ，则该几何体的表面积为．
如图，在直三棱柱 ABC  A B C 中， BAC  π， AA  AB  AC  1 ， CC 的中点为 H ，点 N
1 1 1211
在棱 A B 上， HN // 平面 A BC ，则 A1 N 的值为.
1 11
A1B1
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
已知复数 z  m2  2m  3  m2  4m  3i ，其中 m  R ．
若 z 是纯虚数，求实数m 的值；
若 z 在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围．
→→
已知向量 a  1, 3 ， b  3, 4 ， c  1, 2 ．
→→
分别求出 a ， b 的值；
c  ma  nb
若→→，求实数 m, n 的值．
在V ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ,且(2a  b) cs C  c cs B ．
求角C 的大小；
3
若c  4 ， V ABC 的面积为4，求该三角形的周长．
伊丽莎白圈是小动物戴在颈上防止它们抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其可看作圆台的侧面围成的物体.某个伊丽莎白圈的母线长为 3 分米，所缺失的上、下底面的半径分别为 2 分米、4 分米，
（结果均用含π 的最简式表示）
若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表而全部涂层（不含外侧表面），每平方分米需要消耗 5 克涂
层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处的误差，则该伊丽莎白圈需要消耗多少克涂层材料？
若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积.
如图所示， ABCD 是正方形， O 是正方形的中心， PO  底面 ABCD ，底面边长为 a ， E 是 PC 的中点.
求证： PA// 平面 BDE ；
若 PO 
6 a ，求二面角 E  BD  C 的大小.
6
2025 学年第二学期四校期中联考
高一年级学军班数学学科试题
考生须知：
本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟.
答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
设复数 z  2  i ，则 z  （）
1
B. 2C.
D. 5
5
【答案】C
【解析】
22  12
5
【详解】由题设 z .
化简 AB  BO  CD  CO  ()
–––→
A. ODB. OAC. ACD. AD
【答案】D
【解析】
【详解】 AB  BO  CD  CO  AO  OD  AD .
如图所示，等腰梯形 ABCD 为水平放置的平面图形 ABCD 根据斜二测画法得到的直观图，
2
2
2
BC //AD , BC 2 AB 2CD  2 ，则平面图形 ABCD 的面积为（ ）
2
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据直观图画出原图，求出相关线段的长度，由此计算出 ABCD 的面积.
2
2
【详解】在直观图中， A B ， BC  2 ， CD ，则
AD  2  2 ABcs π  2  2  2 
4
2  4 ，
2
2
所以 AB  2 AB  2， AD  AD  4 ， BC  BC  2
2
所以平面图形 ABCD 的面积为 2  4  2
2
 6.
2
故选：D
若用长为 4cm，宽为 2cm 的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（）
​
π
4
2 2
cm3B. cm3C.
π
8
4 2
cm3D. cm3
ππ
【答案】D
【解析】
【分析】我们可以分圆柱的底面周长为 4，高为 2 和圆柱的底面周长为 2，高为 4，两种情况进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案．
【详解】若圆柱的底面周长为 4cm，则底面半径 r  2 ， h  2 ，
π
 2 2
此时圆柱的体积V  πr 2h  π 
 π 
 2 
8 cm3 ，
π
若圆柱的底面周长为 2cm，则底面半径 r  1 ， h  4 ，
π
 1 2
此时圆柱的体积V  πr 2h  π 
 π 
 4 
4 cm3
π
8
∴圆柱的最大体积为
π
故选：D．
cm3.
在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，异面直线 A1D 与 AB1 所成的角为（）
A. 30B. 45∘C. 60D. 90∘
【答案】C
【解析】
【详解】如图所示，不妨设正方体 ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 1.
因为 AD / / B1C1 ， AD  B1C1 ，所以四边形 ADC1B1 为平行四边形，
所以 AB1 / / DC1 ，所以A1DC1 （或其补角）为异面直线 A1D 与 AB1 所成的角.
在△A1DC1 中， A1C1  C1D  A1D 2 ，
所以△A1DC1 为等边三角形，则A1DC1  60 ，因此，异面直线 A1D 与 AB1 所成的角为60 .
设 a，b，c 是空间的三条直线，给出以下三个命题：
①若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c；
②若 a 和 b 共面，b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面；
③若 a∥b，b∥c，则 a∥c．
其中正确命题的个数是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由线线的垂直的性质判①断；由线线的位置关系判断②；③若 a / /b, b / /c ，则 a / /c ，由平行的传递性判断.
【详解】①若 a  b, b  c ，则 a  c ，垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能，故命题不
正确.
②若 a 和b 共面b 和c 共面，则 a 和c 也共面，线线间共面关系不具有传递性， a / /b, b 与c 相交，则 a ，
c 可以是异面关系，故命题不正确.
③若 a / /b, b / /c ，则 a / /c ，此时空间两直线平行公理，是正确命题，故选 B.
【点睛】空间直线、平面等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法
（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
设 z 为复数，若 z  2i  1 ，则 z 的最小值为（）
B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设 z  a  bi, a, b  R ，根据题意求出 a, b 的关系，再根据复数的模的公式即可得解.
【详解】设 z  a  bi, a, b  R ，
a2  b  22
由 z  2i  1，得 1 ，所以 a2  1 b  22  b2  4b  3 ，
b2  b2  4b  3
由 a2  1 b  22  0 ，解得3  b  1 ，
a2  b2
则 z 

