2026届河北省唐山开滦一中高三六校第一次联考数学试卷含解析

这是一份2026届河北省唐山开滦一中高三六校第一次联考数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知双曲线，设集合，集合 ，则 =，设i是虚数单位，若复数等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．抛物线的焦点为，则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）
A．1个B．2个C．0个D．无数个
3．已知集合，，则集合子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为( )
A．B．C．D．
6．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．5
7．设集合，集合 ，则 =（ ）
A．B．C．D．R
8．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（ ）
A．B．C．1D．3
9．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
10．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．已知函数的定义域为，且，当时，.若，则函数在上的最大值为（ ）
A．4B．6C．3D．8
12．已知随机变量满足，，.若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前项和为，且满足，则______
14．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，其中为左焦点.点为两曲线在第一象限的交点，、分别为曲线、的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为________.
15．已知是抛物线的焦点，过作直线与相交于两点，且在第一象限，若，则直线的斜率是_________．
16．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则的值为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，点为边的中点，且，求的面积.
18．（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.
（1）当时，求M点的极坐标；
（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.
19．（12分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：
（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；
（3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为，写出的分布列，并求的期望值．
附：
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设点，若直线与曲线相交于、两点，求的值
21．（12分）在直角坐标系中，圆的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若直线：（为参数）被圆截得的弦长为，求直线的倾斜角.
22．（10分）已知函数，．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若，当时，函数，求函数的最小值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
先把变形为，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标可得答案.
【详解】
解：由，得，
所以，其在复平面内对应的点为，在第四象限
故选：D
【点睛】
此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
2、B
【解析】
圆心在的中垂线上，经过点，且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆．
【详解】
因为点在抛物线上，
又焦点，，
由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点，
这样的交点共有2个，
故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种．
故选：．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．
3、B
【解析】
首先求出，再根据含有个元素的集合有个子集，计算可得.
【详解】
解：，，
，
子集的个数为.
故选：.
【点睛】
考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题．
4、C
【解析】
利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值.
【详解】
因为，且，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果.
5、B
【解析】
根据在上投影为，以及，可得；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入即可求得.
【详解】
在上投影为，即

又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到的最小值.
6、B
【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.
【详解】
.选B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.
7、D
【解析】
试题分析：由题，，，选D
考点：集合的运算
8、A
【解析】
根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.
【详解】
由复数的除法运算化简可得
，
因为是纯虚数，所以，
∴，
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.
9、B
【解析】
设点、，并设直线的方程为，由得，将直线的方程代入韦达定理，求得，结合的面积求得的值，结合焦点弦长公式可求得.
【详解】
设点、，并设直线的方程为，
将直线的方程与抛物线方程联立，消去得，
由韦达定理得，，
，，，，，
，可得，，
抛物线的准线与轴交于，
的面积为，解得，则抛物线的方程为，
所以，.
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
10、B
【解析】
分析：根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为；根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为，根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.
详解： 记执行第次循环时，的值记为有，则有；
记执行第次循环时，的值记为有，则有.
令，则有，故
，故选B.
点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前和、前项积等）.
11、A
【解析】
根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得；利用定义可证明函数的单调性，由赋值法即可求得函数在上的最大值.
【详解】
函数的定义域为，且，
则；
任取，且，则，
故，
令，，则，
即，
故函数在上单调递增，
故，
令，，
故，
故函数在上的最大值为4.
故选：A.
【点睛】
本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.
12、B
【解析】
根据二项分布的性质可得：，再根据和二次函数的性质求解.
【详解】
因为随机变量满足，，.
所以服从二项分布，
由二项分布的性质可得：，
因为，
所以，
由二次函数的性质可得：，在上单调递减，
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.
【详解】
解：，可得时，，
时，，又，
两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．
【点睛】
本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.
14、
【解析】
设，由椭圆和双曲线的定义得到，根据是以为底边的等腰三角形，得到 ，从而有，根据，得到，再利用导数法求的范围.
