2026届广西南宁三中、柳铁一中等重点中学高考数学一模试卷含解析

这是一份2026届广西南宁三中、柳铁一中等重点中学高考数学一模试卷含解析，共19页。试卷主要包含了在声学中，声强级，设函数，则，的大致图象大致是的，已知集合，集合，则，在中，为中点，且，若，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（ ）
A．B．C．D．
2．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ）
A．2阶区间B．3阶区间C．4阶区间D．5阶区间
3．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ）
A．B．C．D．
5．设函数，则，的大致图象大致是的( )
A．B．
C．D．
6．已知向量，，且与的夹角为，则x=（ ）
A．-2B．2C．1D．-1
7．设向量，满足，，，则的取值范围是
A．B．
C．D．
8．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
9．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
10．在中，为中点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
12．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A．1B．C．3D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合，.若，则实数a的值是______.
14．在平面直角坐标系中，已知圆，圆．直线与圆相切，且与圆相交于，两点，则弦的长为_________
15．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，，，0，2，则该组数据的标准差为_______.
16．设为数列的前项和，若，，且，，则________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数和的图象关于原点对称，且．
（1）解关于的不等式；
（2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（12分）已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。
19．（12分） “绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件为 “选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；
（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望
20．（12分）已知函数.
（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若，求的最大值.
21．（12分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点.
（ⅰ）求面积最大值；
（ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值.
22．（10分）已知椭圆：（），与轴负半轴交于，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：与椭圆交于，两点，连接，并延长交直线于，两点，已知，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解.
【详解】
由题意可知，
框图的作用是求分段函数的值域，
当；
当
综上：.
故选：B
【点睛】
本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
2、D
【解析】
可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解
【详解】
当且时，.令得.可得和的变化情况如下表：
令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.

故选：D
【点睛】
本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题
3、B
【解析】
由题意可知函数为上为减函数，可知函数为减函数，且，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，
因此，实数的取值范围是．
故选：B.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.
4、D
【解析】
由得，分别算出和的值，从而得到的值.
【详解】
∵，
∴，
∴，
当时，，∴，
当时，，∴，
∴，
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查对数运算，属于基础题.
5、B
【解析】
采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.
【详解】
对于选项A:由题意知,函数的定义域为，其关于原点对称，
因为,
所以函数为奇函数,其图象关于原点对称，故选A排除；
对于选项D:因为,故选项D排除;
对于选项C:因为,故选项C排除;
故选:B
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
6、B
【解析】
由题意，代入解方程即可得解.
【详解】
由题意，
所以，且，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.
7、B
【解析】
由模长公式求解即可.
【详解】
，
当时取等号，所以本题答案为B.
【点睛】
本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.
8、D
【解析】
可求出集合，，然后进行并集的运算即可．
【详解】
解：，；
．
故选．
【点睛】
考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．
9、B
【解析】
根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，
所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，
又，所以，所以，
令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．
【点睛】
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
10、B
【解析】
选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果.
【详解】
， ，
，
，，.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.
11、C
【解析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.
【详解】
函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值，
由，解得；
其中、是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．
【点睛】
本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12、A
【解析】
采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果.
【详解】
根据三视图可知：该几何体为三棱锥
如图
该几何体为三棱锥，长度如上图
所以
所以
所以
故选：A
【点睛】
本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、9
【解析】
根据集合交集的定义即得.
【详解】
集合，，，
，则a的值是9.
故答案为：9
【点睛】
本题考查集合的交集，是基础题.
14、
【解析】
利用直线与圆相切求出斜率，得到直线的方程，几何法求出
【详解】
解：直线与圆相切，圆心为
由，得或，
当时，到直线的距离，不成立，
当时，与圆相交于，两点，到直线的距离，
故答案为．
【点睛】
考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题．
15、
【解析】
先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差．
【详解】
解：某地区连续5天的最低气温（单位：依次为8，，，0，2，
平均数为：，
该组数据的方差为：
，
该组数据的标准差为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
16、
【解析】
由题可得，解得，所以，，
上述两式相减可得，即，
因为，所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由函数和的图象关于原点对称可得的表达式，再去掉绝对值即可解不等式；（2）对，不等式成立等价于，去绝对值得不等式组，即可求得实数的取值范围.
试题解析：（1）∵函数和的图象关于原点对称，
∴，
∴ 原不等式可化为，即或，
解得不等式的解集为；
（2）不等式可化为：，
即，
即，则只需， 解得，的取值范围是.
18、 (1) ；(2) 存在定点，见解析
【解析】
（1）设动点，则，利用，求出曲线的方程．
（2）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组，
消去得，设，，，利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程，推出结果．
【详解】
解：（1）设动点，则，
，
，即，
化简得：。
由已知，故曲线的方程为。
（2）由已知直线过点，设的方程为，
则联立方程组，消去得，
设，，则
又直线与斜率分别为，
，
则。
当时，，；
当时，，。
所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值。
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
19、（Ⅰ）； （Ⅱ）分布列见解析，.
【解析】
（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求 . （Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.
【详解】
（Ⅰ）
（Ⅱ）可能取值为,
,
,
,
,
的分布列为
.
【点睛】
本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20、（1）（2）
【解析】
（1）根据单调递减可知导函数恒小于等于，采用参变分离的方法分离出，并将的部分构造成新函数，分析与最值之间的关系；
（2）通过对的导函数分析，确定有唯一零点，则就是的极大值点也是最大值点，计算的值并利用进行化简，从而确定.
【详解】
（1）由题意知， 在上恒成立，所以在上恒成立.
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以.
（2）当时，.
则，
令，则，
所以在上单调递减.
由于，，所以存在满足，即.
当时，，；当时，，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，
因为，所以，所以，
所以.
【点睛】
（1）求函数中字母的范围时，常用的方法有两种：参变分离法、分类讨论法；
（2）当导函数不易求零点时，需要将导函数中某些部分拿出作单独分析，以便先确定导函数的单调性从而确定导函数的零点所在区间，再分析整个函数的单调性，最后确定出函数的最值.
21、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
（1）由，解方程组即可得到答案；
（2）（ⅰ）设，，则，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）设直线斜率为，直线方程为，联立椭圆方程得到的坐标，再利用两点的斜率公式计算即可.
【详解】
（1）设，由，得.
将代入，得，即，
由，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，则，
（ⅰ）易知为的中位线，所以，
所以，
又满足，所以
，得，
故，当且仅当，即，时取等号，
所以面积最大值为.
（ⅱ）记直线斜率为，则直线斜率为，
所以直线方程为.
由，得，
由韦达定理得，所以，
代入直线方程，得，
于是，直线斜率，
所以直线与斜率之积为定值.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的最值及定值问题，在解椭圆与直线的位置关系的答题时，一般会用到根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.
22、（1） （2）证明见解析；定点坐标为
【解析】
（1）由条件直接算出即可
（2）由得，，，由可得，同理，然后由推出即可
【详解】
（1）由题有，.∴，∴.
∴椭圆方程为.
（2）由得
，.又
∴，
同理
又
∴
∴
∴
∴
∴
∴，此时满足
∴
∴直线恒过定点
【点睛】
涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.
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