浙江省2023-2024学年高一下学期4月联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省2023-2024学年高一下学期4月联考数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设,,则( )
A.B.C.D.
2．若复数对应的点在第四象限,则m的值为( )
A.-1B.0C.1D.
3．已知,y为无理数,为无理数,则p是q的( )
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知,且与互相垂直,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
5．若将函数的图象向左平移个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是( )
A.B.C.D.
6．已知的重心为O，若向量，则( )
A.B.C.D.
7．近年来,中国加大了电动汽车的研究与推广,新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：）,放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为,其中.在电池容量不变的条件下,当放电电流时,放电时间,则当放电电流时,放电时间为( )
A.B.C.D.
8．如图,某灯光设计公司生产一种长方形线路板,长方形的周长为4,沿折叠使点B到点位置,交于点P.研究发现当的面积最大时用电最少,则用电最少时,的长度为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.若与都是单位向量,则B.只有零向量的模长等于0
C.若与是平行向量,则D.向量与不共线,则与都是非零向量
10．下面四个命题中的真命题为( )
A.复数z是实数的充要条件是B.若复数z满足,则
C.复数,满足D.若复数,满足,则
11．已知函数的定义域为R,为偶函数,为奇函数,且在上单调递增,则( )
A.B.为函数图象的一条对称轴
C.函数在上单调递增D.函数是周期函数
三、填空题
12．求值：____________.
13．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足,外接圆的半径为,则____________.
14．定义表示x,y中的最小者,设函数,若,则x的取值范围是____________.
四、解答题
15．向量,,,.
（1）求;
（2）若,向量,的夹角为,求t的值.
16．已知向量,函数.
（1）在中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若,求A;
（2）在（1）条件下,,,求的面积.
17．对于函数,若在定义域内存在实数x,满足,则称为“函数”.
（1）已知函数,试判断是否为“函数”,并说明理由;
（2）若为定义域在R上的“函数”,求实数m的取值范围.
18．空调是人们生活水平提高的一个标志,炎热夏天,空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内,心情好,休息好,工作效率也高,这是社会进步的一个里程碑.为适应市场需求,2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产,全年需投入固定成本200万元,每生产x千台空调,需另投入成本万元,当年产量不足30千台时,,当年产量不小于30千台时,.已知每台空调售价3000元,且生产的空调能全部销售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式.
（2）年产量为多少千台时,该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润.
19．被称为“欧拉公式”,之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：,则我们可以简化复数乘法.
（1）已知,求;
（2）已知O为坐标原点,,,且复数,在复平面上对应的点分别为A,B,点C在上,且,求;
（3）利用欧拉公式可推出二倍角公式,过程如下：,
所以.
类比上述过程,求出,.（将表示成的式子,将表示成的式子）（参考公式：）
参考答案
1．答案：A
解析：,选：A.
2．答案：B
解析：由,,得,又m为整数,所以,选：B.
3．答案：D
解析：由于,为无理数,但,所以.
又由于为无理数,但1,不全是无理数,所以.
选：D.
4．答案：D
解析：因为与互相垂直,所以,
即.又因为,
所以.因为,是非零向量,所以,
所以与的夹角为,
选：D.
5．答案：B
解析：,
将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为,
且该函数为偶函数,故,所以的最小正值为.
选：B.
6．答案：A
解析：由三角形法则和平行四边形法则可得
，则.
故选：A
7．答案：C
解析：由题意得,当时,则,
所以,
所以,
选：C.
8．答案：B
解析：如图,设,由矩形的周长为4,可知.
设,则.
,,
,,
在中,由勾股定理得,
即（,解得,所以.
所以的面积.
所以,
当且仅当时,即当时,的面积最大,面积的最大值为,
选：B.
9．答案：BD
解析：A.两个向量的模长相等,但是方向不一定相同,错误;
B.只有零向量的模长等于0,正确;
C.与是平行向量,但,的模不一定相等,所以不成立,错误;
D.0与任何向量都是共线向量,正确.
故选：BD.
10．答案：AC
解析：A.由得,正确;
B.复数满足,但,故B为假命题,错误;
C.,,满足,正确;
D.若复数,满足,但,错误.
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：为奇函数,,令,可得,正确;
B.由于为偶函数,,所以的图象关于直线对称,正确;
C.为奇函数,,由,以x替换,所以关于对称,在上单调递增,所以在上单调递增,又关于直线对称,所以在上单调递减,错误;
D.由,所以,所以是周期为8的周期函数,正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：.
13．答案：3
解析：由已知,利用正弦定理,可得.
因为,所以,所以,所以,又因为,
所以.从而,又外接圆的半径为,
所以由正弦定理得.
14．答案：
解析：当或时,,
当时,.
令,解得,,
令,解得,,
由,可得.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,
又,,解得,
,,.
（2）,,
,
解得,又因为,所以.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由向量,
函数,
得
.
,即,
因为,所以,
从而,解得.
（2）由余弦定理得,
则,则.所以,
所以的面积.
17．答案：（1）有解,函数是“函数”
（2）
解析：（1）当时,,即,
令,则,解得.
从而有解,函数是“函数”.
（2）当时,,
即,化简得.
令,则,,
从而在上有解,
即在上有解,
令,则为上的增函数,
所以,从而.
18．答案：（1）
（2）当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时,获利最大,最大利润为2925万元
解析：（1）当时,,
当时,,
所以
（2）当时,,当时,
取得最大值2925万元;
当时,.
因为,
当且仅当时,等号成立,
所以当时,取得最大值2830万元.
因为,所以当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时,获利最大,最大利润为2925万元.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）
,
.
（2）由,则点,
,
所以,
从而.
（3）
,
所以.