2025年那曲地区嘉黎县高考数学必刷试卷含解析

这是一份2025年那曲地区嘉黎县高考数学必刷试卷含解析，共13页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，某市政府决定派遣名干部种，函数等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．D．
5．某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种
A．B．C．D．
6．已知等差数列的前13项和为52，则（ ）
A．256B．-256C．32D．-32
7．已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．函数（， ， ）的部分图象如图所示，则的值分别为（ ）
A．2，0B．2， C．2， D．2，
9．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）
A．PA，PB，PC两两垂直B．三棱锥P-ABC的体积为
C．D．三棱锥P-ABC的侧面积为
10．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．若函数在时取得最小值，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，满足不等式组，则的取值范围为________．
14．平行四边形中，，为边上一点（不与重合），将平行四边形沿折起，使五点均在一个球面上，当四棱锥体积最大时，球的表面积为________.
15．已知函数，若在定义域内恒有，则实数的取值范围是__________．
16．如图，某市一学校位于该市火车站北偏东方向，且，已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧都是学校道路，其中，，以学校为圆心，半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济，其中分别在公路上，且与圆弧相切，设，的面积为.
（1）求关于的函数解析式；
（2）当为何值时，面积为最小，政府投资最低？
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）求证：当时，；
（2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值.
18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，）．以坐标原点 为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（l）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
（2）若直线与曲线C相交于A，B两点，且．求直线 的方程．
19．（12分）已知数列为公差为d的等差数列，，，且，，依次成等比数列，.
（1）求数列的前n项和；
（2）若，求数列的前n项和为.
20．（12分）已知函数.
（1）若函数，试讨论的单调性；
（2）若，，求的取值范围.
21．（12分）已知函数
（1）求单调区间和极值；
（2）若存在实数，使得，求证：
22．（10分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.当与连线的斜率为时，直线的倾斜角为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是以为直径的圆上的任意一点，求证：
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.
【详解】
双曲线与互为共轭双曲线，
四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，
四个顶点形成的四边形的面积，
四个焦点连线形成的四边形的面积，
所以，
当取得最大值时有，，离心率，
故选：D.
该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.
2．B
【解析】
根据函数的奇偶性及题设中关于与关系，转换成关于的关系式，通过变形求解出的周期，进而算出.
【详解】
为上的奇函数，
，
而函数是上的偶函数，，
，
故为周期函数，且周期为
故选：B
本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.
3．B
【解析】
直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.
【详解】
依题意，， 而， 即， 解得， 则.
故选：B.
本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
4．D
【解析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.
【详解】
依题意，，故，故，故，故选：D．
本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
5．C
【解析】
在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.
【详解】
两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，
又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为.
故选：C.
本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.
6．A
【解析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.
【详解】
由，，得.选A.
本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.
7．D
【解析】
设，，作为一个基底，表示向量，，，然后再用数量积公式求解.
【详解】
设，，
所以，，，
所以.
故选：D
本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．D
【解析】
由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案
【详解】
由函数图象可知：
，
函数的图象过点
，
，则
故选
本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果
9．C
【解析】
根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.
【详解】
解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，
其中D为AB的中点，底面ABC.
所以三棱锥P-ABC的体积为，
，，，
，、不可能垂直，
即不可能两两垂直，
，.
三棱锥P-ABC的侧面积为.
故正确的为C.
故选：C.
本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.
10．C
【解析】
方法一：设，利用抛物线的定义判断出是的中点，结合等腰三角形的性质求得点的横坐标，根据抛物线的定义求得，进而求得.
方法二：设出两点的横坐标，由抛物线的定义，结合求得的关系式，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得，进而求得.
【详解】
方法一：由题意得抛物线的准线方程为，直线恒过定点，过分别作于，于，连接，由，则，所以点为的中点，又点是的中点，
则，所以，又
所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为，
所以，所以．
方法二：抛物线的准线方程为，直线
由题意设两点横坐标分别为，
则由抛物线定义得
又 ①
②
由①②得.
故选：C
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.
11．D
【解析】
利用辅助角公式化简的解析式，再根据正弦函数的最值，求得在函数取得最小值时的值．
【详解】
解：，其中，，，
故当，即时，函数取最小值，
所以，
故选：D
本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．
12．A
【解析】
结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断．
【详解】
图象上相邻两个极值点，满足，
即，
，，且，
，，
，，，
当时，为函数的一个极小值点，而．
故选：．
本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，即，所以由图可知的取值范围为．
14．
【解析】
依题意可得、、、四点共圆，即可得到，从而得到三角形为正三角形，利用余弦定理可得，且，要使四棱锥体积最大，当且仅当面面时体积取得最大值，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再又可证面，则外接球的半径，即可求出球的表面积；
【详解】
解：依题意可得、、、四点共圆，
所以
因为，
所以，，
所以三角形为正三角形，则，，
利用余弦定理得
即，解得，则
所以，
当面面时，取得最大，
所以的外接圆的半径，
又面面，，且面面， 面
所以面，
所以外接球的半径
所以
故答案为：
本题考查多面体的外接球的相关计算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.
