福建省泉州市南安第一中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段测试数学试题（含解析）

这是一份福建省泉州市南安第一中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段测试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列各角中，与角终边相同的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A．2B．C．6D．
3．已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
4．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ）

A．B．C．D．0
6．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）．已知某机器工作时噪音的声波曲线（其中）的振幅为2，周期为，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ）
A．B．
C．D．
7．在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，函数在区间内没有最值，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列算式中，正确的是（ ）
A．
B．已知向量，，则
C．若向量，，则在上的投影向量的模为
D．若向量是与向量同向的单位向量，则
10．已知函数，则（ ）
A．的一个对称中心为
B．的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C．在区间上单调递增
D．若在区间上与有且只有6个交点，则
11．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．存在最大值为9D．的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数在区间上的所有零点之和等于 ．
13．已知函数的最小周期为T，若，为的零点，则的最小值为 .
14．如图，菱形的边长为6，，，则的取值范围为 ．

四、解答题（本大题共5小题）
15．已知锐角的终边与单位圆相交于点.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
16．如图所示，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，四边形为平行四边形，函数．
(1)求函数的表达式；
(2)求函数的单调递减区间；
17．在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标，其中为实数，且O，A，B三点不共线，
(1)试用向量的数量积的知识，推导并写出△OAB的面积公式（用表示）.
(2)是否存在实数，使得△OAB的面积为5且向量与向量垂直？若存在，求出所有符合条件的；若不存在，请说明理由.
18．已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)将的图象向左平移个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求m的取值范围．
19．定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P.
(1)分别判断以下两个函数是否具有性质和；
(2)若函数具有性质P.
（ⅰ）求出，的值；
（ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】，
所以与角终边相同的是.
故选A.
2．【答案】B
【详解】已知，，可得：
因为与共线，，，可得：
求解：实数.
故选B.
3．【答案】B
【详解】向量满足，
所以.
故选B.
4．【答案】D
【详解】因为，所以，则，
．
故选D.
5．【答案】D
【详解】如图所示，

延长交于，由已知为的重心，则点为的中点，
可得，且，又由，
可得是的三等分点，则，
因为，所以，，所以．
故选D.
6．【答案】C
【详解】已知噪音的声波曲线（其中）的振幅为2，
周期为，初相为，可得，，
所以噪音的声被曲线为，
所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为：
；
故选C．
7．【答案】B
【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为，
因为，
所以有，
，设，，
因此有
因为，
所以有，
而，
所以，
当时，有最大值，当，xy有最小值，
所以的取值范围是
故选B.
8．【答案】C
【解析】根据正弦函数的最值可得，当，时，取得最值，所以问题转化为对任意，都有，而当时，存在使得不成立，所以，排除选项，当时，存在使得，排除选项,可得选项正确.
【详解】由，，得，，
因为函数在区间内没有最值，
所以对任意，都有，
当，时，，故选项不正确；
当时，存在使得，故选不正确.
故选C.
9．【答案】ABD
【详解】对于A, ,故A正确，
对于B，，得，故，故B正确，
对于C，在上的投影向量为，故，故C错误，
对于D，，故D正确，
故选ABD.
10．【答案】BD
【详解】对于A，由，故A错误；
对于B，的图象向右平移个单位长度后得
，为奇函数，故B正确；
对于C，当时，则，由余弦函数单调性知，在区间上单调递减，故C错误；
对于D，由，得，解得或，
在区间上与有且只有6个交点，
其横坐标从小到大依次为，第7个交点的横坐标为，
，故D正确.
故选BD.
11．【答案】ABC
【详解】在边长为3的正中，，为的中点，则，
对于A，由，得，则，A正确；
对于B，，
则
，B正确；
对于C，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，显然点在以为圆心，为半径的下半圆上，
设，
则，
，
由，得，则当时，取得最大值，C正确；
对于D，由，得，
即，
因此，则，
而，则当时，取得最大值，D错误.

故选ABC.
12．【答案】2
【详解】令，则，得，
因为，所以，则所有零点之和为.
13．【答案】/1.5
【详解】因为，则，
又，∴，
∵，∴，
∴，，
∵，∴时，取得最小值．
14．【答案】
【详解】设，则，
因为，，
所以，
，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，，
则；因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，，
由二倍角公式可得，，
所以.
（2）因为为锐角，所以，又，
所以，故，
因为，所以，
则，
.
16．【答案】(1)
(2).
【详解】（1）由题意可知，，，
则由平面向量的坐标得，
故，则.
（2）由辅助角公式得，
令，得，
故的单调递减区间为.
17．【答案】(1)
(2)
存在，或
【详解】（1）因为，
则与垂直的单位向量为：，过点作的垂线，其长度为：
,
面积.
（2）依题意得,的面积为且向量与向量垂直
解得：，或
经检验，当，或时，面积均不为，故三点不共线.
综上，存在符合条件的实数， 点坐标为或
18．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）
，
所以的周期为，
由得，
所以的单调递增区间为．
（2）图象上的所有点向左平移个单位后，得到
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，得到
因为，
所以当时，
令，则
，所以当时，取得最小值，最小值为
所以，解得或，故的取值范围为．
19．【答案】(1)不具有性质，具有性质.
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1），
，
所以，所以不具有性质，
，
，
所以，所以具有性质.
（2）若具有性质，则，
则，因为，所以，
则，
由得，，，
若，则存在，使得，
而，上式不成立，
故，即，因为，所以，
则，，则，
验证：当时，，
则对任意，，
，
所以等式成立，
故存在，使得具有性质.
（ⅱ），所以，
，，
由，得
即，
即，
即，
即，
因为对任意的，当时，恒成立，
所以对任意的，当时，，恒成立，
，，不妨设，
则问题转化为在区间上单调递减，
所以，解得：