2026届贵州省黔东南州锦屏县民族中学高三下学期一模考试数学试题含解析

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题：的否定为
A．B．
C．D．
2．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．64种
3．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x﹣2，则（ ）
A．B．f（sin3）＜f（cs3）
C．D．f（2020）＞f（2019）
4．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（ ）
A．9B．7C．D．
6．已知集合，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）
A．B．C．D．
9．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．在中，，，，点满足，则等于（ ）
A．10B．9C．8D．7
11．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）．
A．B．C．D．
12．已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过点，且圆心在直线上的圆的半径为__________．
14．若函数满足：①是偶函数；②的图象关于点对称.则同时满足①②的，的一组值可以分别是__________.
15．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．
16．已知函数则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，设椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程．
18．（12分）如图，已知在三棱锥中，平面，分别为的中点，且.
（1）求证：；
（2）设平面与交于点，求证：为的中点.
19．（12分）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：
（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；
（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.
（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？
附：线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，
参考数据：.
20．（12分） [选修4-4：极坐标与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取最大值时的值
21．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．
（1）求物理原始成绩在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．
（附：若随机变量，则，，）
22．（10分）设，，其中．
（1）当时，求的值；
（2）对，证明：恒为定值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
命题为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题的否定为，故选C．
2、C
【解析】
根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，分2步进行分析：
①，将4人分成3组，有种分法；
②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，
将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况，
此时有种情况，
则有种不同的安排方法；
故选：C．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
3、B
【解析】
根据函数的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.
【详解】
由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函数且周期为2，
先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移，
并结合f（x）是偶函数作出f（x）在R上的图象如下，
选项A，，
所以，选项A错误；
选项B，因为，所以，
所以f（sin3）＜f（﹣cs3），即f（sin3）＜f（cs3），选项B正确；
选项C，，
所以，即，
选项C错误；
选项D，，选项D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.
4、B
【解析】
由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积．
【详解】
由题意原几何体是正三棱柱，．
故选：B．
【点睛】
本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．
5、C
【解析】
根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到之间的等量关系，再用表示出的面积，利用均值不等式即可容易求得.
【详解】
设，，则.
因为平面，平面，所以.
又，，所以平面，则.
易知，.
在中，，
即，化简得.
在中，，.
所以.
因为，
当且仅当，时等号成立，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.
6、A
【解析】
先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域.
【详解】
由，得 ，，令， ，，所以得 ， 在 上递增，在上递减， ，所以，即 的值域为
故选A
【点睛】
本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题
7、C
【解析】
试题分析：根据题意，当时，令，得；当时，令，得
，故输入的实数值的个数为1．
考点：程序框图．
8、B
【解析】
根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．
【详解】
解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，
用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为中的．
故选：．
【点睛】
本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．
9、A
【解析】
先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,再由中间值1可得三者的大小关系.
【详解】
，，，因此，故选：A.
【点睛】
本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.
10、D
【解析】
利用已知条件，表示出向量 ,然后求解向量的数量积．
【详解】
在中，，，，点满足，可得
则==
【点睛】
本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．
11、A
【解析】
过圆外一点，
引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选．
12、A
【解析】
求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率．
【详解】
不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，
因为，所以圆心到的距离为：，
即，因为，所以解得．
故选A．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据弦的垂直平分线经过圆心,结合圆心所在直线方程,即可求得圆心坐标.由两点间距离公式,即可得半径.
【详解】
因为圆经过点
则直线的斜率为
所以与直线垂直的方程斜率为
点的中点坐标为
所以由点斜式可得直线垂直平分线的方程为,化简可得
而弦的垂直平分线经过圆心,且圆心在直线上,设圆心
所以圆心满足解得
所以圆心坐标为
则圆的半径为
故答案为:
【点睛】
本题考查了直线垂直时的斜率关系,直线与直线交点的求法,直线与圆的位置关系,圆的半径的求法,属于基础题.
