2026届广东省中山一中等六校重点中学高考仿真模拟数学试卷含解析

这是一份2026届广东省中山一中等六校重点中学高考仿真模拟数学试卷含解析，共22页。试卷主要包含了若与互为共轭复数，则，若双曲线等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．2
2．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，且，则抛物线的方程是( )
A．B．C．D．
6．若与互为共轭复数，则（ ）
A．0B．3C．－1D．4
7．若双曲线：绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则的离心率等于（ ）
A．B．C．2或D．2或
8．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．3B．C．D．
9．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．函数的图象如图所示,则它的解析式可能是( )
A．B．
C．D．
11．若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，ABC＝120，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．
14．在如图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数，已知，且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即，若，则正整数的最小值为______.
15．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为______.
16．已知“在中，”，类比以上正弦定理，“在三棱锥中，侧棱与平面所成的角为、与平面所成的角为，则________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．
18．（12分）某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.
（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.
（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值.
①已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元．若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？
②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.
19．（12分）设函数，是函数的导数.
（1）若，证明在区间上没有零点；
（2）在上恒成立，求的取值范围.
20．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.
21．（12分）已知是抛物线的焦点，点在轴上，为坐标原点，且满足，经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于、两点，若，求点到直线的最大距离.
22．（10分）在四棱锥的底面是菱形， 底面，， 分别是的中点， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据复数模的性质即可求解.
【详解】
,
,
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.
2、C
【解析】
需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，
，结合比值与正切二倍角公式化简即可
【详解】
如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，
所以，，，，
所以.
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题
3、A
【解析】
对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数.
【详解】
因为为纯虚数，所以，得
所以.
故选A项
【点睛】
本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.
4、A
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
【详解】
抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，
又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．
故选：A．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．
5、B
【解析】
利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程.
【详解】
设抛物线的焦点为F,设点，
由抛物线的定义可知，
线段AB中点的横坐标为3，又，，可得，
所以抛物线方程为.
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.
6、C
【解析】
计算，由共轭复数的概念解得即可.
【详解】
，又由共轭复数概念得：，
.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.
7、C
【解析】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，所以或，由离心率公式即可算出结果.
【详解】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为，又双曲线的焦点既可在轴，又可在轴上，所以或，或.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.
8、B
【解析】
由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：
直三棱柱的体积为，消去的三棱锥的体积为，
∴几何体的体积，故选B.
点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.
9、A
【解析】
首先求得平移后的函数，再根据求的最小值.
【详解】
根据题意，的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数，
所以，所以．又，所以的最小值为．
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.
10、B
【解析】
根据定义域排除，求出的值，可以排除，考虑排除.
【详解】
根据函数图象得定义域为，所以不合题意；
选项，计算，不符合函数图象；
对于选项， 与函数图象不一致；
选项符合函数图象特征.
故选：B
【点睛】
此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.
11、A
【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．
【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即.
故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
12、D
【解析】
设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案.
【详解】
显然直线不满足条件，故可设直线：，
，，由，得，
，
解得或，
，，
，
，
，
解得，
直线的斜率的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
将平移到和相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.
【详解】
过作，过作，画出图像如下图所示，由于四边形是平行四边形，故，所以是所求线线角或其补角.在三角形中，，故.
【点睛】
本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
14、2022
【解析】
根据条件先求出数列的通项，利用累加法进行求解即可．
【详解】
，，，
下面求数列的通项，
由题意知，，，
，，
，
数列是递增数列，且，
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，结合数列的性质求出数列的通项是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．
15、
【解析】
分两种情况讨论：（1）斜边在BC上，设，则，（2）若在若一条直角边在上，设，则，进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值.
【详解】
（1）斜边在上，设，则，
则，，
从而.
当时，此时，符合.
（2）若一条直角边在上，设，则，
则，，
由知.
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
.
当，即时，最大.
故答案为：.
【点睛】
此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目.
16、
【解析】
类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角．
【详解】
，故，
【点睛】
本题考查类比推理．类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），； （2）.
【解析】
(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式；
(2)求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列的前2020项的和.
【详解】
(1)依题意得: ，
所以 ，
所以
解得
设等比数列的公比为，所以
又
(2)由（1）知，
因为 ①
当时, ②
由①②得，，即，
又当时，不满足上式，
.
数列的前2020项的和

设 ③，
则 ④，
由③④得：
，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.
18、 (1) (2) ①生产线上挽回的损失较多. ②见解析
【解析】
(1)由题意得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围即可确定其最小值；
(2)①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；
②.由题意首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值.
【详解】
（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，设从，生产线上抽到合格品分别为事件，，则，互为独立事件
由已知有，
则
解得，则的最小值
（2）由（1）知，生产线的合格率分别为和，即不合格率分别为和.
①设从，生产线上各抽检件产品，抽到不合格产品件数分别为，，
则有，，所以，生产线上挽回损失的平均数分别为：
，
所以生产线上挽回的损失较多.
②由已知得的可能取值为，，，用样本估计总体，则有
，，
所以的分布列为
所以（元）
故估算估算该厂产量件时利润的期望值为（元）
【点睛】
本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出，再由函数的导数可知，
函数在上单调递增，在上单调递减，而，，可知在区间上恒成立，即在区间上没有零点；
（2）由题意可将转化为，构造函数，
利用导数讨论研究其在上的单调性，由，即可求出的取值范围．
【详解】
（1）若，则，，
设，则，，
，故函数是奇函数．
当时，，，这时，
又函数是奇函数，所以当时，.
综上，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.
又，，
故在区间上恒成立，所以在区间上没有零点.
（2），由，所以恒成立，
若，则，设，
.
故当时，，又，所以当时，，满足题意；
当时，有，与条件矛盾，舍去；
当时，令，则，
又，故在区间上有无穷多个零点，
设最小的零点为，
则当时，，因此在上单调递增.
，所以.
于是，当时，，得，与条件矛盾.
故的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．
20、（1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析.
【解析】
（1）当时，，求得其导函数 ，，可求得函数的图象在处的切线方程；
（2）由已知得，得出导函数，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性；
（3）当时，，，由（2）得的单调区间，以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.
【详解】
（1）当时，，
所以 ，，
所以函数的图象在处的切线方程为，即；
（2）由已知得，，令，得，
所以当时，，当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数；
（3）当时，，，由（2）得在上单调递减，在单调递增，
所以，且时，，当时，，，
所以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，
构造函数，则，
当时，所以，
在上单调递减，且，，
由 ，在上单调递增，
.
所以.
【点睛】
本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）求得点的坐标，可得出直线的方程，与抛物线的方程联立，结合求出正实数的值，进而可得出抛物线的方程；
（2）设点，，设的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合求得的值，可得出直线所过定点的坐标，由此可得出点到直线的最大距离.
【详解】
（1）易知点，又，所以点，则直线的方程为.
联立，解得或，所以.
故抛物线的方程为；
（2）设的方程为，联立有，
设点，，则，所以.
所以，解得.
所以直线的方程为，恒过点.
又点，故当直线与轴垂直时，点到直线的最大距离为.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
22、（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置.
【详解】
(Ⅰ)由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，
底面，底面，故，
且，故平面，
平面，
(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知，，，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，
设平面的一个法向量为,
则：，
据此可得平面的一个法向量为，
而，
设直线与平面所成角为，
则.
(Ⅲ)由题意可得：，假设满足题意的点存在，
设，，
据此可得：，即：,
从而点F的坐标为，
据此可得：,，
结合题意有：，解得：.
故点F为中点时满足题意.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.