2026届河北省行唐启明中学高三考前热身数学试卷含解析

这是一份2026届河北省行唐启明中学高三考前热身数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了设椭圆，已知是虚数单位，则，的展开式中含的项的系数为等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为
A．B．C．D．
2．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）
A．B．
C．D．
3．设椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）
A．甲件，乙件B．甲件，乙件C．甲件，乙件D．甲件，乙件
6．已知是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
7．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在，内的学生人数为（ ）
A．800B．1000C．1200D．1600
8．已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
9．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
10．的展开式中含的项的系数为（ ）
A．B．60C．70D．80
11．等比数列的各项均为正数，且，则( )
A．12B．10C．8D．
12．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，，则___________．
14．已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最小值为__________.
15．函数的图象在处的切线方程为__________．
16．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点、，设为直线上一点，且直线、的斜率的积为．证明：点在轴上．
18．（12分）已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.
（1）求证：.
（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.
附：多项式因式分解公式：
19．（12分）选修4—5；不等式选讲．
已知函数．
(1)若的解集非空，求实数的取值范围；
(2)若正数满足，为（1）中m可取到的最大值，求证：．
20．（12分）已知在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且．
（1）求角A的值；
（2）若，设角，周长为y，求的最大值．
21．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点.
（1）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；
（2）求二面角D-AP-B的余弦值；
（3）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明.
22．（10分）已知函数，，
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有且仅有一个零点，且此时恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，
求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解．
【详解】
解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1，
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，
记∠KPF的平分线与轴交于
根据角平分线定理可得，
，
当时，，
当时，，
，
综上：．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．
2、D
【解析】
因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.
点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.
3、C
【解析】
连接，为的中位线，从而，且，进而，由此能求出椭圆的离心率.
【详解】
如图，连接，
椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，
B、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B在第二象限，
直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点
为的中位线，
，且，
，
解得椭圆的离心率.
故选：C
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.
4、A
【解析】
构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，，所以，所以.
由得，所以，故不等式的解集为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
5、D
【解析】
由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.
【详解】
设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意，
画出可行域如图所示，
显然当经过时，最大.
故选：D.
【点睛】
本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.
6、B
【解析】
根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】
.
故选B
【点睛】
本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.
7、B
【解析】
由图可列方程算得a，然后求出成绩在内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.
【详解】
由频率和为1，得，解得，
所以成绩在内的频率，
所以成绩在内的学生人数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.
8、B
【解析】
由题意可得c=，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，
∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，
所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，
由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，
∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，
由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，
于是 b2=a2﹣c2=36﹣=16，
所以椭圆的方程为．
故选B．
点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在．
9、A
【解析】
求函数定义域得集合M，N后，再判断．
【详解】
由题意，，∴．
故选A．
【点睛】
本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．
10、B
【解析】
展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，由二项式的通项，可得解
【详解】
由题意，展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，
所以的展开式中含的项的系数为．
故选：B
【点睛】
本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
11、B
【解析】
由等比数列的性质求得，再由对数运算法则可得结论．
【详解】
∵数列是等比数列，∴，，
∴．
故选：B.
【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键．
12、A
【解析】
设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.
【详解】
设平面向量与的夹角为，，可得，
在等式两边平方得，化简得.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
因为，所以，又，所以，则，所以．
14、
【解析】
先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得，代入整理得，利用基本不等式求得最值.
【详解】
解：圆的圆心为，
则到直线的距离为，
由直线截圆所得的弦长为可得
，整理得，
解得或(舍去)，令
，
又，当且仅当时,等号成立,
则
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形式，也可用换元法进行变形，是中档题.
15、
【解析】
利用导数的几何意义,对求导后在计算在处导函数的值,再利用点斜式列出方程化简即可.
【详解】
,则切线的斜率为.
又,所以函数的图象在处的切线方程为,即.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题,需要注意求导法则与计算,属于基础题.
16、1344
【解析】
分四种情况讨论即可
【详解】
解：数学排在第一节时有：
数学排在第二节时有：
数学排在第三节时有：
数学排在第四节时有：
所以共有1344种
故答案为：1344
【点睛】
考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）由已知条件得出、的值，进而可得出的值，由此可求得椭圆的方程；
（2）设点，可得，且，，求出直线的斜率，进而可求得直线与的方程，将直线直线与的方程联立，求出点的坐标，即可证得结论.
【详解】
（1）由题设，得，所以，即．
故椭圆的方程为；
（2）设，则，，．
所以直线的斜率为，
因为直线、的斜率的积为，所以直线的斜率为．
直线的方程为，直线的方程为．
联立，解得点的纵坐标为．
因为点在椭圆上，所以，则，所以点在轴上．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
18、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由得令可得，进而得到，同理，利用数量积坐标计算即可；
（2），分，两种情况讨论即可.
【详解】
（1）证明：点的坐标为.
联立方程，消去后整理为
有，可得，，.
可得点的坐标为.
当时，可求得点的坐标为，
，.
有,
故有.
（2）若点在轴上方，因为，所以有，
由（1）知
①因为时.由（1）知，
由函数单调递增，可得此时.
②当时，由（1）知
令
由
，故当时，
，此时函数单调递增：当时，，此时函数单
调递减，又由，故函数的最小值，函数取最小值时
，可求得.
由①②知，若点在轴上方，当的面积最小时，直线的斜率为.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.
19、 (1);(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）讨论三种情况去绝对值符号，可得所以，由此得，解得；（2）利用分析法，由（1）知，，所以，因为，要证，只需证，即证，只需证 即可得结果.
试题解析：（1）去绝对值符号，可得
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
（2）由（1）知，，所以．
因为，
所以要证，只需证，
即证，即证.
因为，所以只需证，
因为，∴成立，所以
解法二：x2+y2=2，x、y∈R+，x+y≥2xy
设：
证明：x+y-2xy=
=
令
， ∴

原式=
=
=
=
当时，

20、（1）；（2）．
【解析】
（1）利用正弦定理，结合题中条件，可以得到，之后应用余弦定理即可求得；
（2）利用正弦定理求得，求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可.
【详解】
（1）由已知可得，
结合正弦定理可得，∴，
又，∴．
（2）由，及正弦定理得，
∴，，
故，即，
由，得，∴当，即时，．
【点睛】
该题主要考查的是有关解三角形的问题，解题的关键是掌握正余弦定理，属于简单题目.
21、（1）（2）（3）直线平面，证明见解析
【解析】
取中点，连接，则，再由已知证明平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量．
（1）求出的坐标，由与所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值；
（2）求出平面的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；
（3）求出的坐标，由，结合平面，可得直线平面．
【详解】
底面是边长为2的菱形，，
为等边三角形．
取中点，连接，则，
为等边三角形，
，
又平面平面，且平面平面，
平面．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，1，，，0，，，，，，0，，
，，，，，．
，，设平面的一个法向量为．
由，取，得．
（1）证明：设直线与平面所成角为，
，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（2）设平面的一个法向量为，
由，
得二面角的余弦值为；
（3），
，
又平面，
直线平面．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
22、（1）时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．（2）．
【解析】
（1）求出导函数，分类讨论，由确定增区间，由确定减区间；
（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得结论．
【详解】
（1）函数定义域是，
，
当时，，单调递增；
时，令得，时，，递减，时，，递增，
综上所述，时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．
（2）易知，由函数单调性，若有唯一零点，则或．
当时，，，
从而只需时，恒成立，即，
令，，在上递减，在上递增，
∴，从而．
时，，，
令，由，知在递减，在上递增，，∴．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】
本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数零点个数与不等式恒成立问题，解题关键在于转化，不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值．这又可通过导数求解．