2026届河北省唐山遵化市高三考前热身数学试卷含解析

这是一份2026届河北省唐山遵化市高三考前热身数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了已知为等差数列，若，，则，集合,则集合的真子集的个数是等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
4．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
6．已知为等差数列，若，，则( )
A．1B．2C．3D．6
7．集合,则集合的真子集的个数是
A．1个B．3个C．4个D．7个
8．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解:
10．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ）
A．2阶区间B．3阶区间C．4阶区间D．5阶区间
11．函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
12．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是第二象限角，且，，则____.
14．已知多项式满足，则_________，__________．
15．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________.
16．已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）若是函数的极值点，求的单调区间；
（2）当时，证明：
18．（12分）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
19．（12分）已知函数.
（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若，求的最大值.
20．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值．
21．（12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：
若用表中数据所得频率代替概率.
（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？
（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？
22．（10分）如图，四棱锥中，平面平面，若，四边形是平行四边形，且.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若点在线段上，且平面，，，求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
试题分析：设公差为
或（舍），故选A.
考点：等差数列及其性质.
2、A
【解析】
根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.
【详解】
∵，
集合，
∴由交集运算可得.
故选：A.
【点睛】
本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.
3、B
【解析】
由图象的顶点坐标求出，由周期求出，通过图象经过点，求出，从而得出函数解析式.
【详解】
解：由图象知，，则，
图中的点应对应正弦曲线中的点，
所以，解得，
故函数表达式为．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.
4、B
【解析】
由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种，由古典概型的概率公式即得解.
【详解】
由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有，所有的情况有种
由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：
故选：B
【点睛】
本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
5、B
【解析】
由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解
【详解】
双曲线的一条渐近线与直线垂直．
∴双曲线的渐近线方程为．
，得．
则离心率．
故选：B
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
6、B
【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．
【详解】
∵{an}为等差数列，,
∴，
解得＝﹣10，d＝3，
∴＝+4d＝﹣10+11＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7、B
【解析】
由题意，结合集合，求得集合，得到集合中元素的个数，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，集合，
则，
所以集合的真子集的个数为个，故选B．
【点睛】
本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合，再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
8、C
【解析】
模拟程序的运行即可求出答案．
【详解】
解：模拟程序的运行，可得：
p＝1，
S＝1，输出S的值为1，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127，
满足条件p≤7，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511，
此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，
故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查程序框图，属于基础题．
9、C
【解析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.
【详解】
，
，∴等价于，
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.
10、D
【解析】
可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解
【详解】
当且时，.令得.可得和的变化情况如下表：
令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.

故选：D
【点睛】
本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题
11、D
【解析】
由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.
【详解】
解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，
得，当时，.
故选D.
【点睛】
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.
12、C
【解析】
先利用等比数列的性质得到的值，再根据的方程组可得的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项.
【详解】
因为为等比数列，所以，故即，
由可得或，因为为递增数列，故符合.
此时，所以或（舍，因为为递增数列）.
故，.
故选C.
【点睛】
一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）公比时，则有，其中为常数且；
（3） 为等比数列（ ）且公比为.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由是第二象限角，且，可得，由及两角和的正切公式可得的值.
【详解】
解：由是第二象限角，且，可得，，
由，可得，代入，
可得，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性.
14、
【解析】
∵多项式 满足
∴令，得，则
∴
∴该多项式的一次项系数为
∴
∴
∴
令，得
故答案为5，72
15、
【解析】
一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角线的长为,所以容器体积的最小值为.
16、
【解析】，由题意，得,
解得，则的周期为4，且，所以.
考点：三角函数的图像与性质.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）递减区间为（-1，0），递增区间为（2）见解析
【解析】
（1）根据函数解析式，先求得导函数，由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域，并根据导函数的符号即可判断单调区间.
（2）当时，.代入函数解析式放缩为，代入证明的不等式可化为，构造函数，并求得，由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函数的最小值，由对数式变形化简可证明，即成立，原不等式得证.
