2025年广西壮族南宁市青秀区高考数学必刷试卷含解析

这是一份2025年广西壮族南宁市青秀区高考数学必刷试卷含解析，共5页。试卷主要包含了已知命题，设、，数列满足，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知是虚数单位，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
4．等差数列中，，，则数列前6项和为（）
A．18B．24C．36D．72
5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为，若F到直线的距离为，则E的离心率为( )
A．B．C．D．
6．已知函数，且)，则“在上是单调函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：函数的最小值为4. 给出下列命题：①；②；③；④，其中真命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
8．已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
9．设、，数列满足，，，则（ ）
A．对于任意，都存在实数，使得恒成立
B．对于任意，都存在实数，使得恒成立
C．对于任意，都存在实数，使得恒成立
D．对于任意，都存在实数，使得恒成立
10．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则( )
A．，b为任意非零实数B．，a为任意非零实数
C．a、b均为任意实数D．不存在满足条件的实数a，b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．三棱柱中， ，侧棱底面，且三棱柱的侧面积为.若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为_____．
14．已知双曲线的一条渐近线方程为，则________．
15．已知关于空间两条不同直线m、n，两个不同平面、，有下列四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若，且，则.其中正确命题的序号为______.
16．设实数，满足，则的最大值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）时，若，，求证：．
18．（12分）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）设点，动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，且直线与轴交于点，设，，求证：为定值.
20．（12分）如图，在正四棱柱中，，，过顶点，的平面与棱，分别交于，两点（不在棱的端点处）.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：与不垂直；
（3）若平面与棱所在直线交于点，当四边形为菱形时，求长.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．
22．（10分）已知函数，设的最小值为m.
（1）求m的值；
（2）是否存在实数a，b，使得，？并说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据题意，设点在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.
【详解】
由题意，设点在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为，
所以，，
又以为直径的圆经过点，则，即，解得，，
所以，，即，即，
所以，双曲线的离心率为.
故选：B.
本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出与的关系，属于基础题.
2．A
【解析】
双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，
不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），
与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），
∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，
∴＞3，即b1＞3a1，
∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．
则e=＞1．
∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．
故选：A．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
3．A
【解析】
直接将两边同时乘以求出复数，再求其模即可.
【详解】
解：将两边同时乘以，得
故选：A
考查复数的运算及其模的求法，是基础题.
4．C
【解析】
由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式可得结果.
【详解】
∵等差数列中，，∴，即，
∴，
故选C.
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用，属于基础题.
5．A
【解析】
由已知可得到直线的倾斜角为，有，再利用即可解决.
【详解】
由F到直线的距离为，得直线的倾斜角为，所以，
即，解得.
故选：A.
本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于的方程或不等式，本题是一道容易题.
6．C
【解析】
先求出复合函数在上是单调函数的充要条件，再看其和的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案.
【详解】
，且)，
由得或，
即的定义域为或，（且）
令，其在单调递减，单调递增，
在上是单调函数，其充要条件为
即.
故选：C.
本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.
7．A
【解析】
先由两直线垂直的条件判断出命题p的真假，由基本不等式判断命题q的真假，从而得出p,q的非命题的真假，继而判断复合命题的真假，可得出选项.
【详解】
已知对于命题，由得，所以命题为假命题；
关于命题，函数，
当时，，当即时，取等号，
当时，函数没有最小值，
所以命题为假命题.
所以和是真命题，
所以为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，所以真命题的个数为1个.
故选：A.
本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的条件，属于基础题.
8．B
【解析】
试题分析：由题意得，，所以，，所求双曲线方程为．
考点：双曲线方程.
9．D
【解析】
取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案.
【详解】
取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；
由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，
因为当时，数列单调递增，则；
当时，数列单调递减，则；
所以要使，只需要，故，化简得且.
故选：D．
本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．
10．A
【解析】
将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．
【详解】
解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，
∵四面体所有棱长都是4，
∴正方体的棱长为，
设球的半径为，
则，解得，
所以，
故选：A．
本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．
11．D
【解析】
根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.
【详解】
因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,
由,解得,即,所以,
所以.
故选：D
本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.
12．A
【解析】
求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数.
【详解】
依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有
，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数.
