2026届广东省佛山市第一中学高三第六次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届广东省佛山市第一中学高三第六次模拟考试数学试卷含解析，共9页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，下列不等式成立的是，已知复数满足，已知集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）
A．B．C．D．
2．若时，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．-2B．2C．4D．7
5．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
6．已知，则“直线与直线垂直”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ）
A．6B．3C．D．
9．已知复数满足：（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
10．已知集合，，则
A．B．
C．D．
11．已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（ ）
A．B．C．D．
12．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是_______．
14．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则_______.
15．如图是一个算法伪代码，则输出的的值为_______________.
16．已知实数满足则的最大值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）记函数的最小值为.
（1）求的值；
（2）若正数，，满足，证明：.
18．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.
（Ⅰ）求的极坐标方程和曲线的参数方程；
（Ⅱ）求曲线的内接矩形的周长的最大值.
19．（12分）已知函数.
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求在上的最大值和最小值．
20．（12分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）中的内角，，的对边分别是，，，若，.
（1）求；
（2）若，点为边上一点，且，求的面积.
22．（10分）已知的图象在处的切线方程为.
（1）求常数的值；
（2）若方程在区间上有两个不同的实根，求实数的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.
【详解】
设球的半径为R，
根据题意圆柱的表面积为，
解得，
所以该球的体积为 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.
2、D
【解析】
由题得对恒成立，令，然后分别求出即可得的取值范围.
【详解】
由题得对恒成立，
令，
在单调递减，且，
在上单调递增，在上单调递减，
，
又在单调递增，，
的取值范围为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.
3、D
【解析】
试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.
考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.
点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.
4、B
【解析】
在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得，再由等差数列通项公式求得公差.
【详解】
在等差数列的前项和为，则
则
故选：B
【点睛】
本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.
5、B
【解析】
由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解
【详解】
双曲线的一条渐近线与直线垂直．
∴双曲线的渐近线方程为．
，得．
则离心率．
故选：B
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
6、B
【解析】
由两直线垂直求得则或，再根据充要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，“直线与直线垂直”
则，解得或，
所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故选B.
【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
7、D
【解析】
根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.
【详解】
对于，，，错误；
对于，在上单调递减，，错误；
对于，，，，错误；
对于，在上单调递增，，正确.
故选：.
【点睛】
本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.
8、B
【解析】
求得直线的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得位于，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.
【详解】
解：曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，
直线的方程为，
可得，由圆与直线的位置关系知在时，到直线距离最短，即为，
则的面积的最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．
9、A
【解析】
利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解.
【详解】
由，则，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.
10、D
【解析】
因为，，
所以，，故选D．
11、B
【解析】
首先由求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.
【详解】
由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为
,
设的内切圆的半径为,则,
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.
12、B
【解析】
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.
【详解】
根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，
得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），
∴b=0，∴a+b=．故选B．
【点睛】
本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 (1，)
【解析】
在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2]，等价转化为与的图像在(1，)上恰有两个交点，考虑相切状态可求a的取值范围.
【详解】
由题意知：与的图像在(1，)上恰有两个交点
考查临界情形：与切于，
．
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，把已知条件进行等价转化是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.
14、
【解析】
试题分析：由坐标系可知
考点：复数运算
15、5
【解析】
执行循环结构流程图，即得结果.
【详解】
执行循环结构流程图得,结束循环，输出.
【点睛】
本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.
16、
【解析】
直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】
根据柯西不等式：，故，
当，即，时等号成立.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）将函数转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解；
（2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可.
【详解】
解法一：（1）
当时，，
当，，
当时，，
所以
解法二：（1）
如图
当时，
解法三：（1）
当且仅当即时，等号成立.
当时
解法一：（2）由题意可知，，
因为，，，所以要证明不等式，
只需证明，
因为成立，
所以原不等式成立.
解法二：（2）因为，，，所以，
，
又因为，
所以，
所以，原不等式得证.
补充：解法三：（2）由题意可知，，
因为，，，所以要证明不等式，
只需证明，
由柯西不等式得：成立，
所以原不等式成立.
【点睛】
本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.
18、（Ⅰ）曲线的参数方程为：(为参数)；的极坐标方程为；（Ⅱ）16.
【解析】
( I )直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
( II )利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用，即可求出结果.
【详解】
(Ⅰ) 由题意：曲线的直角坐标方程为：，
所以曲线的参数方程为(为参数)，
因为直线的直角坐标方程为：，
又因曲线的左焦点为，将其代入中，得到，
所以的极坐标方程为 .
（Ⅱ）设椭圆的内接矩形的顶点为，，，，
所以椭圆的内接矩形的周长为：，
所以当时，即时，椭圆的内接矩形的周长取得最大值16 .
【点睛】
本题考查了曲线的参数方程，极坐标方程与普通方程间的互化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，极径的应用，考查学生的求解运算能力和转化能力，属于基础题型.
19、（1）；（2）见解析
【解析】
将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期
根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值
【详解】
（Ⅰ）由题意得
原式
的最小正周期为.
（Ⅱ），
.
当，即时，；
当，即时， .
综上，得时，取得最小值为0；
当时，取得最大值为.
【点睛】
本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开，辅助角公式，三角函数的性质等，较为综合，也是常考题型，需要计算正确，属于基础题
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质可得，不等式对任意实数恒成立，等价于，解不等式即可求的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）当时，即，
①当时，得，所以；
②当时，得，即，所以；
③当时，得成立，所以.
故不等式的解集为.
（Ⅱ）因为，
由题意得，则，
解得，
故的取值范围是.
21、（1）（2）10
【解析】
（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根据二倍角的余弦公式计算即可；
（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知计算出与，再根据三角形的面积公式求出结果即可.
【详解】
（1），
，
在中，由正弦定理得，，
又，
，
，
（2），，
，
由余弦定理得，，
则，
化简得，，
解得或（负值舍去），
，，
，，
，
的面积.
【点睛】
本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于基础题.
22、（1）；（2）或.
【解析】
（1）求出，由，建立方程求解，即可求出结论；
（2）根据函数的单调区间，极值，做出函数在的图象，即可求解.
【详解】
（1），由题意知
，
解得（舍去）或.
（2）当时，
故方程有根，根为或，
由表可见，当时，有极小值0.
由上表可知的减函数区间为，
递增区间为，.
因为，
.由数形结合可得或.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
+
0
-
0
+
极大值
极小值