几何轨迹—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题练习（含解析）

这是一份几何轨迹—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题练习（含解析），共5页。试卷主要包含了尺规作图，网格作图，直尺作图，几何轨迹等内容，欢迎下载使用。
1．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AD 是斜边 BC上的中线，过点A作射线AE∥BC.
（1）尺规作图：在射线AE上找一点 F，连结CF，使得CF=BC(不写作法，保留作图痕迹).
（2） 根据(1) 的作法， 若AD=1， 求AF的长.
2．如图，AB是圆的一条弦(不是直径).仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法.
（1）作圆心O和 AB的中点 M.
（2）连结OM，交AB于点 N，若AB=4， ON=3，求⊙O的半径.
3．在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AB的中点，要求用尺规作图的方法在BC上找一点E，连结DE，使得DE=12AB．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）①做法正确的同学有___________；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
4．如图，AC是矩形ABCD的对角线．
（1）用圆规和无刻度的直尺作AC的垂直平分线，分别交BC，AD于点E，F；
（2）在（1）条件下，若CD=3,AD=6，求DF的长．
5．如图，点P是∠ABC平分线上的一点，点M是射线BC上的一点（异于点B），连结MP，
在射线B上用尺规作图的方法找一点N，使△BPN≌△BPM．下面有两种作图方法．
方法1：以B为圆心，BM为半径作弧，交射线BA与N，连结PN，则△BPN≌△BPM．
方法2：以P为圆心，PM为半径作弧，交射线BA与N，连结PN，则△BPN≌△BPM．
（1）请选择你认为正确的方法作出图形，并证明；
（2）直接写出当∠PMB的大小满足什么条件时，两种方法都正确．
6．“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．
（1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“ 连弧纹镜”；
（2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）
7．某公园有一座古塔（如图 1)，数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度.图 2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形.
步骤一：在点 A 处，测得塔尖 C的仰角为37°；
步骤二：从点 A 出发，向前走 15m到达点 B 处.此时在 B处测得塔尖 C的仰角为45°.点 D是塔尖 C在地平线AB上的正投影.
（1）尺规作图：作出表示古塔高度的线段CD，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）根据测量数据，计算古塔的高度.（参考数据： sin37∘≈0.60,cs37∘≈0.80,tan37∘≈0.75)
二、网格作图
8．如图，边长为1的小正方形组成的网格中，已知点A，B在网格的格点上。
（1）在图1中，画一个以AB为边，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形ABCD：
（2）在图2中，画一个以AB为对角线，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形AEBF。
9．如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC.画法1：在AD边上找到格点P，使AP=AB.
画法2：在BC边上找到格点E，使BE=AB，连结AE，找到格点P.
（1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点P，连结BP.
图1
（2）从两种画法中选择一种证明BP平分∠ABC.
图2
10．图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中作一个以AB为腰的等腰△ABC．
（2）在图2中以AB为边画一个平行四边形ABCD．
11．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．
（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为1：2．
（1）请画出△A'B'C'；
（2）若点M（a，b）为AC边上一点，则点M的对应点M'的坐标是 ；
（3）△A'B'C'的面积为 ．
三、直尺作图
13．只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）如图1，已知∠AOB,OA=OB．点E在OB边上，其中四边形AEBF是平行四边形，请你在图中画出∠AOB的平分线．
（2）如图2．已知E是菱形ABCD中AB边上的中点，请作出AD边上的中点F．
14．如图，在⊙O上有A，B，C三点，∠A=70°，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．
（1）请在图中作一个110°的圆周角，记为∠1．
（2）请在图中作一个40°的圆心角，记为∠2．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且AE=CF，连结EF，请仅用无刻度的直尺画出线段EF的中点O，并说明这样画的理由．
16．作图题：⊙O上有三个点A，B，C，∠ABC=50°，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出符合要求的角．
（1）在图1中作一个100°的角；
（2）在图2中作一个130°的角；
（3）在图3中作一个40°的角．
17．如图，是一正六边形ABCDEF，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作一个以BD为对角线的平行四边形；
（2）在图2中，作出△ABD中AB边上的中线DM．
18．数学课上，老师提出：仅用用无刻度的直尺作图.
（1） 如图， 点A、B、C在⊙O上，
①在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；
②在图②中，画一个与∠B互余的圆周角.
（2） 在图③中， △ABC是⊙O的内接三角形， OD⊥BC于点 D. 画出 ∠BAC的平分线.
四、几何轨迹
19．2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是（ ）
A．线动成面B．面动成体C．点动成线D．以上都不对
20．综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（ ）
A．B．
C．D．
21．在平面直角坐标系xOy中，若点A(0,2)绕原点O顺时针旋转60°得到点A'．则点A运动到A'的轨迹的长度为 ．
22．如图，在正方形ABCD中，E是正方形内部一动点，∠AEB=90°，请画出点E的运动轨迹.
【思路引导】定弦为 ，定角为 ，画出点 E 的运动轨迹.
23．如图，小球起始时位于 （3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线 l 对称的点.如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹.
24．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一动点，将 △AEF沿EF所在直线折叠得到 △A'EF,请你在图中画出点.A'的运动轨迹.
【思路引导】定点(圆心)是 ，定长(半径)是 ，点F从A运动到D的过程中，A'的起点位置是 ，当F在 位置时，A'到达终点，画出点A'的运动轨迹.A'
答案解析部分
1．【答案】（1）解：图1即为所作图形.
