浙江省浙北2校2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

浙江省浙北2校2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若a与b均为实数，i为虚数单位，且，则(   )

A.3 B.4 C.5 D.6

2、在中，，则的值为(   )

A. B.0 C. D.

3、已知向量，，若，则(   )

A. B.1 C.            D.-1

4、已知 m、n是两条不同的直线， ,,是三个不同的平面.下列说法中不正确的是(   )

A. 若,,, 则

B. 若,, 则

C. 若,,, 则

D. 若,,, 则

5、如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，（单位：百米），则A，B两点间的距离为(   )

A. B. C.3 D.

6、如图，正方体的棱长为a，E是棱AB的中点，F是侧面内一点，若平面且EF长度的最大值为b，最小值为则(   )

A.7 B.6 C.5 D.3

7、在中，点D，E满足,,BE与AD交于点P，若，则(   )

A. B. C.            D.

8、在平面中，已知单位向量,的夹角为，向量，且，设向量与的夹角为，则的最大值为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、设向量，满足，且，则以下结论正确的是(   )

A. B.

C. D.向量与夹角为

10、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.下面四个结论正确的是(   )

A.若，则

B.，，则的外接圆半径是4

C.若，则

D.若，，，则有两解

11、已知在正四面体ABCD中,E、F、G、H分别是棱AB,BC,CD,AD的中点，则(   )

A.平面ACD  B.

C.平面FGH  D.E、F、G、H四点共面

12、在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列四个选项中哪些值可以作为三角形的面积(   )

A. B. C. D.

三、填空题

13、边长为2的正三角形的直观图的面积为___________.

14、向量，.则在方向上的投影向量坐标为         .

15、正三棱锥的侧棱长为2，M为AB的中点，且，则三棱锥外接球的表面积为         .

16、如图，在平面中，圆O是半径为1的圆，，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是         .

四、解答题

17、如图ABCD是直角梯形，以上底边CD为轴将梯形旋转一周，得到一个旋转体，求它的表面积和体积.

18、已知复数，.（i为虚数单位）

（1）求；

（2）若，且复数z的虚部等于复数的实部，复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求复数z.

19、如图，直三棱柱中，，，M，N分别为AC，的中点.

（1）求证：平面；

（2）线段上是否存在点Q，使平面MNQ？说明理由.

20、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，为锐角.

（1）求角C；

（2）若，，的面积为，求的值.

21、如图，某菜农有一块等腰三角形菜地，其中，米.现将该三角形菜地分成三块，其中.

（1）若，求DE的长；

（2）求面积的最小值.

22、如图，点P,Q分别是正方形ABCD的边DC、CB上两点，，，记点O为的外心.

（1）若，，，求的值；

（2）若，求的取值范围；

（3）若，若，求的最大值.

参考答案

1、答案：C

解析：因为, 所以，, 所以. 故选: C.

2、答案：A

解析：在 中, 角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 由正弦定理得, 令,,,, 由余弦定理得:.

故选: A

3、答案：D

解析：向量，,

则,

，

解得

故选: D.

4、答案： B

解析：由线面平行的性质定理可知, A 正确; 若，, 则 或, 即B 错误;

设 的法向量分别为，, 若, 则，, 又，, 则，, 所 以, 即 C正确; 若，, 则, 又, 则, 即 D 正确. 故选: B

5、答案：C

解析：在中，，，则，.在中，，，则，由正弦定理，得.则在中，，，，由余弦定理得，则.故选C.

6、答案：B

解析：如图，过点F作交AD于点G，交于点H，则底面ABCD.连接EG，AF，则易得平面平面平面平面又平面平面平面平面平面为AB中点，为AD中点，则H为中点.在线段GH上，得则故选B.
 

7、答案：D

解析：因为P 在AD 上, 故, 所以存在 唯一实数, 使得, 又,

故 D为BC 的中点，

所以, 所以; 同理存在, 使得

又

所以, 所以, 所以, 所以,

所以.

故选: D.

8、答案：C

解析：

9、答案：ABD

解析：

10、答案：AC

解析：

11、答案：ABD

解析：

12、答案：AB

解析：因为, 由余弦定理可得若，

则

（当且仅当取等号）

，

令

,

，

.

故选: AB.

13、答案：

解析：如图 是边 长为 2 的正三角形 ABC的直观图，

则 ， 为正 三角形ABC的高CD的一 半,

即

则高,

三角形 的面积为:

故答案为:.

14、答案：

解析：因为向量，,

所以 ，

所以 在 方向上的投影向量坐标为

故答案为:.

15、答案：

解析：正三棱锥中对边相互垂直, 所以, 而, 所以 平面PAB, 故, 所以三条侧棱互相垂直, 该三棱倠是一个正方体的一个角, 所以外接球与正方体相同, 所以, 表面积为.

16、答案：

解析：若D 为BC 中点, 令 ， 夹角为, 如下图示,

又且,

此时, 当 时 最小值为 -2 ;

由, 则;

此时, 当 时 最大值为 6 ;

综上, 的取值范围是.

故答案为:.

17、答案：

解析：由题意知该几何体是一个底面半径为3，高为的圆柱，

挖去一个同底，但高为3的圆锥，

，

.

18、答案：(1)

(2)

解析：（1）复数，，则；

（2），

复数z的虚部等于复数的实部，可设，

，，解得或，

复数z在复平面内对应的点位于第三象限，，即，

故.

19、答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：（1）证明：取AB中点D，连接DM，.

在中，因为M为AC中点，所以，.

在矩形中，因为N为中点，所以，.

所以，.

所以  四边形为平行四边形，所以

因为平面，平面，

所以平面.

（2）线段上存在点Q，且Q为中点时，

有平面MNQ

证明如下：连接.

在正方形中易证.

又平面，所以，从而平面.

所以.

同理可得，所以平面MNQ.

故线段上存在点Q，使得平面MNQ

20、答案：(1)

(2)

解析：（1）由题意及正弦定理可得，

整理可得，

即，在三角形中，，

因为C为锐角，所以，可得，可得；

（2）由（1）可得，而，可得，①，

由余弦定理可得，可得，②，

因为，解得，，则为锐角，

由余弦定理可得，，

所以，，

所以，故的值为.

21、答案：(1) 米

(2) 平方米

解析：（1）在等腰中，因为，则，

在中，由题意可得米，，.

且，

由正弦定理可得，则米.

因为，，

所以，则米，

故米.

（2）设，其中，则，.

在中，由正弦定理可得，

则米.

在中，由正弦定理可得，

则米.

的面积.

因为

，则，

所以当，即时，，故面积的最小值是平方米.

22、答案：(1)1

(2)

(3)见解析

解析：（1）以A点为坐标原点，AB为x轴，建立直角坐标系。，，所以.

（2）设，则，.

，

由于，所以.

（3）；

.

设，，则这两个式子为，化简得

解得

所以，

设，

令，

所以由对勾函数的性质得，所以当时，即点P与D点重合时，取到最大值.

.