湖北省十堰市普通高中联合体2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省十堰市普通高中联合体2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析），共37页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用诱导公式和两角差的正弦公式计算得到答案.
【详解】
.
故选：C.
2. 与向量 反向的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【详解】 ，则与 反向的单位向量为 ．
3. 下列函数中，图像关于原点对称的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐项判断函数的奇偶性，即可得解.
【详解】因为 的定义域为 ，且 ，为偶函数，故 A 错误；
因为 ，所以函数为非奇非偶函数，故 B 错误；
因为 的定义域为 ，且 ，函数为奇函数，故 C 正确；
因为 的定义域为 ，且 ，函数为偶函数，故 D 错误.
4. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用 可得 的值，代入到 中利用诱导公式求解即可．
【详解】由 可知 ，
所以 ，
所以 ．
5. 如图所示，三个边长为 5 的正方形相连，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】根据图形得到 ， ，再由 即可求出答案.
【详解】由图可知， ， ，
所以 .
6. 粒子 A，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 ， ，则 在
上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】 ， ，
， ，
在 上的投影向量为： .
7. 若 在 是减函数，则 的最大值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为 ，
所以由 得
因此 ，从而 的最大值为 ，故选：A.
8. 如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数 的图形，已知 是平面四边形
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内一点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由数量积的几何意义，先求 在 上的投影的取值范围，再乘以 ，则可得到 的取
值范围.
【详解】如图，延长 ，过点 做 交 的延长线于点 .
因为 ， ， ,所以 .
由图可知当 在 点处时， 在 上的投影有最大值 1，
当 在 点处时， 在 上的投影有最小值 ，
又因为 ，所以 的取值范围是 .
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分
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9. 已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 必为钝角 B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【详解】由 平方可得： ，
所以 ，结合 ，
则 ，故 正确，
，故 错误；
又因为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，解得： ，
所以 ，故 正确；
因为 ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 ，
则 ，故 正确.
10. 已知点 在以 为直径的圆上运动，且 ，动点 M 为平面 内一点，且 ，则
下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为 1 B. 的最小值为
C. 的最大值为 2 D. 的最大值为 8
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【答案】AB
【解析】
【分析】对于 AC，结合点 和点 的轨迹及 即可判断；对于 BD，根据向量的数量积公
式，分析 的最小值及最大值即可．
【详解】对于 AC，设 AB 中点为 ，因为 ， ，
且 ，所以 ，
所以 ，由题意可知 ，因为 ，
所以 ，
即 ，
当 ，即 、 同向时 取得最小值 1，
当 ，即 、 反向时 取得最大值 3，
故 A 正确，C 错误；
对于 BD， ，
因为 ，即 ，
所以当 ，即 、 反向时， 取得最小值 ，
当 ，即 、 同向时， 取得最大值 ，
所以 ，
由图可知，当 、 、 三点共线且 、 在 的两侧时，
取得最大值为 ，
所以 ，即最小值为 ，此时 、 在 的两侧时，
且 、 反向，并有 C、B 两点重合，
，即最大值为 ，此时 、 在 的两侧时，
且 、 同向，并有 C、A 两点重合，
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故 B 正确，D 错误．
11. 已知 ，下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， 最小正周期为 B. 当 时， 图象关于 对称
C. 当 时， 最小值为 D. 当 时， 是偶函数
【答案】CD
【解析】
【分析】对于 AC，把对应的 值代入 的解析式，化简整理成正弦型三角函数，再去求最小正周期、
最小值；对于 BD，依据定义去判断奇偶性、点对称问题即可．
【详解】对于 A，当 时，
，
最小正周期是 ，故 A 错误；
对于 B，当 时， ，
，
而 ，故 B 错误；
对于 C，当 时，
，
所以 的最小值是 ，故 C 正确；
对于 D，当 时， ，
，故 D 正确．
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 三角求值： ______.
【答案】
【解析】
【详解】 .
13. 已知单位向量 ， ，若不存在实数 ，使得 成立，则向量 ， 的夹角的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量数量积与模长的关系，结合一元二次不等式恒成立的解法计算即可.
【详解】设向量 ， 的夹角为 ，不存在实数 ，使得 成立，
等价于 对 恒成立，所以 ，
则 ，即 恒成立.
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
故 ， 的夹角的取值范围是 .