（2）解：如图2，作CH⊥AF于点 H.
∵△ABC 是等腰直角三角形， AD是中线， AD=1，
∴∠ACB=45°， AD⊥BC， BC=2AD=2.
∵AE∥BC，
∴CH=AD=1.
∵∠FAC=∠ACB=45°，
∴AH=CH=1.
∵CF=BC=2,∴FH=22−12=3,
∴AF=FH+AH=3+1.
【解析】【分析】（1）以点C为圆心，BC长为半径画弧交AE与点F，连接CF，则CF即为所求．
（2）作CH⊥AF于点H．根据等腰直角三角形的性质得出∠ACB=45°，AD⊥BC ，BC=2AD=2．即可得到△AHC是等腰直角三角形，求出AH=1，再在Rt△CHF中根据勾股定理求出HF，最后根据线段的和差解答即可．
2．【答案】（1）解：如图，点O和点M即为所求，
（2）解：如图，连接OA，
由（1）可知，点M是AB的中点，
∴OM⊥AB，
∴AN=BN=12AB=2，
在Rt△OAN中，OA=AN2+ON2=22+32=13．
【解析】【分析】（1）在圆弧上再取一点C，连接AC，作弦AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为圆心，AB的垂直平分线与AB的交点即为中点M；
（2）连接OA，根据垂径定理的逆定理可得OM⊥AB，AN=BN=12AB=2，然后在Rt△AON中根据勾股定理求出圆的半径即可．
3．【答案】（1）①甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知AE平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
又∵点D为AB的中点，
∴DE=12AB；
方法二：由图可知AE平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴AE为BC边上的中线，即点E为BC的中点，
又∵点D为AB的中点，
∴DE是ABC的中位线，
∴DE=12AC，
∴DE=12AB；
丙的做法证明如下：
方法一：连结BF，CF由图可知BF=CF，
∴点F在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AE是BC的垂直平分线，
∴∠AEB=90°，
又∵点D为AB的中点，
∴DE=12AB；
方法二：连结BF,CF由图可知BF=CF，
∴点F在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AE是BC的垂直平分线，即点E为BC的中点，
又∵点D为AB的中点，
∴DE是ABC的中位线，
∴DE=12AC，
∴DE=12AB．
（2）解：如图，以点D为圆心AB为直径画圆，交BC于点E，
则DE=BD=AD=12AB=12AC．
其他做法酌情给分
【解析】【解答】
解：（1）①做法正确的同学有甲、丙；
【分析】
本题是尺规作图与几何证明的综合题，融合了等腰三角形的性质、直接三角形斜边中线定理、三角形中位线定理等多个核心知识点.
（1）需结合作图痕迹，分析甲乙丙三位同学的做法是否符合DE=12AB的要求，再选择正确做法，利用等腰三角形性质、直角三角形斜边中线定理或中位线定理完成证明；
（2）需根据几何原理，设计不同于三位同学的尺规作图方案，解题的关键是熟练掌握相关几何定理，能将作图痕迹与几何性质对应起来.
（1）解：①做法正确的同学有甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知AE平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
又∵点D为AB的中点，
∴DE=12AB；
方法二：由图可知AE平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴AE为BC边上的中线，即点E为BC的中点，
又∵点D为AB的中点，
∴DE是ABC的中位线，
∴DE=12AC，
∴DE=12AB；
丙的做法证明如下：
方法一：连结BF，CF由图可知BF=CF，
∴点F在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AE是BC的垂直平分线，
∴∠AEB=90°，
又∵点D为AB的中点，
∴DE=12AB；
方法二：连结BF,CF由图可知BF=CF，
∴点F在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AE是BC的垂直平分线，即点E为BC的中点，
又∵点D为AB的中点，
∴DE是ABC的中位线，
∴DE=12AC，
∴DE=12AB．
（2）解：如图，以点D为圆心AB为直径画圆，交BC于点E，
则DE=BD=AD=12AB=12AC．
其他做法酌情给分
4．【答案】（1）解：EF即为所求.
（2）解：∵四边形ABCD为矩形ABCD，
∴∠D=90°，
∵CD=3,AD=6，
∴AC=AD2+CD2=32+62=35，
∴cs∠DAC=ADAC=635=255，
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC=12AC=352，∠AOF=90°，
∴AF=OAcs∠DAC=352×356=154，
∴DF=AD−AF=6−154=94．
【解析】【分析】（1）分别以A,C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，连接两弧交点形成的直线，即为所求；
（2）根据勾股定理先求出AC的长，再根据余弦值求出AF的长，进而得出答案．
（1）解：如图，EF即为所求；
（2）∵矩形ABCD，
∴∠D=90°，
∵CD=3,AD=6，
∴AC=32+62=35，
∴cs∠DAC=ADAC=635=255，
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC=12AC=352，
∴AF=OAcs∠DAC=352×356=154，
∴DF=AD−AF=6−154=94．
5．【答案】（1）解：方法一正确，画图如图所示
证明：∵BP平分∠ABC，
∴∠NBP=∠MBP，
在△BPN和△BPM中
∵BM=BN（由作图可得）∠NBP=∠MBP（已证）BP=BP（公共边），
∴△BPN≌△BPMSAS.
（2）∠PMB=90°或∠PMB