【详解】
设，
由椭圆的定义得 ，
由双曲线的定义得，
所以，
因为是以为底边的等腰三角形，
所以，
即 ，
因为，
所以 ，
因为，所以，
所以，
即，
而，
因为，
所以在上递增，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查椭圆，双曲线的定义和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15、
【解析】
作出准线，过作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率．
【详解】
设是准线，过作于，过作于，过作于，如图，
则，，∵，∴，∴，
∴，，
∴，∴直线斜率为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解．
16、1
【解析】
设，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得，由抛物线定义得焦点弦长，求得，再写出的垂直平分线方程，得，从而可得结论．
【详解】
抛物线的焦点坐标为，直线的方程为，
据得.设，
则.
线段垂直平分线方程为，令，则，所以，
所以.
故答案为：1．
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.
(2) 为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可.
【详解】
（1）由,
可得,
由余弦定理可得,
故.
（2）因为为的中线,所以,
两边同时平方可得,
故.
因为,所以.
所以的面积.
【点睛】
本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.
18、（1）点M的极坐标为或（2）
【解析】
（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.
（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】
（1）设点M在极坐标系中的坐标，
由，得，
∵
∴或，
所以点M的极坐标为或
（2）由题意可设，.
由，得，.
故时，的最大值为.
【点睛】
本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.
19、（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可） （2）有 （3）分布列见解析，
【解析】
（1）根据题意可以选用分层抽样法，或者简单随机抽样法.
（2）由已知条件代入公式计算出结果，进而可以得到结果.
（3）由已知条件计算出的分布列，进而求出的数学期望.
【详解】
（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）．
（2）将列联表中的数据代入公式计算得
所以有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”．
（3）以频率作为概率，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为．可取0，1，2，3，计算可得的分布列为：
【点睛】
本题考查了运用数学模型解答实际生活问题，运用合理的抽样方法，计算以及数据的分布列和数学期望，需要正确运用公式进行求解，本题属于常考题型，需要掌握解题方法.
20、（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）.
【解析】
（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程，利用两角和的正弦公式以及可将直线的极坐标方程化为普通方程；
（2）设直线的参数方程为（为参数），并设点、所对应的参数分别为、，利用韦达定理可求得的值.
【详解】
（1）由，得，，
曲线的普通方程为，
由，得，直线的直角坐标方程为；
（2）设直线的参数方程为（为参数），
代入，得，则，
设、两点对应参数分别为、，，，
，，.
【点睛】
本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.
21、（1）；（2）或
【解析】
（1）消去参数可得圆的直角坐标方程，再根据，，即可得极坐标方程；（2）写出直线的极坐标方程为，代入圆的极坐标方程，根据极坐标的意义列出等式解出即可.
【详解】
（1）圆：，消去参数得：，
即：，∵，，.
∴，
.
（2）∵直线：的极坐标方程为，
当时.
即：，∴或.
∴或，
∴直线的倾斜角为或.
【点睛】
本题主要考查了参数方程化为普通方程，直角坐标方程化为极坐标方程以及极坐标的几何意义，属于中档题.
22、（1）见解析 （2）的最小值为
【解析】
（1）由题可得函数的定义域为，
，
当时，，令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，可得；令，可得或，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增．
（2）方法一：当时，，，
设，，则，
所以函数在上单调递减，所以，当且仅当时取等号．当时，设，则，所以，
设，，则，
所以函数在上单调递减，且，，
所以存在，使得，所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以，所以，当且仅当时取等号．所以当时，函数取得最小值，且，
故函数的最小值为．
方法二：当时，，，
则，
令，，则，
所以函数在上单调递增，
又，所以存在，使得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，所以函数在上单调递减，
所以函数的最小值为．
普查对象类别
顺利
不顺利
合计
企事业单位
40
10
50
个体经营户
100
50
150
合计
140
60
200
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
0
1
2
3