故选：A
本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
分析题意可知，三棱柱为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心，
设棱柱的底面边长为，高为，则三棱柱的侧面积为，球的半径表示为，再由重要不等式即可得球表面积的最小值
【详解】
如下图，
∵三棱柱为正三棱柱
∴设，
∴三棱柱的侧面积为
∴
又外接球半径
∴外接球表面积.
故答案为：

考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题
14．
【解析】
根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数的值.
【详解】
双曲线的渐近线方程为，
由于该双曲线的一条渐近线方程为，，解得.
故答案为：.
本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.
15．③④
【解析】
由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断．
【详解】
①若且，的位置关系是平行、相交或异面，①错；
②若且，则或者，②错；
③若，设过的平面与交于直线，则，又，则，∴，③正确；
④若，且，由线面垂直的定义知，④正确．
故答案为：③④．
本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础．
16．1
【解析】
根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解．
【详解】
作出实数，满足表示的平面区域，如图所示：
由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越小，越大.
由可得，此时最大为1，
故答案为：1．
本题主要考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）首先对函数求导，再根据参数的取值，讨论的正负，即可求出关于的单调性即可；
（2）首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函数的单调性证明.
【详解】
（1），令，
则，令得，
当时，则在单调递减，
当时，则在单调递增，
所以，
当时，，即，则在上单调递增，
当时，，
易知当时，，
当时，，
由零点存在性定理知，，不妨设，使得，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以在和上单调递增，在单调递减；
（2）证明：构造函数，，
，，
整理得，
，
（当时等号成立），
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，，
这里不妨设，欲证，
即证由（1）知时，在上单调递增，
则需证，
由已知有，
只需证，
即证，
由在上单调递增，且时，
有，
故成立，从而得证.
本题主要考查了导数含参分类讨论单调性，借助构造函数和单调性证明不等式，属于难题.
18． (1)证明见解析 (2)
【解析】
（1）连接交于点，由三角形中位线定理得，由此能证明平面．
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【详解】
证明：证明：连接交于点，
则为的中点．又是的中点，
连接，则．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）由，可得：，即
所以
又因为直棱柱，所以以点为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，
设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为，
同理可得平面的一个法向量为，
则
所以二面角的余弦值为.
本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
19．（1）；（2）见解析．
【解析】
（1）已知点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，由此可得曲线的方程；
（2）设直线方程为，，则，设，由直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得，，由，，用横坐标表示出，然后计算，并代入，可得结论．
【详解】
（1）设动圆圆心，由抛物线定义知：点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，解得．
∴曲线的方程为；
（2）证明：设直线方程为，，则，设，
由得，①，
则，，②，
由，，得
，，
整理得，，
∴，代入②得：
．
本题考查求曲线方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交问题中的定值问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，直线方程代入抛物线（或圆锥曲线）方程得一元二次方程，应用韦达定理得，，代入题中其他条件所求式子中化简变形．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，所以，同理可证，得证；（2）由四边形是平行四边形，且，则不可能是矩形，所以与不垂直；（3）先证，可得为的中点，从而得出是的中点，可得.
【详解】
（1）依题意都在平面上，
因此平面，平面，
又平面，平面，
平面与平面平行，即两个平面没有交点，
则与不相交，又与共面，
所以，同理可证，
所以四边形是平行四边形；
（2）因为，两点不在棱的端点处，所以，
又四边形是平行四边形，，
则不可能是矩形，所以与不垂直；
（3）如图，延长交的延长线于点，
若四边形为菱形，则，易证，
所以，即为的中点，
因此，且，所以是的中位线，
则是的中点，所以.
本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.
21．（1）；（2）①；②.
【解析】
（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2；
（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域．
【详解】
（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，
又由右准线方程为，得到，
解得，所以
所以，椭圆的方程为
（2）①设，而，则，
∵ ， ∴
因为点都在椭圆上，所以
，将下式两边同时乘以再减去上式，解得，
所以
②由原点到直线的距离为，得，化简得：
联立直线的方程与椭圆的方程：，得
设，则，且
，
所以
的面积
，
因为在为单调减函数，
并且当时，，当时，，
所以的面积的范围为．
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
22．（1）（2）不存在；详见解析
【解析】
（1）将函数去绝对值化为分段函数的形式，从而可求得函数的最小值，进而可得m.
（2）由，利用基本不等式即可求出.
【详解】
（1）
；
（2），
若，同号，，不成立；
或，异号，，不成立；
故不存在实数，，使得，.
本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.