，
4b  3
min
所以当b  1 时， z 1.
故选：A.
如图，正方体 ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E,F ，且 EF  0.6 ，则当 E,F
移动时，下列结论中错误的是（）
AE // 平面C1BD
四面体 ACEF 的体积为定值
三棱锥 A  BEF 的体积为定值
异面直线 AF、BE 所成的角为定值
【答案】D
【解析】
【分析】对于 A，利用面面平行的判定定理先证得面 AB1D1 / / 面C1BD ，从而得到 AE // 平面C1BD ；对于 BC，通过计算四面体 ACEF 的体积、三棱锥 A  BEF 的体积，即可判断；
对于 D，作出两个特殊情况的图形，由图形易知异面直线 AF、BE 所成的角不为定值.
【详解】对于 A，如图 1，因为在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， B1C1 //AD ， B1C1=AD ，所以四边形 B1C1DA 是平行四边形，故C1D//AB1 ，
又因为C1D  面C1BD ， AB1  面C1BD ，所以 AB1 / / 面C1BD ， 同理： B1D1 / / 面C1BD ，又 AB1  B1D1  B1, AB1、B1D1  面 AB1D1 ，所以面 AB1D1 / / 面C1BD ，
因为 AE  面 AB1D1 ，因此 AE // 平面C1BD ，所以 A 中结论正确；
对于 B，如图 1，连结 BD  AC  O ，则
因为在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， BB1  面 ABCD ，故 BB1  AC ，
在底面正方形 ABCD 中， BD  AC ，又 BB1  BD  B, BB1、BD  面 BB1D1D ，所以 AC  面 BB1D1D ，即CO  面 BB1D1D ，
所以V=V
= 1 S⋅11
×EF×CO 为定值，所以 B 中结论正确；
ACEFC−AEF3 V AEF
CO= × ×d A−B D
对于 C，利用 B 中的结论得V
321 1
 1 S AO  1  1  BB  EF  AO 为定值，所以 C 中结论正确；
ABEF
3 V BEF

