2026届广东省中山市一中丰山学部高考数学必刷试卷含解析

这是一份2026届广东省中山市一中丰山学部高考数学必刷试卷含解析，共20页。试卷主要包含了圆心为且和轴相切的圆的方程是等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（ ）
A．B．2C．D．
2．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图在直角坐标系中，过原点作曲线的切线，切点为，过点分别作、轴的垂线，垂足分别为、，在矩形中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．若函数函数只有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若单位向量，夹角为，，且，则实数（ ）
A．－1B．2C．0或－1D．2或－1
6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．
A．B．C．D．
7．圆心为且和轴相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
9．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( )
A．B．C．D．
10．执行如图所示的程序框图若输入，则输出的的值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数的零点为m，若存在实数n使且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．对定义在上的函数，如果同时满足以下两个条件：
（1）对任意的总有；
（2）当，，时，总有成立.
则称函数称为G函数.若是定义在上G函数，则实数a的取值范围为________.
14．已知函数的图象在处的切线斜率为，则______．
15．已知数列为正项等比数列，，则的最小值为________.
16．函数的值域为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面四边形(图①)中，与均为直角三角形且有公共斜边，设，∠，∠，将沿折起，构成如图②所示的三棱锥，且使=.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求二面角的余弦值.
18．（12分）设
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
19．（12分）设函数.
(Ⅰ)当时，求不等式的解集；
(Ⅱ)若函数 的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.
20．（12分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
21．（12分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.
22．（10分）已知函数，曲线在点处的切线在y轴上的截距为.
（1）求a；
（2）讨论函数和的单调性；
（3）设，求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．
【详解】
解：在复平面内所对应的点在虚轴上，
，即．
故选D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2、A
【解析】
根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.
【详解】
当时，，
由在递增，
所以在递增
又是增函数，
所以在递增，故排除B、C
当时，若，则
所以在递减，而是增函数
所以在递减，所以A正确，D错误
故选：A
【点睛】
本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.
3、A
【解析】
设所求切线的方程为，联立，消去得出关于的方程，可得出，求出的值，进而求得切点的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
设所求切线的方程为，则，
联立，消去得①，由，解得，
方程①为，解得，则点，
所以，阴影部分区域的面积为，
矩形的面积为，因此，所求概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.
4、C
【解析】
转化有1个零点为与的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解.
【详解】
有1个零点
等价于与的图象有1个交点．
记，则过原点作的切线，
设切点为，
则切线方程为，
又切线过原点，即，
将，
代入解得．
所以切线斜率为，
所以或．
故选：C
【点睛】
本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
5、D
【解析】
利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.
【详解】
由于，所以，即，，即，解得或.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.
6、A
【解析】
基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．
【详解】
解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，
基本事件总数，
其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，
其和等于的概率．
故选：．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
7、A
【解析】
求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.
【详解】
圆心为且和轴相切的圆的半径为，因此，所求圆的方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
8、D
【解析】
根据函数图象的变换规律可得到解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.
【详解】
解：图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到
再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象
，
故选：D
【点睛】
考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.
9、A
【解析】
利用计算即可，其中表示事件A所包含的基本事件个数，为基本事件总数.
【详解】
从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有种不同结果，
由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
10、C
【解析】
由程序语言依次计算，直到时输出即可
【详解】
程序的运行过程为
当n=2时，时，，此时输出.
故选：C
【点睛】
本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题
11、D
【解析】
易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.
【详解】
易知函数单调递增且有惟一的零点为，所以，∴，问题转化为：使方程在区间上有解，即
在区间上有解，而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为，∴.
故选D．
【点睛】
本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.
12、D
【解析】
试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.
考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由不等式恒成立问题采用分离变量最值法：对任意的恒成立，解得，又在，恒成立，即，所以，从而可得.
【详解】
因为是定义在上G函数，
所以对任意的总有，
则对任意的恒成立，
解得，
当时，
又因为，，时，
总有成立，
即
恒成立，
即恒成立，
又此时的最小值为，
即恒成立，
又因为
解得.
故答案为：
【点睛】
本题是一道函数新定义题目，考查了不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生分析理解能力，属于中档题.
14、
【解析】
先对函数f（x）求导，再根据图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.
【详解】
由函数得，∵函数f（x）的图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，，.
故答案为4
【点睛】
本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题．
15、27
【解析】
利用等比数列的性质求得，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.
【详解】
由等比数列的性质可知，则，
.
