2026届广西桂林“八校”高三考前热身数学试卷含解析

这是一份2026届广西桂林“八校”高三考前热身数学试卷含解析，共15页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知椭圆，已知命题，命题等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．以下关于的命题，正确的是
A．函数在区间上单调递增
B．直线需是函数图象的一条对称轴
C．点是函数图象的一个对称中心
D．将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象
2．已知全集，则集合的子集个数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为( )
A．B．
C．D．
4．在中，，分别为，的中点，为上的任一点，实数，满足，设、、、的面积分别为、、、，记（），则取到最大值时，的值为（ ）
A．－1B．1C．D．
5．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A．B．C．D．
8．把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．给出下列四个命题
①的值域为
②的一个对称轴是
③的一个对称中心是
④存在两条互相垂直的切线
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：对任意都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
10．命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知是函数的极大值点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
12．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题：
①在抛物线上满足条件的点仅有一个；
②若是抛物线准线上一动点，则的最小值为；
③无论过点的直线在什么位置，总有；
④若点在抛物线准线上的射影为，则三点在同一条直线上.
其中所有正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数为偶函数，则 ．
14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学生人数，则对应的排法有______种； ______；
15．已知满足且目标函数的最大值为7，最小值为1，则___________．
16．设为数列的前项和，若，则____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．
18．（12分）设前项积为的数列，（为常数），且是等差数列.
（Ｉ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）设是数列的前项和，且，求的最小值.
19．（12分）已知函数（），是的导数.
（1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点；
（2）已知函数在上单调递减，求的取值范围.
20．（12分）已知矩阵的逆矩阵.若曲线：在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线，求曲线的方程.
21．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）使得，求实数的取值范围.
22．（10分）若,且
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用辅助角公式化简函数得到，再逐项判断正误得到答案.
【详解】
A选项，函数先增后减，错误
B选项，不是函数对称轴，错误
C选项，，不是对称中心，错误
D选项，图象向左平移需个单位得到，正确
故答案选D
【点睛】
本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.
2、C
【解析】
先求B.再求，求得则子集个数可求
【详解】
由题=, 则集合,故其子集个数为
故选C
【点睛】
此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题
3、C
【解析】
根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较.
【详解】
因为，且的图象经过第一、二、四象限，
所以，，
所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
又，，
则|，
即，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.
4、D
【解析】
根据三角形中位线的性质，可得到的距离等于△的边上高的一半，从而得到，由此结合基本不等式求最值，得到当取到最大值时，为的中点，再由平行四边形法则得出，根据平面向量基本定理可求得，从而可求得结果.
【详解】
如图所示：
因为是△的中位线，
所以到的距离等于△的边上高的一半，
所以，
由此可得，
当且仅当时，即为的中点时，等号成立，
所以，
由平行四边形法则可得，，
将以上两式相加可得，
所以，
又已知，
根据平面向量基本定理可得，
从而.
故选：D
【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.
5、B
【解析】
由余弦的二倍角公式化简函数为，要想在括号内构造变为正弦函数，至少需要向左平移个单位长度，即为答案.
【详解】
由题可知，对其向左平移个单位长度后，，其图像关于坐标原点对称
故的最小值为
故选：B
【点睛】
本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.
6、C
【解析】
根据可得四边形为矩形, 设,,根据椭圆的定义以及勾股定理可得,再分析的取值范围,进而求得再求离心率的范围即可.
【详解】
设,,由,,知,
因为,在椭圆上,,
所以四边形为矩形,；
由,可得,
由椭圆的定义可得,①,
平方相减可得②,
由①②得；
令,
令,
所以,
即,
所以,
所以,
所以,
解得.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.
7、C
【解析】
利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果.
【详解】
对于A选项，函数在区间上为增函数；
对于B选项，函数在区间上为增函数；
对于C选项，函数在区间上为减函数；
对于D选项，函数在区间上为增函数.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.
8、C
【解析】
由图象变换的原则可得,由可求得值域；利用代入检验法判断②③；对求导,并得到导函数的值域,即可判断④.
【详解】
由题,,
则向右平移个单位可得,
,的值域为,①错误；
当时,,所以是函数的一条对称轴,②正确；
当时,,所以的一个对称中心是,③正确；
,则,使得,则在和处的切线互相垂直,④正确.
即②③④正确,共3个.
故选:C
【点睛】
本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.
9、A
【解析】
先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.
【详解】
当时，直线和直线，即直线为和直线互相垂直，
所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件，
当直线和直线互相垂直时，，解得.
所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.
：“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件，故是假命题．
当时，没有零点，
所以命题是假命题．
所以是真命题，是假命题，是假命题，是假命题．
故选：．
【点睛】
本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10、A
【解析】
分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.
【详解】
对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题. 、、都是假命题.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.
