2026届广西南宁三中、柳铁一中等重点中学高考压轴卷数学试卷含解析

这是一份2026届广西南宁三中、柳铁一中等重点中学高考压轴卷数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知，，，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A．B．
C．D．
3．是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
4．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为等差数列的公差，且，若，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．若双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．6D．8
11．函数（且）的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
12．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ）
A．斤B． 斤C．斤D．斤
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB＝BC，则实数t的值为_________．
14．定义在R上的函数满足：①对任意的，都有；②当时，，则函数的解析式可以是______________.
15．若，i为虚数单位，则正实数的值为______.
16．已知数列满足,且,则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线与直线的直角坐标方程；
（2）若曲线与直线交于两点，求的值.
18．（12分）第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中．为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取户居民进行调查，得到如下的列联表．
已知在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；
（2）已知在试点前分类意识强的户居民中，有户自觉垃圾分类在年以上，现在从试点前分类意识强的户居民中，随机选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，求分布列及数学期望．
参考公式：，其中．
下面的临界值表仅供参考
19．（12分）已知函数有两个极值点，.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.
20．（12分）平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，点．
（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于点，曲线与曲线交于点，求的面积．
21．（12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：.
22．（10分）若,且
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.
【详解】
如图所示：
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以渐近线方程为.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.
2、D
【解析】
根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.
【详解】
设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．
【点睛】
本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
3、B
【解析】
解出，计算并化简可得出结论．
【详解】
λ（），
∴，
∴，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．
故选B．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算是关键．
4、A
【解析】
设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，分别计算出，再利用公式计算即可.
【详解】
设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上
的双曲线”，由题意，，，则所求的概率为
.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.
5、D
【解析】
由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件，求得，从而求得，解不等式求得结果.
【详解】
由题意，本题符合几何概型，区间长度为6，
使得成立的的范围为，区间长度为2，
故使得成立的概率为，
又，，，
令，则有，故的最小值为11，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.
6、D
【解析】
由，可求出等比数列的通项公式，进而可知当时，；当时，，从而可知的最小值为，求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，则，
由题意得，，得，解得，
得.
当时，；当时，，
则的最小值为.
故选：D.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
7、A
【解析】
根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.
【详解】
因为，
所以.
因为，
所以，
因为，为增函数，
所以
所以，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.
8、B
【解析】
设，，，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.
【详解】
设棱长为1，，，
由题意得：，，
，
又
即异面直线与所成角的余弦值为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
9、B
【解析】
根据题意，设点在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.
【详解】
由题意，设点在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为，
所以，，
又以为直径的圆经过点，则，即，解得，，
所以，，即，即，
所以，双曲线的离心率为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出与的关系，属于基础题.
10、A
【解析】
依题意可得，再根据离心率求出，即可求出，从而得解；
【详解】
解：∵双曲线的离心率为，
所以，∴，∴，双曲线的焦距为.
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
11、D
【解析】
因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
12、B
【解析】
依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，则，由此利用等差数列性质求出结果．
【详解】
设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，.
故选B
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由是偶函数可得时恒有，根据该恒等式即可求得，，的值，从而得到，令，可解得，，三点的横坐标，根据可列关于的方程，解出即可．
【详解】
解：因为是偶函数，所以时恒有，即，
所以，
所以，解得，，；
所以；
由，即，解得；
故，．
由，即，解得．
故，．
因为，所以，即，解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题．
14、（或，答案不唯一）
【解析】
由可得是奇函数，再由时，可得到满足条件的奇函数非常多，属于开放性试题.
【详解】
在中，令，得；令，
则，故是奇函数，由时，，
知或等，答案不唯一.
故答案为：（或，答案不唯一）.
【点睛】
本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.
15、
【解析】
利用复数模的运算性质，即可得答案．
【详解】
由已知可得：，，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查复数模的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
16、
【解析】
数列满足知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得的值即可.
【详解】
，
数列是以3为公比的等比数列，
又，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）曲线的直角坐标方程为；直线的直角坐标方程为（2）
【解析】
（1）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程，消参法可化参数方程为普通方程；
（2）联立两曲线方程，解方程组得两交点坐标，从而得两点间距离．
【详解】
解：（1）
曲线的直角坐标方程为
直线的直角坐标方程为
（2）据解，得或
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题．
18、（1）有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．见解析（2）分布列见解析，期望为1．
【解析】
（1）由在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为可得列联表，然后计算后可得结论；
（2）由已知的取值分别为，分别计算概率得分布列，由公式计算出期望．
【详解】
解：（1）根据在抽取的户居民中随机抽取户，到分类意识强的概率为，可得分类意识强的有户，故可得列联表如下：
因为的观测值，
所以有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．
（2）现在从试点前分类意识强的户居民中，选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，则0，1，2，3，
故，，
，，
则的分布列为
．
【点睛】
本题考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和数学期望．考查学生的数据处理能力和运算求解能力．
19、（1） （2）证明见解析
【解析】
（1）先求得导函数，根据两个极值点可知有两个不等实根，构造函数，求得；讨论和两种情况，即可确定零点的情况，即可由零点的情况确定的取值范围；
（2）根据极值点定义可知，，代入不等式化简变形后可知只需证明；构造函数，并求得，进而判断的单调区间，由题意可知，并设，构造函数，并求得，即可判断在内的单调性和最值，进而可得，即可由函数性质得，进而由单调性证明
，即证明，从而证明原不等式成立.
【详解】
（1）函数
则，
因为存在两个极值点，，
所以有两个不等实根.
设，所以.
①当时，，
所以在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意.
②当时，令得，
所以，即.
又因为，，
所以在区间和上各有一个零点，符合题意，
综上，实数的取值范围为.
（2）证明：由题意知，，
所以，.
要证明，
只需证明，
只需证明.
因为，，所以.
设，则，
所以在上是增函数，在上是减函数.
因为，
不妨设，
设，，
则，
当时，，，
所以，所以在上是增函数，
所以，
所以，即.
因为，所以，
所以.
因为，，且在上是减函数，
所以，
即，
所以原命题成立，得证.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值点，由导数证明不等式，构造函数法的综合应用，极值点偏移证明不等式成立的应用，是高考的常考点和热点，属于难题.
20、（1）．（2）
【解析】
(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标的几何意义求解，再求点到直线的距离即可算出三角形面积.
【详解】
解：（1）曲线，即．
∴．曲线的极坐标方程为．
直线的极坐标方程为，即，
∴直线的直角坐标方程为．
（2）设，，
∴，解得．
又，∴（舍去）．
∴．
点到直线的距离为，
∴的面积为．
【点睛】
此题考查参数方程，极坐标，直角坐标之间相互转化，注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标，属于较易题目.
21、 (1)无关；(2) ，.
【解析】
(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而可得列联表如下：
将22列联表中的数据代入公式计算，得
.
因为3.030