2026年湖南省长沙市长郡中学教育集团中考数学二模试卷（含答案+解析）

这是一份2026年湖南省长沙市长郡中学教育集团中考数学二模试卷（含答案+解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，是无理数的是( )
A. 16B. − 3C. 38D. 73
2.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. a⋅a5=a5B. (2ab2)3=6a3b6
C. 3a2⋅(−4a2)=−12a2D. (10a4b2)÷(5a3b)=2ab
4.如果一个三角形的两条边长分别为2cm和5cm，则此三角形的第三边长可能是( )
A. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 7cm
的算术平方根是( )
A. 0.1B. +0.1C. 0.01D. ±0.01
6.第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.我校积极响应，开展视力检查.某班45名同学视力检查数据如下表：

这45名同学视力检查数据的中位数是( )
A. 4.6B. 4.7C. 4.8D. 4.9
7.折叠拦道闸如图1所示.若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，垂足为A，CD//AE，则∠ABC+∠BCD=( )
A. 200∘B. 230∘C. 250∘D. 270∘
8.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P( )
A. 在⊙O内B. 在⊙O上C. 在⊙O外D. 无法确定
9.《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空；若两人共车，剩九人步.问人与车各几何？意思是：若三个人乘一辆车，则空余两辆车；若两个人乘一辆车，则剩余9人需要步行.试问人和车辆各有多少？设有x辆车，则根据题意可列出方程为( )
A. 3(x+2)=2x−9B. 3(x+2)=2x+9
C. 3(x−2)=2x−9D. 3(x−2)=2x+9
10.世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积( )
A. 6分B. 7分C. 8分D. 9分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若分式x−1x−2有意义，则x的取值范围是 .
12.一件商品进价100元，售价140元，其利润率为 .
13.半径为4，圆心角为90∘的扇形的面积为 (结果保留π).
14.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示，则y1>y2的解集是 .
15.如图，五边形ABCDE中，∠B=120∘，∠C=110∘，∠D=105∘，则∠A+∠E= .
16.如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D.若AB=6，PC=4，则CD= .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(π−3)0−2cs30∘−| 3−2|+(12)−3.
18.(本小题6分)
解不等式组{2(x−1)−1>−5①x−1⩽x+12②，并把不等式①和②在数轴上表示出来.
19.(本小题6分)
小美同学按如下步骤作四边形ABCD：第一步：画∠MAN；第二步：以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；第三步：分别以点B，D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；第四步：连接BC，CD，BD.
(1)由以上作图可知，四边形ABCD的形状是______；
(2)若∠A=44∘，求∠CBD的大小.
20.(本小题8分)
为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：A.胡耀邦故里旅游区；B.浔龙河生态艺术小镇研学旅行基地；C.稻花香里农耕文化园；D.中联重科工程机械馆.为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查(每名学生只能选择一个研学基地)，根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图.
(1)在本次调查中，一共抽取了______名学生；
(2)请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数为______；
(3)若该校有600名学生，请估计喜欢D的学生有______人；
(4)此次研学小数和小学同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BD为边AC上的高，且BD=CD，在BD上截取一点E使CE=AB，延长CE交AB于点F，G为边BC上的中点，连接FG.
(1)求证：∠ABD=∠ECD；
(2)若FG=5，求BC的长度.
22.(本小题9分)
2025年首届“湘超联赛”火爆出圈，其官方文创同样点燃了球迷热情.其中，以吉祥物“湘湘”(省鸟红嘴相思鸟)和“超超”(杂交水稻少年)为原型设计的钥匙扣挂件，凭借浓郁的“湘”味设计和萌趣造型，迅速成为年度人气周边，线上线下屡屡售罄，堪称湖南人看球的“氛围感神器”.某生产厂家看准商机，生产“湘湘”、“超超”两款挂饰，已知“湘湘”挂饰的批发单价比“超超”挂饰的批发单价高2元.若花800元批发购买“湘湘”挂饰的数量与花600元批发购买“超超”挂饰的数量相同.
(1)求“湘湘”、“超超”两款挂饰的批发单价分别是多少元？
(2)某文具店从该厂家处批发购进了“湘湘”、“超超”两款挂饰共60个，“湘湘”挂饰的数量不超过“超超”挂饰数量的一半，“超超”挂饰售价为10元/个，“湘湘”挂饰的售价比“超超”挂饰的售价高30%.若购进的这两种挂饰全部售出，且要使得所获利润最多，则该店购进“湘湘”挂饰多少个？最大利润是多少？
23.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=BO.
(1)求证：∠ABC=90∘；
(2)点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE.若AB=10，BC=24，求CE的长及cs∠CEO的值.
24.(本小题10分)
我们不妨约定：在平面直角坐标系xOy中，若点P(a1,b1)和点Q(a2,b2)满足：|a1−a2|+(b1+b2)2=0，我们就说点P和点Q是该坐标平面内的一对“K点”；若函数y1，y2的图象上存在一对或一对以上“K点”(其中点P在y1的图象上，点Q在y2的图象上)，我们就说函数y1，y2互为“K函数”，且|b1−b2|叫“K函数”的一个“K值”.