14、，
【解析】
根据是偶函数和的图象关于点对称，即可求出满足条件的和.
【详解】
由是偶函数及，可取，
则，
由的图象关于点对称，得，，
即，，可取.
故，的一组值可以分别是，.
故答案为：，.
【点睛】
本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.
15、
【解析】
画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可.
【详解】
解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形,
上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,
此四棱锥中,是边长为的正方形,
是边长为的等边三角形,
故,又,
故平面平面,
的高是四棱锥的高,
此四棱锥的体积为:
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意
16、
【解析】
先由解析式求得（2），再求（2）．
【详解】
（2），，
所以（2），
故答案为：
【点睛】
本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是“对号入座”,属于容易题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最小值为9，.
【解析】
（Ⅰ）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的，再由离心率可求得，从而得值，得标准方程；
（Ⅱ）设直线方程为，设，把直线方程代入抛物线方程，化为的一元二次方程，由韦达定理得，由弦长公式得，同理求得点的横坐标，于是可得，将面积表示为参数的函数，利用导数可求得最大值.
【详解】
（Ⅰ）∵椭圆：，
长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，
∴，
又∵椭圆的离心率是，∴，，
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）过点的直线的方程设为，设，，
联立得，
∴，，
∴．
过且与直线垂直的直线设为，
联立得，
∴，故，
∴，
面积．
令，则，，
令，则，即时，面积最小，
即当时，面积的最小值为9，
此时直线的方程为．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，抛物线中弦长的求解，涉及三角形面积范围问题，利用导数求函数的最值问题，属综合困难题.
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）要做证明，只需证明平面即可；
（2）易得∥平面，平面，利用线面平行的性质定理即可得到∥，从而获得证明
【详解】
证明：（1）因为平面，平面，
所以.
因为，所以.
又因为，平面，平面，
所以平面.
又因为平面，所以.
（2）因为平面与交于点，所以平面.
因为分别为的中点，
所以∥.
又因为平面，平面，
所以∥平面.
又因为平面，平面平面，
所以∥，
又因为是的中点，
所以为的中点.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是 一道容易题.
19、（1）；（2）；（3）利润约为111.2万元.
【解析】
（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；
（2）首先求出利润y和养殖量x的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；
（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润.
【详解】
（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份，
则5个月份任意选取3个月份的基本事件有
，，，，，，
，，，，共计10个，
故恰好有两个月考核合格的概率为；
（2），，
，
，
故；
（3）当千只，
（十万元）（万元），
故9月份的利润约为111.2万元.
【点睛】
本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.
20、 (1) 的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为. (2)
【解析】
(1)先得到的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将代入得，得到曲线的直角坐标方程；（2）设点、的极坐标分别为，，
将 分别代入曲线、极坐标方程得：，，，之后进行化一，可得到最值，此时，可求解.
【详解】
（1）由得，
将代入得：
，故曲线的极坐标方程为.
由得，
将代入得，故曲线的直角坐标方程为.
（2）设点、的极坐标分别为，，
将 分别代入曲线、极坐标方程得：，，
则 ，其
中为锐角，且满足，，当时，取最大值，
此时，
【点睛】
这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些.
21、（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析．
【解析】
（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望．
【详解】
（Ⅰ）因为物理原始成绩，
所以
．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．
（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．
所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，
所以 ，
，
，
．
所以的分布列为
所以数学期望．
【点睛】
（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．
（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．
22、（1）1（2）1
【解析】
分析：（1）当时可得，可得.（2）先得到关系式，累乘可得，从而可得，即为定值．
详解：（1）当时，，
又，
所以.
（2）



即，
由累乘可得，
又，
所以．
即恒为定值1．
点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误．
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
月养殖量/千只3
3
4
5
6
7
9
10
12
月利润/十万元
3.6
4.1
4.4
5.2
6.2
7.5
7.9
9.1
生猪死亡数/只
29
37
49
53
77
98
126
145
0
1
2
3