321
对于 D，如图 2，当 F 与 D1 重合时，过 D1 作 D1G / / BE ，则AD1G 为异面直线 AF、BE 所成角，如图 3，当 F 与 B1 重合时，过 D1 作 D1G1 / / BE ，易证 D1Q / / A1P / / AB1 ，则QD1G1 为异面直线
AF、BE 所成角，
由图形易知AD1G  QD1G1 ，故异面直线 AF、BE 所成的角不是定值，因此 D 中结论错误.故选：D.
【点睛】立体几何中定值或定位置问题，其基本思想方法是以算代证，或以证代证，即从条件出发，计算所求体积或证线面平行与垂直关系，得到结果为定值或位置关系为平行或垂直.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为 O，M 为 PB 的中点，给出以下结论，其中正确的是（）
OM∥PDB. OM∥平面 PAC
C. OM∥平面 PDAD. OM∥平面 PBA
【答案】AC
【解析】
【分析】根据已知条件，利用三角形中位线定理判定 A 正确；利用线面平行的判定定理判定 C 正确；根据线面平行的定义——没有公共点，判定 BD 错误.
【详解】因为矩形对角线的交点为 O，所以 O 是 BD 的中点，又QM 为 PB 的中点，OM 为△ PBD 的中位线，
OM / / PD ,
又QOM  平面 PAD , PD  平面 PAD ,所以 OM∥平面 PDA，
故AC 正确；
OM 与平面 PAC 有公共点O ,与平面 PBA 有公共点 M ,故 BD 错误.
故选： AC .
如图，在直三棱柱 ABC  A1B1C1 中， AA1  2 ， AB  BC  1， ABC  120 ，侧面 AA1C1C 的对
角线交点O ，点 E 是侧棱 BB1 上的一个动点，下列结论正确的是（）
直三棱柱的侧面积是4  2
3
直三棱柱的外接球表面积是8π
三棱锥 E  AA1O 的体积与点 E 的位置有关
2
AE  EC1 的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断 A；讲直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断 B；由棱锥底面积与高为定值判断 C；将侧面展开即可求出最小值判断 D．
【详解】在直三棱柱 ABC  A1B1C1 中， AA1  2 ， AB  BC  1， ABC  120 ,
3
则 AC  ，底面 ABC 和 A1B1C1 是等腰三角形，侧面全是矩形，
3
所以其侧面积为 1×2×2+ 3  2  4  2
，故 A 正确；
设底面外接圆半径为 r ，即2r 
3
sin120∘
，即 r  1，
12  12
2
所以直棱柱的外接球半径 R ，
直三棱柱的外接球表面积为 S  4πR2  8π，故 B 正确； 由 BB1∥平面 AA1C1C，且点 E 是侧棱 BB1 上的一个动点，
 三棱锥 E  AA1O
1
的高为定值 2 ，
3
× ＝
S 1 ××2＝ 3 ， V 1 × 313 ，故 C 错误；
V AA1O4
2E  AA1O3
2212
22  112
2
把侧面 AA1C1C 和侧面CC1B1B 展开在一个平面上，当 E 为 BB1 的中点时，
AE  EC 取最小值，  AE  EC 

 2
，故 D 正确．
11 min
故选：ABD．
如图，以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和V ACD 折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中正确的是（）
BD  AC
V ABC 是等边三角形
2
平面 ADC  平面 ABCD. 二面角 A  BC  D 的正切值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用面面垂直的性质定理易证 BD ⊥平面 ADC ，从而可知 BD  AC ，可判断 A；利用勾股定理可求得 BC  a ，从而可判断 B；作出平面 ADC 与平面 ABC 的二面角的平面角，利用 BD ⊥平面 ADC ，可知BDF 为直角，因此BFD 不是直角，从而可判断 C；作出二面角 A  BC  D 的平面角
2
∠AED ，设为θ，可求得t anθ ，从而可判断 D.
【详解】设等腰直角三角形V ABC 的腰为 a ，则斜边 BC 2a ，
Q D 为 BC 的中点， AD  BC ，
又平面 ABD  平面 ACD ，平面 ABD  平面 ACD  AD ， BD  AD ， BD  平面 ABD ，
 BD  平面 ADC ，又 AC  平面 ADC ， BD  AC ，故 A 正确；
由 A 知， BD ⊥平面 ADC ， CD  平面 ADC ， BD  CD ，