(1)根据约定填空：
①若A(a,4)，B(1,b)是坐标平面内的一对“K点”，则a+b=______；
②若一次函数y1=kx−4k，y2=kx+2k2(k≠0)，当自变量x=k时，在函数y1，y2的图象上的两点恰好是一对“K点”，则一次函数y1的解析式为：______；
③已知反比例函数y1=mx(m≠0),y2=nx(n≠0)，且y1，y2互为“K函数”，则m，n应该满足：______.
(2)若函数y=x+1与二次函数y=ax2+bx+c互为“K函数”只存在一对“K点”且在y轴右侧，“K值”为8，二次函数图象的对称轴为直线x=2，求二次函数的解析式.
(3)已知以x为自变量的二次函数y1=x2−2mx+m2(m>0)，函数y1与y2互为“K函数”，且当自变量x取任意实数时，函数y1，y2的图象上对应点都是“K点”.记函数y1，y2的图象分别交y轴于A，B两点，函数y1的图象交x轴于点C，经过A，B，C三点的圆与x轴的另一个交点为D，点P是x轴下方圆上的动点，且点P不与点B，C，D重合，设PA2−PB2=t，S△PCD=s，令f=ts，当f取最大值时，试判断四边形ACBD的形状，并说明理由.
25.(本小题10分)
如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，其中AD=BC=CD，连接AC交BD于点E，延长BA至点F，使AF=AD，连接FD.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)若⊙O的半径为10，ED⋅AC=80，点P是△ABD的内心，求OP2的值；
(3)若tan∠F=m，ED⋅AC=4n2(m,n为常数且都大于0)，用含m，n的式子表示CE和AB.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A. 16=4，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.− 3是无理数，故本选项符合题意；
C.38=2，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.73是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B.
根据无理数的定义逐项进行判断即可．
本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
本题主要考查了轴对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：a⋅a5=a6≠a5，故选项A计算不正确；
(2ab2)3=8a3b6≠6a3b6，故选项B计算不正确；
3a2⋅(−4a2)=−12a4，故选项C计算不正确；
(10a4b2)÷(5a3b)=2ab，故选项D计算正确．
故选：D.
利用同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、单项式乘单项式法则、单项式除单项式法则逐个计算，根据计算结果得结论．
本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：设第三边长为x cm，
则5−25.
利用函数图象，写出直线y1=4x+5在直线y2=3x+10上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式(组)之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
15.【答案】205∘
【解析】【分析】
先根据五边形的内角和定理求出五边形的内角和，从而得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和，再根据已知条件求出答案即可．
本题主要考查了多边形的内角和，解题关键是熟练掌握多边形的内角和公式．
【解答】
解：∵五边形的内角和为(5−2)×180∘=540∘，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540∘，
∵∠B=120∘，∠C=110∘，∠D=105∘，
∴∠A+∠E=540∘−120∘−110∘−105∘=205∘.
故答案为：205∘.
16.【答案】245
【解析】解：连接OC，OD，则OC=OD，
∵PC，PD与⊙O相切，
∴PC=PD，OC⊥PC，
∴OP垂直平分CD，
∴CD=2CE，
∵AB为直径，且AB=6，
∴OC=3，
在Rt△OCP中，OP= OC2+CP2=5，
∴sin∠COP=PCOP=45，
在Rt△OEC中，CE=OC⋅sin∠COP=3×45=125，
∴CD=2CE=245.
故答案为：245.
连接OC，OD，设CD与AB交于点E，根据切线的性质结合勾股定理求出OP的长，进而求出sin∠COP，解Rt△OEC，求出CE的长，即可．
本题考查切线的性质，勾股定理，关键是由切线的性质得到OP垂直平分CD，由勾股定理即可求出OP长．
17.【答案】7.
【解析】解：原式=1−2× 32−(2− 3)+8
=1− 3−2+ 3+8
=7.
分别计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再进行实数的混合运算．
本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是正确化简每一项．
18.【答案】−1−1，
解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集为−10，
∴w随m的增大而增大．
∴当m=20时，w有最大值，最大值=1×20+240=260，
答：该店购进“湘湘”挂饰20个，最大利润是260元．
(1)设“超超”挂饰的批发单价是x元，则“湘湘”挂饰的批发单价是(x+2)元，根据花800元批发购买“湘湘”挂饰的数量与花600元批发购买“超超”挂饰的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
(2)设该店购进“湘湘”挂饰m个，则购进“超超”挂饰(60−m)个，根据“湘湘”挂饰的数量不超过“超超”挂饰数量的一半，列出一元一次不等式，解得m≤20，再设利润为w元，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
23.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AO=BO，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90∘ CE的长为13，cs∠CEO的值为 2626
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AO=BO，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90∘.
