2026届广东省中山一中等七校联合体重点中学高考冲刺数学模拟试题含解析

这是一份2026届广东省中山一中等七校联合体重点中学高考冲刺数学模拟试题含解析，共20页。试卷主要包含了已知向量，，若，则，已知函，，则的最小值为，已知，，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．B．C．D．
3．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，且，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
5．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
6．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．-8D．8
7．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
9．已知函，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．0D．
10．已知，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
11．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知复数为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）
A．2B．C．4D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是__________．
14．已知数列中，为其前项和，，，则_________，_________.
15．设复数满足,则_________.
16．若，且，则的最小值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
18．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为，，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，且两人健身时间都不会超过3小时.
（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望；
（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.
19．（12分）设函数f(x)=x2−4xsinx−4csx．
（1）讨论函数f(x)在[−π，π]上的单调性；
（2）证明：函数f(x)在R上有且仅有两个零点．
20．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：.
21．（12分）改革开放年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示在分以上为交通安全意识强.
求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；
已知交通安全意识强的样本中男女比例为，完成下列列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；
用分层抽样的方式从得分在分以下的样本中抽取人，再从人中随机选取人对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有人得分低于分的概率.
附：其中
22．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）设，求不等式的解集；
（2）已知，且的最小值等于，求实数的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积．
【详解】
解：分析题意可知，如下图所示，
该几何体为一个正方体中的三棱锥，
最大面的表面边长为的等边三角形，
故其面积为，
故选B．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题．
2、B
【解析】
三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.
【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，
把该几何体补成如下图所示的圆柱，
其体积为，故原几何体的体积为.
故选：B.
【点睛】
本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.
3、D
【解析】
设双曲线的左焦点为，连接，，，设，则，，，和中，利用勾股定理计算得到答案.
【详解】
设双曲线的左焦点为，连接，，，
设，则，，，
，根据对称性知四边形为矩形，
中：，即，解得；
中：，即，故，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4、C
【解析】
由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定义计算．
【详解】
由
可得，因为，所以．故在方向上的投影为．
故选：C．
【点睛】
本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
5、B
【解析】
由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解
【详解】
双曲线的一条渐近线与直线垂直．
∴双曲线的渐近线方程为．
，得．
则离心率．
故选：B
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
6、B
【解析】
先求出向量,的坐标，然后由可求出参数的值.
【详解】
由向量，，
则，
，
又，则，解得.
故选：B
【点睛】
本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.
7、D
【解析】
由半圆面积之比，可求出两个直角边 的长度之比，从而可知，结合同角三角函数的基本关系，即可求出，由二倍角公式即可求出.
【详解】
解：由题意知 ，以 为直径的半圆面积，
以 为直径的半圆面积，则，即.
由 ，得 ，所以.
故选:D.
【点睛】
本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.
8、C
【解析】
根据表示圆和直线与圆有公共点，得到，再利用二次函数的性质求解.
【详解】
因为表示圆，
所以，解得，
因为直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，
即 ，
解得，
此时，
因为，在递增，
所以的最大值.
故选：C
【点睛】
本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
9、B
【解析】
，利用整体换元法求最小值.
【详解】
由已知，
又，，故当，即时，.
故选：B.
【点睛】
本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.
10、D
【解析】
由指数函数的图像与性质易得最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系，进而得解.
【详解】
根据指数函数的图像与性质可知，
由对数函数的图像与性质可知，，所以最小；
而由对数换底公式化简可得
由基本不等式可知，代入上式可得
所以，
综上可知，
故选：D.
【点睛】
本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.
11、D
【解析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.
【详解】
∵，∴，，，.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.
12、A
【解析】
对复数进行乘法运算，并计算得到，从而得到虚部为2.
【详解】
因为，所以z 的虚部为2.
【点睛】
本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
∵，
∴ ，
∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，
∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，
即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，
即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点，
，
作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下，
，
结合图象可知，
1；
x∈[2π，+∞)时，f(x)≥x2−4x−4>62−4×6−4=8>1，
所以f(x)在(π，+∞)上没有零点．因为f(−x)=(−x)2−4(−x)sin(−x)−4cs(−x)=x2−4xsinx−4csx=f(x)，
所以f(x)为偶函数，
从而x1，即f(x)在(−∞，−π)上也没有零点．
故f(x)仅在，上各有一个零点，即f(x)在R上有且仅有两个零点．
20、（1）当时，在上递增，在上递减；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
（2）证明见解析
【解析】
（1）对求导，分，，进行讨论，可得的单调性；
（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，，设，可得，则，设，对求导，利用其单调性可证明.
【详解】
解：的定义域为，
因为，
所以，
当时，令，得，令，得；
当时，则，令，得，或，
令，得；
当时，，
当时，则，令，得；
综上所述，当时，在上递增，在上递减；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，
此时，设，
又因为，则，
设，则
对于任意成立，
所以在上是增函数，
所以对于，有，
即，有，
因为，所以，
即，又在递增，
所以，即.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题.
21、，概率为；列联表详见解析，有的把握认为交通安全意识与性别有关；.
【解析】
根据频率和为列方程求得的值，计算得分在分以上的频率即可；
根据题意填写列联表，计算的值，对照临界值得出结论；
用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.
【详解】
解：
解得.
所以，该城市驾驶员交通安全意识强的概率
根据题意可知，安全意识强的人数有，
其中男性为人，女性为人，
填写列联表如下：

所以有的把握认为交通安全意识与性别有关.
由题意可知分数在，的分别为名和名，
所以分层抽取的人数分别为名和名，
设的为，，的为，，，，则基本事件空间为，，，，，，，，，，，，，，共种，
设至少有人得分低于分的事件为，则事件包含的基本事件有
，，，，，，，，共种
所以.
【点睛】
本题考查独立性检验应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于中档题.
22、 (1) (2)
【解析】
（1）把f（x）去绝对值写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得解集，综合可得结论．
（2）把f（x）去绝对值写成分段函数，画出f（x）的图像，找出利用条件求得a的值．
【详解】
（1）时，.
当时，即为，解得.
当时， ，解得.
当时， ，解得.
综上，的解集为.
（2）.，
由的图象知，
，.
【点睛】
本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计
0
20
40
60
80
x
1
f(x)
−
1
+
1
−
1
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计