11、B
【解析】
方法一：令，则，，
当，时，，单调递减，
∴时，，，且，
∴，即在上单调递增，
时，，，且，
∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；
当时，存在使得，即，
又在上单调递减，∴时，，所以，
这与是函数的极大值点矛盾．
综上，．故选B．
方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B．
12、C
【解析】
①：由抛物线的定义可知，从而可求 的坐标；②：做关于准线的对称点为，通过分析可知当三点共线时取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值；③：设出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求，从而可判断出的关系；④：计算直线 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点在同一条直线上.
【详解】
解：对于①，设，由抛物线的方程得，则， 故，
所以或，所以满足条件的点有二个，故①不正确；
对于②，不妨设，则关于准线的对称点为，
故，
当且仅当三点共线时等号成立，故②正确；
对于③，由题意知， ，且的斜率不为0，则设方程为：，
设与抛物线的交点坐标为，联立直线与抛物线的方程为，
，整理得，则，所以
，
则
.故的倾斜角互补，所以，故③正确.
对于④，由题意知 ，由③知，
则 ，由，
知，即三点在同一条直线上，故④正确.
故选:C.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，
．
考点：函数的奇偶性．
【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．
14、36 ；1.
【解析】
的可能取值为0，1，2，3，对应的排法有：.分别求出，，，，由此能求出.
【详解】
解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学生人数，
则的可能取值为0，1，2，3，
对应的排法有：.
∴对应的排法有36种；
，
，
，
，
∴
故答案为：36；1.
【点睛】
本题考查了排列、组合的应用，离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题.
15、-2
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．
【详解】
由题意得：目标函数在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，
∴，，
∴直线AB的方程是：，
∴则，故答案为.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．
16、
【解析】
当时，由，解得，当时，，两式相减可得，即，可得数列是等比数列再求通项公式.
【详解】
当时，，即，
当时，，
两式相减可得，
即，
即，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查数列的前项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）2.
【解析】
（1）利用的最小值为1，可得，，即可求椭圆的方程；
（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得到关于的一元二次方程，由直线与椭圆仅有一个公共点知，即可得到，的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到，．当时，设直线的倾斜角为，则，即可得到四边形面积的表达式，利用基本不等式的性质，结合当时，四边形是矩形，即可得出的最大值．
【详解】
（1）设，则，，
，，
由题意得，，
椭圆的方程为；
（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，
得．
由直线与椭圆仅有一个公共点知，，
化简得：．

设，，
当时，设直线的倾斜角为，
则，
，
，
，
∴当时，，，
．
当时，四边形是矩形，．
所以四边形面积的最大值为2．
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
18、（Ⅰ），；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）当时，由，得到，两边同除以，得到.再根据是等差数列.求解.
（Ⅱ），根据前n项和的定义得到，令，研究其增减性即可.
【详解】
（Ⅰ）当时，，
所以，
即，
所以.
因为是等差数列.，
所以， ，
令，，，
所以，
即；
（Ⅱ），
所以，
，
令，
所以 ，
，
即，
所以数列是递增数列，
所以，
即.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，前n项和以及数列的增减性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设，，注意到在上单增，再利用零点存在性定理即可解决；
（2）函数在上单调递减，则在恒成立，即在上恒成立，构造函数，求导讨论的最值即可.
【详解】
（1）由已知，，所以，
设，，
当时，单调递增，而，，且在上图象连续
不断.所以在上有唯一零点，
当时，；当时，；
∴在单调递减，在单调递增，故在区间上存在唯一的极小
值点，即在区间上存在唯一的极小值点；
（2）设，，，
∴在单调递增，，
即，从而，
因为函数在上单调递减，
∴在上恒成立，
令，
∵，
∴，
在上单调递减，，
当时，，则在上单调递减，，符合题意.
当时，在上单调递减，
所以一定存在，
当时，，在上单调递增，
与题意不符，舍去.
综上，的取值范围是
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.
20、
【解析】
根据，可解得，设为曲线任一点，在矩阵对应的变换作用下得到点，则点在曲线上，根据变换的定义写出相应的矩阵等式，再用表示出，代入曲线的方程中，即得.
【详解】
，，即.
，解得，.
设为曲线任一点，则，
又设在矩阵A变换作用得到点，
则，即，所以即
代入，得，
所以曲线的方程为.
【点睛】
本题考查逆矩阵，矩阵与变换等，是基础题.
21、（1）；（2）或 .
【解析】
（1）分段讨论得出函数的解析式，再分范围解不等式，可得解集；
（2）先求出函数的最小值，再建立关于的不等式，可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为 ，
所以当时，；
当时， 无解；
当时，；
综上，不等式的解集为；
（2），
又，
或 .
【点睛】
本题考查分段函数，绝对值不等式的解法，以及关于函数的存在和任意的问题，属于中档题.
22、（1）；（2）不存在.
【解析】
（1）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在．
【详解】
（1）由，得，且当时取等号．
故，且当时取等号．
所以的最小值为；
（2）由（1）知，．
由于，从而不存在，使得成立．
【考点定位】
基本不等式．