(2)解：作OH⊥BC于点H，则∠OHE=∠OHC=90∘，
∵AB=10，BC=24，∠ABC=90∘，
∴AC= AB2+BC2=26，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OB，OC=OA=12AC=13，
∴HC=HB=12BC=12，
∵∠CEO=∠COE，
∴CE=OC=13，
∴EH=CE−HC=13−12=1，
∵OHHC=ABBC=tan∠ACB，
∴OH=ABBC⋅HC=1024×12=5，
在Rt△OEH中，OE= EH2+OH2= 26，
∴cs∠CEO=EHOE=1 26= 2626，
∴CE的长为13，cs∠CEO的值为 2626.
(1)根据平行四边形的性质得到AO=CO，BO=DO，证明平行四边形ABCD是矩形，可知∠ABC=90∘；
(2)作OH⊥BC于点H，则∠OHE=∠OHC=90∘，根据勾股定理求出AC=26，根据矩形的性质得到OC=OA=12AC=13，OC=OB，根据三线合一得到HC=HB=12BC=12，根据等角对等边得到CE=OC=13，可知EH=1，根据三角函数求出OH的值，根据勾股定理求出OE= 26，即可求出cs∠CEO的值．
本题考查矩形，掌握平行四边形的性质、矩形的判定和性质是解题的关键．
24.【答案】−3;y1=x−4;m+n=0 y=−12x2+2x−112 ∵y1=x2−2mx+m2=(x−m)2，且m>0，
∴A(0,m2)，C(m,0)，
由题意得函数y1与y2的图象关于x轴对称，
∴y2=−x2+2mx−m2=−(x−m)2，
∴B(0,−m2)，
∴OA=OB=m2，且CD⊥AB，
∴CD是AB的垂直平分线，
∵直径所在直线是圆的对称轴，
∴CD是经过A，B，C三点的圆的直径．
连接AD，AC，则∠DAC=90∘，
∴∠DAO+∠CAO=90∘，
在Rt△AOD中，∠ADO+∠DAO=90∘，
∴∠ADO=∠CAO，
∵∠AOD=∠AOC=90∘，
∴△ODA∽△OAC，
∴ODOA=OAOC，
∴OA2=OD⋅OC，
∴(m2)2=OD⋅m，
∴OD=m3，
∴DC=OD+OC=m3+m.
过点P作PE⊥CD于点E，作PF⊥OB于点F.
∵PE⊥CD，CD在x轴上，
∴PE//y轴，即PE//OF.
∵PF⊥OB，OB在y轴上，
∴PF//x轴，即PF//OE.
∴四边形PEOF为平行四边形，
又∵∠EOF=90∘，
∴四边形PEOF为矩形，
∴PE=OF.
在Rt△APF中，PA2=AF2+PF2，
在Rt△PBF中，PB2=BF2+PF2，
∴t=PA2−PB2=(AF2+PF2)−(BF2+PF2)=AF2−BF2=(AF+BF)(AF−BF)=AB(AO+OF−BF)=AB(BO+OF−BF)=AB(OF+OF)=2AB⋅OF，
又∵s=S△PCD=12CD⋅PE，
∴f=ts=2AB⋅OF12CD⋅PE=4ABCD=4×2m2m3+m=8mm2+1，
整理得fm2−8m+f=0，
由Δ=64−4f2≥0，得f2≤16，
∴−4≤f≤4，
又∵m>0，
∴f=8mm2+1>0，
∴00，
∴A(0,m2)，C(m,0)，
由题意得函数y1与y2的图象关于x轴对称，
∴y2=−x2+2mx−m2=−(x−m)2，
∴B(0,−m2)，
∴OA=OB=m2，且CD⊥AB，
∴CD是AB的垂直平分线，
∵直径所在直线是圆的对称轴，
∴CD是经过A，B，C三点的圆的直径．
连接AD，AC，则∠DAC=90∘，
∴∠DAO+∠CAO=90∘，
在Rt△AOD中，∠ADO+∠DAO=90∘，
∴∠ADO=∠CAO，
∵∠AOD=∠AOC=90∘，
∴△ODA∽△OAC，
∴ODOA=OAOC，
∴OA2=OD⋅OC，
∴(m2)2=OD⋅m，
∴OD=m3，
∴DC=OD+OC=m3+m.
过点P作PE⊥CD于点E，作PF⊥OB于点F.
∵PE⊥CD，CD在x轴上，
∴PE//y轴，即PE//OF.
∵PF⊥OB，OB在y轴上，
∴PF//x轴，即PF//OE.
∴四边形PEOF为平行四边形，
又∵∠EOF=90∘，
∴四边形PEOF为矩形，
∴PE=OF.
在Rt△APF中，PA2=AF2+PF2，
在Rt△PBF中，PB2=BF2+PF2，
∴t=PA2−PB2=(AF2+PF2)−(BF2+PF2)=AF2−BF2=(AF+BF)(AF−BF)=AB(AO+OF−BF)=AB(BO+OF−BF)=AB(OF+OF)=2AB⋅OF，
又∵s=S△PCD=12CD⋅PE，
∴f=ts=2AB⋅OF12CD⋅PE=4ABCD=4×2m2m3+m=8mm2+1，
整理得fm2−8m+f=0，
由Δ=64−4f2≥0，得f2≤16，
∴−4≤f≤4，
又∵m>0，
∴f=8mm2+1>0，
∴0