15．
【解析】
根据指数函数与对数函数图象可将原题转化为恒成立问题，凑而可知的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定的取值范围.
【详解】
由指数函数与对数函数图象可知：，
恒成立可转化为恒成立，即恒成立，，即是夹在函数与的图象之间，
的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.
设过原点且与相切的直线与函数相切于点，
则切线斜率，解得：；
设过原点且与相切的直线与函数相切于点，
则切线斜率，解得：；
当时，，又，满足题意；
综上所述：实数的取值范围为.
本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.
16．（1）；（2）.
【解析】
（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，，进而表示直线的方程，由直线与圆相切构建关系化简整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面积公式表示面积即可；
（2）令，则，由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围，进而对原面积的函数用含t的表达式换元，再令进行换元，并构建新的函数，由二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
解：（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，.
所以直线的方程为，即.
因为直线与圆相切，
所以.
因为点在直线的上方，
所以，
所以式可化为，解得.
所以，.
所以面积为.
（2）令，则，
且，
所以，.
令，，所以在上单调递减.
所以，当，即时，取得最大值，取最小值.
答：当时，面积为最小，政府投资最低.
本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）不等式等价于，设，利用导数可证恒成立，从而原不等式成立.
（2）由题设条件可得在上有两个不同零点，且，利用导数讨论的单调性后可得其最小值，结合前述的集合的包含关系可得的取值范围.
【详解】
（1）设，则，
当时，由，所以在上是减函数，
所以，故.
因为，所以，所以当时，.
（2）由（1）当时，；
任意，存在和使成立，
所以在上有两个不同零点，且，
（1）当时，在上为减函数，不合题意；
（2）当时，，
由题意知在上不单调，
所以，即，
当时，，时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，解得，
因为，所以成立，
下面证明存在，使得，
取，先证明，即证，
令，则在时恒成立，
所以成立，
因为，
所以时命题成立.
因为，所以.
故实数的最小值为.
本题考查导数在不等式恒成立、等式能成立中的应用，前者注意将欲证不等式合理变形，转化为容易证明的新不等式，后者需根据等式能成立的特点确定出函数应该具有的性质，再利用导数研究该性质，本题属于难题.
18． (1)见解析(2)
【解析】
（1）将消去参数t可得直线的普通方程，利用x=ρcsθ， 可将极坐标方程转为直角坐标方程．（2）利用直线被圆截得的弦长公式计算可得答案．
【详解】
（1）由消去参数t得（），
由得曲线C的直角坐标方程为：
（2）由得，圆心为（1，0），半径为2，
圆心到直线的距离为，
∴，即，整理得
，∵，∴，，，
所以直线l的方程为：．
本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查分析能力与计算能力，属于基础题．
19．（1）（2）
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差，从而求出，再利用等比数列的前项和公式即可求解.
（2）由（1）求出，再利用裂项求和法即可求解.
【详解】
（1），且，，依次成等比数列，，
即：，，，
，，
；
（2），
.
本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.
20．（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】
（1）由于函数，得出，分类讨论当和时，的正负，进而得出的单调性；
（2）求出，令，得，设，通过导函数，可得出在上的单调性和值域，再分类讨论和时，的单调性，再结合，恒成立，即可求出的取值范围.
【详解】
解：（1）因为，
所以，
①当时，，在上单调递减.
②当时，令，则；令，则，
所以在单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，可知，
，
令，得.
设，则.
当时，，在上单调递增，
所以在上的值域是，即.
当时，没有实根，且，
在上单调递减，，符合题意.
当时，，
所以有唯一实根，
当时，，在上单调递增，，不符合题意.
综上，，即的取值范围为.
本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.
21．（1）时，函数单调递增，，函数单调递减，；（2）见解析
【解析】
（1）求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值；
（2）易得且，要证明，即证，即证，即对恒成立，构造函数
，，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；
【详解】
解：（1）因为定义域为，
所以，
时，，即在和上单调递增，当时，，即函数在单调递减，
所以在处取得极小值，在处取得极大值；
，；
（2）易得，
要证明，即证，即证
即证对恒成立，
令，，
则
令，解得，即在上单调递增；
令，解得，即在上单调递减；
则在取得极小值，也就是最小值，
从而结论得证.
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
22．（1）；（2）详见解析.
【解析】
（1）由短轴长可知，设，，由设而不求法作差即可求得，将相应值代入即求得，椭圆方程可求；
（2）考虑特殊位置，即直线与轴垂直时候，成立，当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到与的关系，将表示出来，结合基本不等式求最值，证明最后的结果
【详解】
解：（1）由已知，得
由，两式相减，得
根据已知条件有，
当时，
∴，即
∴椭圆的标准方程为
（2）当直线斜率不存在时，，不等式成立.
当直线斜率存在时，设
由得
∴，
∴
由
化简，得
∴
令，则
当且仅当时取等号
∴
∵
∴
当且仅当时取等号
综上，
本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题