 2 a    2 a 
2
2
2
2

2
又 BD  CD 
a ， 由勾股定理得： BC 
2
 a ，
又 AB  AC  a ，V ABC 是等边三角形，故 B 正确；
QVADC 为等腰直角三角形，取斜边 AC 的中点 F ，则 DF ⊥AC ，又V ABC 为等边三角形，连接 BF ，则 BF ⊥AC ,
BFD 为平面 ADC 与平面 ABC 的二面角的平面角，
由 BD ⊥平面 ADC 可知， BDF 为直角，因此BFD 不是直角，故平面 ADC 与平面 ABC 不垂直，故 C 错误；
由题意知， AD  平面 BDC ，过点 D 作 DE  BC 于点 E ，连接 AE ，则 AE  BC ，
AED 为二面角 A  BC  D 的平面角，设为θ，
2 a
2
ADAB sin 45a
tan q=
则
DE = BD sin 45 ==
2
，故 D 正确;
故选：ABD.
非选择题部分
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
2π→→
已知平面向量a ， b 的夹角为 3 ，且 a  1 ， b  2 ，则a b  ．
【答案】 1
【解析】
【详解】因为| a | 1 ， | b | 2 ，平面向量a ， b 的夹角为 2π，且cs 2   1 ，
332
→ →1 
2
所以 a  b  1 2     1

如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2 ，圆柱的底面半径为1，高为4 ，则该几何体的表面积为．
【答案】20π
【解析】
【分析】根据给定的组合体，结合球的表面积公式、圆柱的侧面积公式计算即得.
【详解】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和，
所以所求表面积为 S  2π 22  π 22  2π1 4  20π .
故答案为： 20π
如图，在直三棱柱 ABC  A B C 中， BAC  π， AA
 AB  AC  1 ， CC 的中点为 H ，点 N
1 1 1
在棱 A B 上， HN // 平面 A BC ，则 A1 N
211
的值为.
1 11
【答案】 1
2
A1B1
【解析】
1
【分析】先取 BB , A B 中点 M , N 得到过 HN 的一个平面平行平面 A BC ，即知 A1 N
 1 .
11 1
A1B12
【详解】取 BB1, A1B1 中点 M , N ，连接 HM , MN ，
故 MH BC ， MN ∥ A1B ，又 MH , MH 在平面 A1BC 外， BC, MN  平面 A1BC
所以 MH∥平面 A1BC ， MN∥平面 A1BC ，又 MH , MH 相交在平面 HMN 内，故平面 A1BC 平面
1
HMN ，即 HN // 平面 A BC ，故 A1 N
 1 .
.
故答案为： 1
2
A1B12
【点睛】本题考查了面面平行的判定定理，属于基础题.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
已知复数 z  m2  2m  3  m2  4m  3i ，其中 m  R ．
若 z 是纯虚数，求实数m 的值；
若 z 在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围．
【答案】（1） m  1．
（2） m 
【解析】
【小问 1 详解】
m2  2m  3  0

若 z 是纯虚数，则实部为0 且虚部不为0 ，即m2  4m  3  0 ，
由 m2  2m  3  0 得 m  3 或 m  1，
由 m2  4m  3  0 得 m  1且m  3 ，故 m  1.
【小问 2 详解】
m2  2m  3  0

若 z 对应点在第四象限，则实部 0 且虚部 0 ，即m2  4m  3  0 ，
由 m2  2m  3  0 得 m  1或 m  3 ，由 m2  4m  3  0 得1  m  3 ，
综上所述，实数m 取值范围是.
→→
已知向量 a  1, 3 ， b  3, 4 ， c  1, 2 ．
→→
分别求出 a ， b 的值；
c  ma  nb
若→→，求实数 m, n 的值．
→
【答案】（1） a 
（2） m  2 ， n  1
→
10
， b  5
【解析】
【分析】（1）利用平面向量模长的坐标公式分别计算| a |和| b |；
（2）先根据平面向量的线性运算坐标法则，将等式右边的向量用m 、n 表示出来，再根据两个向量相等则对应坐标相等，得到关于m 、 n 的方程组，最后解方程组求出m 、 n 的值.
【小问 1 详解】
→
因为 a  1, 3 ， b  3, 4 ，
a
所以 → 
12  32

→
10
32  42
， b 
 5 ．
【小问 2 详解】
→→
因为 a  1, 3 ， b  3, 4 ， c  1, 2 ，
→→
所以由c  ma  nb  1, 2  m 1, 3  n 3, 4 ，
2  3m  4n
所以1, 2  m  3n, 3m  4n ，故1  m  3n，

