2026届安徽省太和第一中学高三六校第一次联考数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省太和第一中学高三六校第一次联考数学试卷含解析，共22页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知实数，则的大小关系是，集合，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数.
对于下列说法：
①越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则.
其中正确的是：
A．①④B．②③C．①③④D．①②④
2．已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合，定义集合，则等于（ ）
A．B．
C．D．
4．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
5．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）
A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．
B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．
C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．
6．已知实数，则的大小关系是( )
A．B．C．D．
7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，且，则抛物线的方程是( )
A．B．C．D．
8．已知，椭圆的方程，双曲线的方程为，和的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
9．四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（ ）
A．12B．16C．20D．8
10．集合，则（ ）
A．B．C．D．
11．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知x，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数，若在上的最大值为，则________.
14．已知全集为R，集合，则___________.
15．的展开式中的系数为__________（用具体数据作答）.
16．设、、、、是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
设的平分线与边交于点，已知，，求的值.
18．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于，两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值.
19．（12分）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
20．（12分）在底面为菱形的四棱柱中，平面.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
21．（12分）如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）求下列函数的导数：
（1）
（2）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误.对于③，因为，所以，所以③错误.对于④，因为，所以，所以④正确.故选A．
2、A
【解析】
如图设平面，球心在上，根据正四面体的性质可得，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出的值.
【详解】
如图设平面，球心在上，由正四面体的性质可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，
，
，，，，因为为重心，因此，则，因此，因此，则，故选A.
【点睛】
本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.
3、C
【解析】
根据定义，求出，即可求出结论.
【详解】
因为集合，所以，
则，所以.
故选:C.
【点睛】
本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.
4、C
【解析】
由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围.
【详解】
设函数，，
因为，
所以，
或，
因为 时，，
或时，，，其图象如下：
当时，至多一个整数根；
当时，在内的解集中仅有三个整数，只需，
，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.
5、C
【解析】
利用图表中的数据进行分析即可求解.
【详解】
对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；
对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；
对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；
对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.
6、B
【解析】
根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．
【详解】
解：∵，
∴，，．
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7、B
【解析】
利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程.
【详解】
设抛物线的焦点为F,设点，
由抛物线的定义可知，
线段AB中点的横坐标为3，又，，可得，
所以抛物线方程为.
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.
8、A
【解析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合和的离心率之积为，即可得的关系，进而得双曲线的离心率方程.
【详解】
椭圆的方程，双曲线的方程为，
则椭圆离心率，双曲线的离心率，
由和的离心率之积为，
即，
解得，
所以渐近线方程为，
化简可得，
故选：A.
【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.
9、A
【解析】
先将除A，B以外的两人先排，再将A，B在3个空位置里进行插空，再相乘得答案.
【详解】
先将除A，B以外的两人先排，有种；再将A，B在3个空位置里进行插空，有种，所以共有种.
故选：A
【点睛】
本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.
10、D
【解析】
利用交集的定义直接计算即可.
【详解】
，故，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.
11、C
【解析】
套用命题的否定形式即可.
【详解】
命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为“”.
故选：C
【点睛】
本题考查全称命题的否定，属于基础题.
12、D
【解析】
，不能得到， 成立也不能推出，即可得到答案.
【详解】
因为x，，
当时，不妨取，，
故时，不成立，
当时，不妨取，则不成立，
综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求出函数的导数，由在上，可得在上单调递增，则函数最大值为，即可求出参数的值.
【详解】
解：定义域为
，
在上单调递增，
故在上的最大值为
故答案为：
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.
14、
【解析】
先化简集合A,再求A∪B得解.
【详解】
由题得A={0,1},
所以A∪B={-1,0,1}.
故答案为{-1,0,1}
【点睛】
本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15、
【解析】
利用二项展开式的通项公式可求的系数.
【详解】
的展开式的通项公式为，
令，故，故的系数为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.
16、
【解析】
根据球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，求得四棱锥的表达式，利用基本不等式求得体积的最大值.
【详解】
由已知可得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，棱锥的高为，底面边长为，的体积
，当且仅当时等号成立.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查球的表面积有关计算，考查球的内接四棱锥体积的最值的求法，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、；.
【解析】
利用正弦定理化简求值即可；
利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出的值.
【详解】
解：，由正弦定理得：，
，
，
，
，
又，为三角形内角，故，，
则，故，；
（2）平分，设，则,,
，，则，
，又，
则
在中，由正弦定理：，.
【点睛】
本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.
18、（1）线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.
【解析】
试题分析：（1）（1）利用cs2θ+sin2θ=1，即可曲线C1的参数方程化为普通方程，进而利用即可化为极坐标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；
（2）由过的圆心，得得，设，，代入中即可得解.
试题解析：
（1）曲线的普通方程为，化成极坐标方程为
曲线的直角坐标方程为
（2）在直角坐标系下，，，
恰好过的圆心，
∴由得 ，是椭圆上的两点，
在极坐标下，设，分别代入中，
有和
∴，
则，即
19、（1）；（2）
【解析】
（1）根据递推公式，用配凑法构造等比数列，求其通项公式，进而求出的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】
解：（1），
，
是首项为，公比为的等比数列．
所以，．
（2）
.
【点睛】
本题考查了由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求数列的前n项和的问题，属于中档题.
20、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）由已知可证，即可证明结论；
（2）根据已知可证平面，建立空间直角坐标系，求出坐标，进而求出平面和平面的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.
【详解】
方法一：（1）依题意，且∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）∵平面，∴，
∵且为的中点，∴，
∵平面且，
∴平面，
以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴
设平面的法向量为，
则，∴，取，则.
设平面的法向量为，
则，∴，取，则.
∴，
设二面角的平面角为，则，
∴二面角的正弦值为.
方法二：（1）证明：连接交于点，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
又因为四边形为菱形，所以为中点，
∴在中，且，
∵平面，平面，
∴平面
（2）略，同方法一.
【点睛】
本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.
21、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）取的中点为，连结，易证四边形为平行四边形，即，由于，为的中点，可得到，从而得到，即可证明平面，从而得到；（Ⅱ）易证，，两两垂直，以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则，即可得到答案．
【详解】
解：（Ⅰ）取的中点为，连结.
由是三棱台得，平面平面，从而.
∵，∴，
∴四边形为平行四边形，∴.
∵，为的中点，
∴，∴.
∵平面平面，且交线为，平面，
∴平面，而平面，
∴.
（Ⅱ）连结.
由是正三角形，且为中点，则.
由（Ⅰ）知，平面，，
∴，，
∴，，两两垂直.
以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，
∴，，.
设平面的一个法向量为.
由可得，.
令，则，，∴.
设与平面所成角为，则.
【点睛】
本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题．
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据复合函数的求导法则可得结果.
（2）同样根据复合函数的求导法则可得结果.
【详解】
（1）令，，则，
而，，故.
（2）令，，则，
而，，故，
化简得到.
【点睛】
本题考查复合函数的导数，此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合，再根据复合函数的求导法则可得所求的导数，本题属于容易题.