14. 已知函数 ，向量 是平面内三个不同的单位向量，其中向量 相互垂直，
且满足 ，则 的最大值是____.
【答案】
【解析】
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【分析】设出向量 的坐标，并由已知判断出 分别与 的夹角范围，从而求解.
【详解】∵ ，∴ ，
故 ，所以 ，
即 ， .
由题不妨可设 ， ， ，
由 ， 知 ,
由 可得 ，
同理可得 ，可得 ，所以 ，
所以 ，
而 ，当 时， 的最大值是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平行四边形 中， ．
（1）用向量 ， 表示 ， ；
（2）若 ，且 A，E，F 三点共线，求 x 的值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【小问 1 详解】
由平行四边形 ，可得 ，
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∵ ，∴ ，
∴ ，即 ．
【小问 2 详解】
由题意知， ，
∴ ， ，
解得 ．
16. 函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）将该函数的图象向左平移 个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来 2 倍，得
到函数 的图象，若方程 在区间 上有解，求 m 的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问 1 详解】
由函数 的图象，得 ，
的最小正周期 ，由 ， ，
得 ，
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由 ，得 ，而 ，则 ，
所以函数 的解析式为 ．
【小问 2 详解】
将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得 ，
再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得 ，
由已知方程 在区间 上有解，
故方程 在区间 上有解，
因为 ，所以 ，
所以 m 的范围为 ．
17. 如图，有一块矩形铁皮 ，其中 米， 米，其中， 是一个大于等于 4 的常数.阴影
部分 是一个半径为 3 米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被
腐 蚀 的 部 分 截 下 一 块 其 边 落 在 与 上 的 矩 形 铁 皮 ， 使 点 P 在 弧 上 .设
，矩形 的面积为 S 平方米.
（1）求 S 关于 的函数表达式；
（2）当 时，求 S 的最小值，并求出当 S 取得最小值时，所对应的 的值.
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【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）过 P 作 ，垂足为 E，得 ， ，应用矩形面积公式即可
得关系式；
（2）由题设 ，令 ，进而得到
，结合二次函数的性质求最值，且可得 值.
【小问 1 详解】
过 P 作 ，垂足为 E，由题意得： ， ，
故 ， .
所以矩形 的面积 ， .
【小问 2 详解】
由（1）及题设知 ，
故 ，
令 ， ，
所以 ，且 ， ，
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在区间 上严格递减，在区间 上严格递增，
当 ，即 时，S 取得最小值 .
此时 ，则 ，故 .
18. 如图，已知 满足 ， ， 、 、 是线段 上的分点，
且满足 .
（1）判断 的形状；
（2）当 时，求 的值；
（3）当 时，若 为线段 上的动点，求 的最小值，并指出当 取最小值时点 的位
置.
【答案】（1）等边三角形
（2）
（3）最小值 ，
【解析】
【分析】（1）根据数量积求出 后可判断三角形形状；
（2）结合向量的线性运算可得 ，故可求向量和的模；
（3）设 ，利用向量的线性运算结合二次函数的性质可求 的最小值.
【小问 1 详解】
， ，
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则 ，即 ，
故 为等边三角形.
【小问 2 详解】
当 时， 、 为边 的三等分点，
设 为 中点，且 ，
所以 ，
故 .
【小问 3 详解】
设 ，
当 时， 、 、 为边 的四等分点，
，
设 ，其中 ，则 ，
，
所以
，
当且仅当 即 时， 取最小值 .
19. 已知函数 .
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（1）求 的图象的对称中心坐标；
（2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）设 ，方程 在区间 上的根从小到大依次为 ，求
的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）化简 ，令 ，即可求出 的图象的对称中心坐标；
（2）先求出 ，代入不等式化简令 可得 ，根据 的
单调性求出 的最大值，即可得出答案.
（3）根据正弦函数的对称轴计算求值.
【小问 1 详解】
.
令 ，故对称中心坐标为 .
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【小问 2 详解】
因为 ，
，
又因为已知 对 恒成立，
所以 ，故 ，
令 ，当 时， ，
不等式变为： ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ， 在该区间单调递减，
故最大值在 时取得： .
故实数 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
令
因为方程 ，所以 .
因为 的对称轴方程为： ，
则 ，因为 ，
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所以 在 有四条对称轴，分别为 ，
∵ ，∴ 共有 4 个解.
其中 关于 对称， 关于 对称， 关于 对称，
∴ .
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