所以 m  2 ， n  1 ．
在V ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ,且(2a  b) cs C  c cs B ．
求角C 的大小；
3
若c  4 ， V ABC 的面积为4
【答案】（1） C  π
3
，求该三角形的周长．
（2）12
【解析】
【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角C ；
（2）先由面积公式求出ab 的值，再用余弦定理求出 a  b 的值，从而求得三角形的周长.
【小问 1 详解】
因为(2a  b) cs C  c cs B ，
由正弦定理得： (2 sin A  sin B) cs C  sin C cs B ，
整理得： 2 sin A cs C  sin B cs C  sin C cs B  sin(B  C) ，因为 A  B  C  π ，所以sin A  sin(B  C)  0 ，故cs C  1 ，
2
因为0  C  π ，所以C  π .
3
【小问 2 详解】
3
因为V ABC 的面积为4，所以 S  1 ab sin C  1 ab 3 3 ab  4 3 ，
2224
解得 ab  16 ，
又因为c2  a2  b2  2ab cs C  (a  b)2  2ab  2ab cs C ，
即42  (a  b)2  2 16  2 16  1 ，
2
所以 a  b  8 ，故V ABC 的周长为 a  b  c  8  4  12 .
伊丽莎白圈是小动物戴在颈上防止它们抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其可看作圆台的侧面围成的物体.某个伊丽莎白圈的母线长为 3 分米，所缺失的上、下底面的半径分别为 2 分米、4 分米，
（结果均用含π 的最简式表示）
若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表而全部涂层（不含外侧表面），每平方分米需要消耗 5 克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处的误差，则该伊丽莎白圈需要消耗多少克涂层材料？
若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积.
【答案】（1） 90π 克
（2） 28 5 π （立方分米）
3
【解析】
【分析】（1）求出圆台的侧面积即可得解；
（2）求出圆台的高，代入圆台体积公式求解即可.
【小问 1 详解】
由题意得，该伊丽莎白圈需要涂层的面积等价于圆台的侧面积，圆台的侧面积 S  π×2  4 3  18π （平方分米），
因为每平方分米需要消耗 5 克涂层材料，所以518π  90π ，即该伊丽莎白圈需要消耗90π 克涂层材料；
5
【小问 2 详解】
32  4  22
该伊丽莎白圈的高为
（分米），
则V  1 π 5 22  2  4  42   28 5 π ，
33
所以所形成的圆台的体积为 28 5 π （立方分米）.
3
如图所示， ABCD 是正方形， O 是正方形的中心， PO  底面 ABCD ，底面边长为 a ， E 是 PC 的中点.
求证： PA// 平面 BDE ；
若 PO 
6 a ，求二面角 E  BD  C 的大小.
6
【答案】（1）证明见解析；（2） 30 .
【解析】
【分析】（1）连接OE ，可证OE //PA ，从而得到要求证的 PA// 平面 BDE ；
（2）取OC 的中点 F ，连接 EF ，可证EOF 为二面角 E  BD  C 的平面角，利用解直角三角形可求该角大小为30 .
【详解】
证明：连接OE ，如图所示.
∵ O 、 E 分别为 AC 、 PC 的中点，∴ OE //PA .
∵ OE  平面 BDE ， PA  平面 BDE ，∴ PA// 平面 BDE .
取OC 的中点 F ，连接 EF .
∵ E 为 PC 的中点，
∴ EF 为△POC 的中位线，∴ EF //PO .
又∵ PO  平面 ABCD ，
∴ EF  平面 ABCD ，而 BD  平面 ABCD ，∴ EF  BD ，同理 EF  OC .
∵ OF  BD ， OF  EF  F ，∴ BD ⊥平面 EFO ，而OE  平面 EFO ，
∴ OE  BD ，∴ EOF 为二面角 E  BD  C 的平面角，
在直角三角形 EOF 中， OF  1 OC 
a ，而 EF  1 OP 
6 a ，
故tan EOF 
24
，因EOF 为锐角，故EOF  30 .
3
212
【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.