当且仅当时取得最小值.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.
16、
【解析】
利用配方法化简式子，可得，然后根据观察法，可得结果.
【详解】
函数的定义域为
所以函数的值域为
故答案为：
【点睛】
本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）取AB的中点O，连接，证得，从而证得C′O⊥平面ABD，再结合面面垂直的判定定理，即可证得平面⊥平面；
（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
(1)取AB的中点O，连接，，
在Rt△和Rt△ADB中，AB=2，则=DO=1，
又C′D= ，所以，即⊥OD，
又⊥AB，且AB∩OD=O，平面ABD，所以⊥平面ABD，
又C′O⊂平面，所以平面⊥平面DAB
（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)， ，
所以，，，
设平面的法向量为=()，
则， 即，代入坐标得，
令，得，，所以，
设平面的法向量为=（），
则， 即， 代入坐标得，
令，得，，所以，
所以，
所以二面角A-C′D-B的余弦值为.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
18、（1）（2）
【解析】
(1)通过讨论的范围,得到关于的不等式组,解出取并集即可.
(2)去绝对值将函数写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由恒成立求得结果.
【详解】
解：（1）当时，，即
或或
解之得或，即
不等式的解集为.
（2）由题意得：
当时为减函数，显然恒成立.
当时，为增函数，
，
当时，为减函数，
综上所述：使恒成立的的取值范围为.
【点睛】
本题考查了解绝对值不等式问题,考查不等式恒成立问题中求解参数问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于中档题.
19、（1）（2）
【解析】
(Ⅰ)当时，不等式为.
若，则，解得或，结合得或.
若，则，不等式恒成立，结合得.
综上所述,不等式解集为.
(Ⅱ)
则的图象与直线所围成的四边形为梯形,
令,得,令，得,
则梯形上底为, 下底为 11,高为.
.
化简得，解得，结合，得的取值范围为.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
20、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据菱形性质可知，结合可得，进而可证明，即，即可由线面垂直的判定定理证明平面；
（2）结合（1）可证明两两互相垂直.即以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设，连接，如下图所示：
∵侧面为菱形，
∴，且为及的中点，
又，则为直角三角形，
，
又，
，即，
而为平面内的两条相交直线，
平面.
(2)
平面，
平面，
，即，
从而两两互相垂直.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图的空间直角坐标系
，
为等边三角形，
，
，
，
设平面的法向量为，则，即，
∴可取，
设平面的法向量为，则.
同理可取
，
由图示可知二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线，属于中档题.
21、（1），ξ的分布列为
（2）
【解析】
(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.
P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2；
P(ξ＝1)＝·(1－a)2＋a(1－a)＝(1－a2)；
P(ξ＝2)＝·a(1－a)＋a2＝(2a－a2)；
P(ξ＝3)＝·a2＝.
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为
E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.
(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)；
P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝；
P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.
由和0＜a＜1，得0＜a≤，即a的取值范围是.
22、（1） （2）为减函数，为增函数. （3）证明见解析
【解析】
（1）求出导函数，求出切线方程，令得切线的纵截距，可得（必须利用函数的单调性求解）；
（2）求函数的导数，由导数的正负确定单调性；
（3）不等式变形为，由递减，得()，即，即，依次放缩，．
不等式，递增得()，,,,先证，然后同样放缩得出结论．
【详解】
解：（1）对求导，得.
因此.又因为，
所以曲线在点处的切线方程为
，
即.
由题意，.
显然，适合上式.
令，
求导得，
因此为增函数：故是唯一解.
（2）由（1）可知，，
因为，
所以为减函数.
因为，
所以为增函数.
（3）证明：由，易得.
由（2）可知，在上为减函数.
因此，当时，，即.
令，得，即.
因此，当时，.
所以成立.
下面证明：.
由（2）可知，在上为增函数.
因此，当时，，
即.
因此，
即.
令，得，
即.
当时，
.
因为，
所以，所以.
所以，当时，
.
所以，当时，成立.
综上所述，当时，成立.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．本题中不等式的证明，考查了转化与化归的能力，把不等式变形后利用第（2）小题函数的单调性得出数列的不等关系：，．这是最关键的一步．然后一步一步放缩即可证明．本题属于困难题．
ξ
0
1
2
3
P
(1－a)2
(1－a2)
(2a－a2)
ξ
0
1
2
3
P
(1－a)2
(1－a2)
(2a－a2)