2026届杭州外国语学校高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

这是一份2026届杭州外国语学校高三第二次诊断性检测数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了若，则，设是虚数单位，则，如果，那么下列不等式成立的是等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量服从正态分布，，（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，，，若（），则数列的最大值是（ ）
A．B．
C．1D．3
3．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．B．
C．2D．
5．数列满足，且，，则（ ）
A．B．9C．D．7
6．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．若，则( )
A．B．C．D．
8．设是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
9．在条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
10．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．的二项展开式中，的系数是（ ）
A．70B．-70C．28D．-28
12．若（是虚数单位），则的值为（ ）
A．3B．5C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在各项均为正数的等比数列中，，且，成等差数列，则___________.
14．已知是同一球面上的四个点，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积为______.
15．展开式中的系数为_________.（用数字做答）
16．已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若，求证：对于任意，.
18．（12分）设函数，.
（1）解不等式；
（2）若对任意的实数恒成立，求的取值范围.
19．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离为2，
（1）求的值与抛物线的方程；
（2）抛物线上第一象限内的动点在点右侧，抛物线上第四象限内的动点，满足，求直线的斜率范围.
20．（12分）在数列和等比数列中，，，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
21．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若函数在区间上是单调函数，试求的取值范围；
（2）若函数在区间上恰有3个零点，且，求的取值范围.
22．（10分）已知函数.
（1）若，且，求证：；
（2）若时，恒有，求的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果.
【详解】
，所以，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.
2、D
【解析】
在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时, 取最大即可求得结果.
【详解】
因为，所以，即，又，所以公差，所以，即，因为函数，在时，单调递减，且；在时，单调递减，且.所以数列的最大值是，且，所以数列的最大值是3.
故选:D.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.
3、B
【解析】
根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.
【详解】
将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
设，
则当时，，，
即，
要使在区间上单调递减，
则得，得，
即实数的最大值为，
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.
4、A
【解析】
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】
设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
5、A
【解析】
先由题意可得数列为等差数列，再根据，，可求出公差，即可求出．
【详解】
数列满足，则数列为等差数列，
，，
，，
，
，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
6、C
【解析】
由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．
【详解】
由双曲线与双曲线有相同的渐近线，
可得，解得，此时双曲线，
则曲线的离心率为，故选C．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
7、D
【解析】
直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．
【详解】
∵，
∴，
故选D
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8、A
【解析】
利用复数的乘法运算可求得结果.
【详解】
由复数的乘法法则得.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.
9、B
【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案.
【详解】
如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：
当时，有最大值为，即，故.
.
当，即时等号成立.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
10、D
【解析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.
【详解】
∵，∴，，，.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.
11、A
【解析】
试题分析：由题意得，二项展开式的通项为，令，所以的系数是，故选A．
考点：二项式定理的应用．
12、D
【解析】
直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.
【详解】
（是虚数单位）
可得
解得
本题正确选项：
【点睛】
本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用等差中项的性质和等比数列通项公式得到关于的方程,解方程求出代入等比数列通项公式即可.
【详解】
因为，成等差数列，
所以，
由等比数列通项公式得，
，
所以，
解得或，
因为，所以，
所以等比数列的通项公式为
.
故答案为：
【点睛】
本题考查等差中项的性质和等比数列通项公式；考查运算求解能力和知识 综合运用能力；熟练掌握等差中项和等比数列通项公式是求解本题的关键；属于中档题.
14、
【解析】
求得等边三角形的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】
设是等边三角形的外心，则球心在其正上方处.设，由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径，所以外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.
15、210
【解析】
转化，只有中含有，即得解.
【详解】
只有中含有，
其中的系数为
故答案为:210
【点睛】
本题考查了二项式系数的求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
16、
【解析】
先表示出渐近线，再代入点，求出，则离心率易求.
【详解】
解：的渐近线是
因为在渐近线上，所以
，
故答案为：
【点睛】
考查双曲线的离心率的求法，是基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ），（Ⅱ）见解析
【解析】
（1）根据导数的运算法则，求出函数的导数，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出，值；（2）首先将不等式转化为函数，即将不等式右边式子左移，得
，
构造函数并判断其符号，这里应注意的取值范围，从而证明不等式.
【详解】
解：（1）
由于直线的斜率为，且过点，
故即解得，.
（2）由（1）知，
所以.
考虑函数，，
则.
而，故当时，，
所以，即.
【点睛】
本题考查了利用导数求切线的斜率，利用函数的导数研究函数的单调性、和最值问题，以及不等式证明问题，考查了分析及解决问题的能力，其中，不等式问题中结合构造函数实现正确转换为最大值和最小值问题是关键.
18、 (1)；(2)
【解析】
试题分析：
（1）将绝对值不等式两边平方，化为二次不等式求解．（2）将问题化为分段函数问题，通过分类讨论并根据恒成立问题的解法求解即可．
试题解析：

整理得
解得

①

②
解得
③

,且无限趋近于4，
综上的取值范围是
19、（1）1；（2）
【解析】
（1）根据点到焦点的距离为2，利用抛物线的定义得，再根据点在抛物线上有，列方程组求解，
（2）设，根据，再由，求得，当，即时，直线斜率不存在；当时，，令，利用导数求解，
【详解】
（1）因为点到焦点的距离为2，
即点到准线的距离为2，得，
又，解得，
所以抛物线方程为
（2）设，
由
由，则
当，即时，直线斜率不存在；
当时，
令，
所以在上分别递减
则
【点睛】
本题主要考查抛物线定义及方程的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题，
20、（1），（2）
【解析】
(1)根据与可求得,再根据等比数列的基本量求解即可.
(2)由(1)可得,再利用错位相减求和即可.
【详解】
解：
（1）依题意,,
设数列的公比为q,由,可知,
由,得,又,则,
故,
又由,得.
（2）依题意.
,①
则,②
①-②得,
即,故.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）求出，再求恒成立，以及恒成立时，的取值范围；
（2）由已知，在区间内恰有一个零点，转化为在区间内恰有两个零点，由（1）的结论对分类讨论，根据单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论.
【详解】
（1）由题意得，则，
当函数在区间上单调递增时，
在区间上恒成立.
∴（其中），解得.
当函数在区间上单调递减时，
在区间上恒成立，
∴（其中），解得.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）.
由，知在区间内恰有一个零点，
设该零点为，则在区间内不单调.
∴在区间内存在零点，
同理在区间内存在零点.
∴在区间内恰有两个零点.
由（1）易知，当时，在区间上单调递增，
故在区间内至多有一个零点，不合题意.
当时，在区间上单调递减，
故在区间内至多有一个零点，不合题意，
∴.令，得，
∴函数在区间上单凋递减，
在区间上单调递增.
记的两个零点为，
∴，必有.
由，得.
∴
又∵，
∴.
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
22、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）利用导数分析函数的单调性，并设，则，，将不等式等价转化为证明，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，通过推导出来证得结论；
（2）构造函数，对实数分、、，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，再通过构造新函数，利用导数求出函数的最大值，可得出的最大值.
【详解】
（1），，所以，函数单调递增，
所以，当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.
要证，即证.
不妨设，则，，
下证，即证，
构造函数，
，所以，函数在区间上单调递增，
，，即，即，
，且函数在区间上单调递增，
所以，即，故结论成立；
（2）由恒成立，得恒成立，
令，则.
①当时，对任意的，，函数在上单调递增，
当时，，不符合题意；
②当时，；
③当时，令，得，此时，函数单调递增；
令，得，此时，函数单调递减.
.
.
令，设，则.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数在处取得最大值，即.
因此，的最大值为.
【点睛】
本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于难题.