【详解】
（1）函数
可求得，则
解得
所以，定义域为
，
在单调递增，而，
∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时是函数的极小值点，
的递减区间为，递增区间为
（2）证明：当时，
，
因此要证当时，，
只需证明，
即
令，
则，
在是单调递增，
而，
∴存在唯一的，使得，
当，单调递减，当，单调递增，
因此当时，函数取得最小值，
，
，
故，
从而，即，结论成立.
【点睛】
本题考查了由函数极值求参数，并根据导数判断函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立，构造函数法的综合应用，属于难题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）根据递推公式，用配凑法构造等比数列，求其通项公式，进而求出的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】
解：（1），
，
是首项为，公比为的等比数列．
所以，．
（2）
.
【点睛】
本题考查了由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求数列的前n项和的问题，属于中档题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）根据单调递减可知导函数恒小于等于，采用参变分离的方法分离出，并将的部分构造成新函数，分析与最值之间的关系；
（2）通过对的导函数分析，确定有唯一零点，则就是的极大值点也是最大值点，计算的值并利用进行化简，从而确定.
【详解】
（1）由题意知， 在上恒成立，所以在上恒成立.
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以.
（2）当时，.
则，
令，则，
所以在上单调递减.
由于，，所以存在满足，即.
当时，，；当时，，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，
因为，所以，所以，
所以.
【点睛】
（1）求函数中字母的范围时，常用的方法有两种：参变分离法、分类讨论法；
（2）当导函数不易求零点时，需要将导函数中某些部分拿出作单独分析，以便先确定导函数的单调性从而确定导函数的零点所在区间，再分析整个函数的单调性，最后确定出函数的最值.
20、（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为为参数（2）
【解析】
（1）将代入，可得，
所以曲线的直角坐标方程为．
由可得，
将，代入上式，可得，
整理可得，所以曲线的参数方程为为参数．
（2）由题可设，，，
所以，，
，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，l取得最大值为，
所以的周长的最大值为．
21、（1）降低（2）
【解析】
（1）计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；
（2）闯红灯的市民有80人，其中类市民和类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的概率值.
【详解】
解：（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为；
不进行处罚，行人闯红灯的概率为；
所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低；
（2）由题可知，闯红灯的市民有80人，类市民和类市民各有40人
故分别从类市民和类市民各抽出两人，4人依次排序
记类市民中抽取的两人对应的编号为，类市民中抽取的两人编号为
则4人依次排序分别为，，，，，，，，，，，，共有种
前两位均为类市民排序为，，有种，所以前两位均为类市民的概率是.
【点睛】
本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.
22、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）推导出BC⊥CE,从而EC⊥平面ABCD,进而EC⊥BD，再由BD⊥AE，得BD⊥平面
AEC,从而BD⊥AC,进而四边形ABCD是菱形，由此能证明AB=AD.
（Ⅱ）设AC与BD的交点为G,推导出EC// FG,取BC的中点为O,连结OD,则OD⊥BC,以O为坐标原点，以过点O且与CE平行的直线为x轴，以BC为y轴，OD为z轴，建立
空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.
【详解】
（Ⅰ）证明：，即，
因为平面平面，
所以平面，
所以，
因为，
所以平面，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以四边形是菱形，
故；
解法一：（Ⅱ）设与的交点为，
因为平面，
平面平面于，
所以，
因为是中点，
所以是的中点，
因为，
取的中点为，连接，
则，
因为平面平面，
所以面，
以为坐标原点，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，，，，
设平面的法向量，
则，取，
同理可得平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
因为，
所以二面角的余弦值为.
解法二：（Ⅱ）设与的交点为，
因为平面，平面平面于，
所以，
因为是中点，
所以是的中点，
因为，，
所以平面，
所以，
取中点，连接、，
因为，
所以，
故平面，
所以，即是二面角的平面角，
不妨设，
因为，，
在中，，
所以，所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查求空间角中的二面角的余弦值，还考查由空间中线面关系进而证明线线相等，属于中档题.
处罚金额（单位：元）
5
10
15
20
会闯红灯的人数
50
40
20
10