2026届杭州高级中学高三一诊考试数学试卷含解析

这是一份2026届杭州高级中学高三一诊考试数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了已知命题等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )
A．B．C．D．
2．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：函数的最小值为4. 给出下列命题：①；②；③；④，其中真命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为( )
A．B．
C．D．
5．某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.
A．，且B．，且
C．，且D．，且
6．若表示不超过的最大整数(如，，)，已知，，，则（ ）
A．2B．5C．7D．8
7．已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）
A．20B．24C．25D．26
10．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
12．设曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设， ，则的面积为________.
14．命题“”的否定是______．
15．数列满足，则，_____.若存在n∈N*使得成立，则实数λ的最小值为______
16．已知正方形边长为，空间中的动点满足，，则三棱锥体积的最大值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙上一点，，交于点．求证：~．
18．（12分）已知函数.
(Ⅰ) 求函数的单调区间；
(Ⅱ) 当时，求函数在上最小值.
19．（12分）已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和.求证：.
20．（12分）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：.
21．（12分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）.
（1）应抽查男生与女生各多少人？
（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：
若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？
附：K2.
22．（10分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次，若掷得点数大于，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有个红球与个白球，抽奖者从箱中任意摸出个球，若个球均为红球，则获得一等奖，若个球为个红球和个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.
若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
若一等奖可获奖金元，二等奖可获奖金元，三等奖可获奖金元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望不超过元，求的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
【详解】
抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A．
【点睛】
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
2、A
【解析】
先由两直线垂直的条件判断出命题p的真假，由基本不等式判断命题q的真假，从而得出p,q的非命题的真假，继而判断复合命题的真假，可得出选项.
【详解】
已知对于命题，由得，所以命题为假命题；
关于命题，函数，
当时，，当即时，取等号，
当时，函数没有最小值，
所以命题为假命题.
所以和是真命题，
所以为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，所以真命题的个数为1个.
故选：A.
【点睛】
本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的条件，属于基础题.
3、C
【解析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．
【详解】
当n=k时，等式左端=1+1+…+k1，
当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查数学归纳法，属于中档题./
4、C
【解析】
根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较.
【详解】
因为，且的图象经过第一、二、四象限，
所以，，
所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
又，，
则|，
即，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.
5、D
【解析】
首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.
【详解】
根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：
所以：，
，.
故选：D.
.
【点睛】
本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.
6、B
【解析】
求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可．
【详解】
解：.，
∴，，
，
同理可得：；；.；，，…….
∴.
故是一个以周期为6的周期数列，
则.
故选：B.
【点睛】
本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．
7、B
【解析】
命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故
8、C
【解析】
先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.
【详解】
解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，
则基本事件总数为，
则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，
∴6和28不在同一组的概率.
故选：C.
【点睛】
本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.
9、D
【解析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.
【详解】
混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），
故选：D.
【点睛】
本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.
10、C
【解析】
，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.
【详解】
由已知，，令，得.
故选：C.
【点睛】
本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.
11、C
【解析】
函数的定义域应满足
故选C.
12、D
【解析】
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解
【详解】
因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.
故选：D
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据个全等的三角形，得到，设，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式，求得三角形的面积.
【详解】
由于三角形是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，所以.在三角形中，.设，则.由余弦定理得，解得.所以三角形边长为，面积为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14、，
【解析】
根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.
【详解】
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题，
则该命题的否定是：，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
15、
【解析】
利用“退一作差法”求得数列的通项公式，将不等式分离常数，利用商比较法求得的最小值，由此求得的取值范围，进而求得的最小值.
【详解】
当时
两式相减得
所以
当时，满足上式
综上所述
存在使得成立的充要条件为存在使得，
设，所以，即，
所以单调递增，的最小项，即有的最小值为.
故答案为：(1). (2).
【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查数列单调性的判断方法，考查不等式成立的存在性问题的求解策略，属于中档题.
16、
【解析】
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，设点，根据题中条件得出，进而可求出的最大值，由此能求出三棱锥体积的最大值.
【详解】
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，设点，
空间中的动点满足，，
所以，整理得，
，
当，时，取最大值，
所以，三棱锥的体积为.
因此，三棱锥体积的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、证明见解析
【解析】
根据相似三角形的判定定理,已知两个三角形有公共角,题中未给出线段比例关系,故可根据判定定理一需找到另外一组相等角,结合平面几何的知识证得即可.
【详解】
证明：∵，所以，
又因为，
所以．
在与中，，，
故~.
【点睛】
本题考查平面几何中同弧所对的圆心角与圆周角的关系、相似三角形的判定定理;考查逻辑推理能力和数形结合思想;分析图形，找出角与角之间的关系是证明本题的关键;属于基础题.
18、 (Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值是
【解析】
（1）求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是-a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2-2a．
【详解】
函数的定义域 为．
因为，令，可得；
当时，；当时，，
综上所述：可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为
当，即时，函数在区间上是减函数，
的最小值是
当，即时，函数在区间上是增函数，
的最小值是
当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数．
又，
当时，的最小值是；
当时，的最小值为
综上所述，结论为当时，函数的最小值是；
当时，函数的最小值是.
【点睛】
求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小
19、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）利用求得数列的通项公式.
（2）先将缩小即，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.
【详解】
（1）∵，令，得.
又，两式相减，得.
∴.
（2）∵
.
又∵，，∴.
∴
.
∴.
【点睛】
本小题主要考查已知求，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）求导得，分类讨论和，利用导数研究含参数的函数单调性；
（2）根据（1）中求得的的单调性，得出在处取得最大值为，构造函数，利用导数，推出，即可证明不等式.
【详解】
解：（1）由于，得，
当时，，此时在上递增；
当时，由，解得，
若，则，
若，，
此时在递增，在上递减.
（2）由（1）知在处取得最大值为：
，
设，则，
令，则，
则在单调递减，∴，
即，则在单调递减
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式，考查转化思想和计算能力.
21、（1）男生人数为人，女生人数55人.（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
【解析】
（1）求出男女比例，按比例分配即可；
（2）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合公式计算，利用表格数据对比判断即可
【详解】
（1）因为男生人数：女生人数＝900：1100＝9：11，
所以男生人数为，女生人数100﹣45＝55人，
（2）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，
每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人，
联表如下：
因为3.892＞3.841，
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
【点睛】
本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题.
22、；.
【解析】
设顾客获得三等奖为事件，因为顾客掷得点数大于的概率为，顾客掷得点数小于，然后抽将得三等奖的概率为，求出；
由题意可知，随机变量的可能取值为，，，相应求出概率，求出期望，化简得，由题意可知，，即，求出的最小值.
【详解】
设顾客获得三等奖为事件，
因为顾客掷得点数大于的概率为，
顾客掷得点数小于，然后抽将得三等奖的概率为，
所以；
由题意可知，随机变量的可能取值为，，，
且，
，
，
所以随机变量的数学期望，
，
化简得，
由题意可知，，即，
化简得，因为，解得，
即的最小值为.
【点睛】
本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题.
时间（小时）
[0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(5,6]
频率
0.05
0.20
0.30
0.25
0.15
0.05
男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时
每周平均体育锻炼时间超过2小时
总计
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时
7
18
25
每周平均体育锻炼时间超过2小时
38
37
75
总计
45
55
100