2026届海南省儋州市第一中学高三下学期联合考试数学试题含解析

这是一份2026届海南省儋州市第一中学高三下学期联合考试数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知全集，则集合的子集个数为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若为纯虚数，则z＝（ ）
A．B．6iC．D．20
2．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )
A．B．
C．D．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）
（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，）
A．B．C．D．
5．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A．20B．27C．54D．64
6．已知平面和直线a，b，则下列命题正确的是（ ）
A．若∥，b∥，则∥B．若，，则∥
C．若∥，，则D．若，b∥，则
7．已知复数，其中，，是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
8．若函数函数只有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知全集，则集合的子集个数为（ ）
A．B．C．D．
11．若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
12．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）

A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数（）在区间上的值小于0恒成立，则的取值范围是________.
14．如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为_______．
15．已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则=__________．
16．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）设函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设，且当时，不等式有解，求实数的取值范围．
19．（12分）设函数.
(Ⅰ)当时，求不等式的解集；
(Ⅱ)若函数 的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.
20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，，， 且的面积为.
(1)求；
(2)求的周长 .
21．（12分）如图，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分别为，，的中点，以为折痕将折起，使点到达点位置（平面）．
（1）若为直线上任意一点，证明：MH∥平面；
（2）若直线与直线所成角为，求二面角的余弦值．
22．（10分）设椭圆E:（a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.
【详解】

∵为纯虚数，
∴且
得，此时
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的概念与运算，属基础题.
2、A
【解析】
由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算．
【详解】
由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2，
底面为等腰直角三角形，斜边长为，如图：
的外接圆的圆心为斜边的中点，，且平面，
，
的中点为外接球的球心，
半径，
外接球表面积．
故选：A
【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．
3、C
【解析】
求出集合，计算出和，即可得出结论.
【详解】
，，，.
故选：C.
【点睛】
本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.
4、C
【解析】
由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：，解出即可得出．
【详解】
由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为
据题意得：， 解得2n＝12，
∴n21．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5、B
【解析】
设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。
【详解】
设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，
设落在小正方形内的米粒数大约为，
则，解得：
故选：B
【点睛】
本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。
6、C
【解析】
根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.
【详解】
A：当时，也可以满足∥，b∥，故本命题不正确；
B：当时，也可以满足，，故本命题不正确；
C：根据平行线的性质可知：当∥，，时，能得到，故本命题是正确的；
D：当时，也可以满足，b∥，故本命题不正确.
故选：C
【点睛】
本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.
7、D
【解析】
试题分析：由,得,则，故选D.
考点：1、复数的运算；2、复数的模.
8、C
【解析】
转化有1个零点为与的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解.
【详解】
有1个零点
等价于与的图象有1个交点．
记，则过原点作的切线，
设切点为，
则切线方程为，
又切线过原点，即，
将，
代入解得．
所以切线斜率为，
所以或．
故选：C
【点睛】
本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
9、D
【解析】
根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据
，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.
【详解】
依题意知，与为函数的“线性对称点”，
所以，
故（当且仅当时取等号）.
又与为函数的“线性对称点，
所以，
所以，
从而的最大值为.
故选:D.
【点睛】
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题.
10、C
【解析】
先求B.再求，求得则子集个数可求
【详解】
由题=, 则集合,故其子集个数为
故选C
【点睛】
此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题
11、A
【解析】
先确定集合中的元素，然后由交集定义求解．
【详解】
，.
故选：A．
【点睛】
本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．
12、D
【解析】
由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为,故选D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
首先根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得函数的值域，结合区间上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
由于，所以，
由于区间上的值小于0恒成立，
所以（）.
所以，
由于，所以，
由于，所以令得.
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
14、1
【解析】
写出茎叶图对应的所有的数，去掉最高分，最低分，再求平均分．
【详解】
解：所有的数为：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9个数，
去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7个数，
平均分为，
故答案为1．
【点睛】
本题考查茎叶图及平均数的计算，属于基础题．
15、
【解析】
根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代入表达式，结合对数式的化简即可求解.
【详解】
等比数列的各项都是正数，且成等差数列，
则，
由等比数列通项公式可知，
所以，
解得或（舍），
所以由对数式运算性质可得
，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的简单应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题.
16、
【解析】
求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可．
【详解】
半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，
∴该正十二边形的面积为，
根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本小题主要考查面积型几何概型的计算，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】
（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间.
（2）分离出参数后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域.
【详解】
（1）
由得或
①当时，由，得.
由，得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
②当时，由，得
由，得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和
综上：当时，单调递减区间为，单调递增区间为和
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和.
（2）依题意，不等式恒成立
等价于在上恒成立，
可得，在上恒成立，
设，则
令，得，（舍）
当时，；当时，
当变化时，，变化情况如下表：
∴当时，取得最大值，，∴.
∴的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；
（2）将不等式整理为，根据能成立思想可知，由此构造不等式求得结果.
【详解】
（1）当时，可化为，
由，解得；由，解得；由，解得．
综上所述：所以原不等式的解集为．
（2），，，，
有解，，即，
又，，
实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.
19、（1）（2）
【解析】
(Ⅰ)当时，不等式为.
若，则，解得或，结合得或.
若，则，不等式恒成立，结合得.
综上所述,不等式解集为.
(Ⅱ)
则的图象与直线所围成的四边形为梯形,
令,得,令，得,
则梯形上底为, 下底为 11,高为.
.
化简得，解得，结合，得的取值范围为.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
20、（1）（2）
【解析】
（1）利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可；
（2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可．
【详解】
（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.
（2）∵，所以，，又，且 ，，的周长为
【点睛】
本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题.
21、（1）见解析（2）
【解析】
(1)根据中位线证明平面平面，即可证明MH∥平面；（2）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：连接，
∵，，分别为，，的中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
同理，平面，
∵平面，平面，，
∴平面平面，
∵平面，
∴平面．
（2）连接，在和中，由余弦定理可得，
，
由与互补，，，可解得，
于是，
∴，，
∵，直线与直线所成角为，
∴，又，
∴，即，
∴平面，
∴平面平面，
∵为中点，，
∴平面，
如图所示，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，．
设平面的法向量为，
∴，即．
令，则，，可得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
∴，
∴二面角的余弦值为．
【点睛】
此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.
22、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）因为椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
，
要使,需使,即,所以,所以又,
所以,所以,即或,
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,,,
所求的圆为,此时圆的切线都满足或,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系．
点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理．存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备．（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性．
1
0
单调递增
单调递减