2026届河北南和一中高三六校第一次联考数学试卷含解析

这是一份2026届河北南和一中高三六校第一次联考数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了已知集合，，则=等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．为双曲线的左焦点，过点的直线与圆交于、两点，（在、之间）与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为则（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
9．已知集合，，则=( )
A．B．C．D．
10．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（ ）
A．或B．C．D．
11．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（pá）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ．
14．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.
15．内角，，的对边分别为，，，若，则__________．
16．的展开式中的常数项为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设实数满足.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，，求证：.
18．（12分）已知数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和
19．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用元，设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列．
20．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，.点，，分别为线段，，的中点，点是线段的中点.
（1）求证：平面.
（2）判断与平面的位置关系，并证明.
21．（12分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
（1）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望．
参考公式：，，，．
22．（10分）已知椭圆与x轴负半轴交于，离心率.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于两点，连接AM,AN并延长交直线x=4于两点，若，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.
【详解】
∵ ，.
当时，，在上单调递增，不合题意.
当时，，在上单调递减，也不合题意.
当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.
综上，的取值范围是.
故选C.
【点睛】
本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．
2、D
【解析】
求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可.
【详解】
设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，
则 =2，化简得.
∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，
∴ ，解得，
∴椭圆的离心率为．
故选D．
【点睛】
本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．
3、B
【解析】
分别取、的中点、，连接、、，利用二面角的定义转化二面角的平面角为，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．
【详解】
如下图所示，
分别取、的中点、，连接、、，
由于是以为直角等腰直角三角形，为的中点，，
，且、分别为、的中点，所以，，所以，，所以二面角的平面角为，
，则，且，所以，，，
是以为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点，同理可知，的外心为点，
分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如下图所示，
由图形可知，，
在中，，，
所以，，
所以，球的半径为，因此，球的表面积为.
故选：B.
【点睛】
本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题．
4、D
【解析】
过点作，可得出点为的中点，由可求得的值，可计算出的值，进而可得出，结合可知点为的中点，可得出，利用勾股定理求得（为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】
如下图所示，过点作，设该双曲线的右焦点为，连接.
，.
， ，
，为的中点，，，，
，
由双曲线的定义得，即，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
5、B
【解析】
根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项.
【详解】
.设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.
6、D
【解析】
与中间值1比较，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小．
【详解】
，，又，∴，即，
∴．
故选：D.
【点睛】
本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．
7、B
【解析】
根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.
【详解】
在复平面内对应的点的坐标为，则，
，
∵，
代入可得，
解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.
8、B
【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论．
【详解】
根据已知函数
其中，的图象过点，，
可得，，
解得：．
再根据五点法作图可得，
可得：，
可得函数解析式为：
故把的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
故选B．
【点睛】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．
9、C
【解析】
计算，，再计算交集得到答案.
【详解】
，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
10、C
【解析】
设公差为，则由题意可得，解得，可得.令 ，可得 当时，，当时，，由此可得数列前项和中最小的.
【详解】
解：等差数列中，已知，且，设公差为，
则，解得 ，
.
令 ，可得，故当时，，当时，，
故数列前项和中最小的是.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.
11、B
【解析】
分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】
从“八音”中任取不同的“两音”共有种取法；
“两音”中含有打击乐器的取法共有种取法；
所求概率.
故选：.
【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.
12、A
【解析】
考虑既属于又属于的集合，即得.
【详解】
.
故选：
【点睛】
本题考查集合的交运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、20
【解析】
根据系统抽样的定义将56人按顺序分成4组，每组14人，则1至14号为第一组，15至28号为第二组，29号至42号为第三组，43号至56号为第四组.而学号6,34,48分别是第一、三、四组的学号，所以还有一个同学应该是15+6-1=20号,故答案为20.
14、2.
【解析】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果.
【详解】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，
，又，
得即；
又平面，为与平面所成角，
令，
当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.
15、
【解析】
∵，∴，即，
∴，∴．
16、
【解析】
写出展开式的通项公式，考虑当的指数为零时，对应的值即为常数项.
【详解】
的展开式通项公式为： ，
令，所以，所以常数项为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）依题意可得，考虑到，则有再分类讨论可得；
（2）要证明，即证，即证.利用基本不等式即可得证；
【详解】
解：（1）由及，得，
考虑到，则有，它可化为
或
即或
前者无解，后者的解集为，
综上，的取值范围是.
（2）要证明，即证，
由，得，即证.
因为（当且仅当，时取等号）.
所以成立，
故成立.
【点睛】
本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于中档题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由化为，利用数列的通项公式和前n项和的关系，得到是首项为，公差为的等差数列求解.
（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.
【详解】
（1）可以化为，
，
，
，
又时，
数列从开始成等差数列，
，代入
得
是首项为，公差为的等差数列，
，
.
（2）由（1）得，
，
，
两式相减得
，
，
.
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；
（2）由题意可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，由此可得出随机变量的分布列.
【详解】
（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、．
则，，
．
故的分布列为
【点睛】
本题考查概率的计算，同时也考查了随机变量分布列，考查计算能力，属于基础题.
20、（1）见解析（2）平面.见解析
【解析】
（1）要证平面，只需证明，，即可求得答案；
（2）连接交于点，连接，根据已知条件求证，即可判断与平面的位置关系，进而求得答案.
【详解】
（1）
，为边的中点，
，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
，
在内，，为所在边的中点，
，
又，，
平面.
（2）判断可知，平面，
证明如下：
连接交于点，连接.
、、分别为边、、的中点，
.
又是的重心，
，
，
平面，平面，
平面.
【点睛】
本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
21、（1）；（2）见解析
【解析】
试题分析：
（I）由题意可得，，则，，关于的线性回归方程为．
（II）由题意可知二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为：，，，．据此可得分布列，计算相应的数学期望为元．
试题解析：
（I）依题意：，
，，，
，，
则关于的线性回归方程为．
（II）二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为：
，，，
，．
所以，总金额的分布列如下表：
总金额的数学期望为元．
22、（1）（2）直线恒过定点,详见解析
【解析】
（1）依题意由椭圆的简单性质可求出，即得椭圆C的方程；
（2）设直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程可求得点的坐标，同理可求出点的坐标，根据的坐标可求出直线的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标．
【详解】
（1）由题有，.∴，∴.∴椭圆方程为.
（2）设直线的方程为：，则
∴或，∴，同理，
当时，由有.∴，同理，又
∴，
当时，∴直线的方程为
∴直线恒过定点，当时，此时也过定点..
综上:直线恒过定点.
【点睛】
本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题．
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2
3
4
5
6
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5
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17
0
300
600
900
1200