2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试题及答案

2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列实数为无理数的是（　　）

A． B．0.8 C．﹣6 D．

2．下列单项式中，﹣2a2b3的同类项是（　　）

A．a3b2 B．2a2b3 C．a2b D．4ab3

3．计算的结果是（　　）

A．2 B．﹣2 C．0 D．2b﹣2a

4．如图立体图形中，三视图都相同的是（　　）

A． B． C． D．

5．如图，△ABC≌△DEF，DE＝5，AE＝2，则BE的长是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

6．某班一合作学习小组有6人，初三上期数学期末考试成绩数据分别为114、86、95、77、110、93，则这组数据的中位数是（　　）

A．86 B．95 C．77 D．94

7．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（　　）

A．38° B．76° C．80° D．60°

8．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西50°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　）

A．米 B．200tan50°米 

C．200sin50°米 D．米

9．已知一次函数y＝ax﹣4的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

10．如图，折线ABCDE描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（　　）

A．汽车共行驶了120千米 

B．汽车在整个行驶过程中停留了2个小时 

C．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时 

D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少

二．填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11．如果|x|＝2023，那么x＝　   　．

12．若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两实根，则a﹣ab+b的值为 　   　．

13．寒假前，小明家设计了四种度假方案：参观广州长隆动物园、爬武功山、近郊露营、宁乡泡温泉．妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是 　   　．

14．如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，若点B'的坐标为（2，6），则点B的坐标为 　   　．

15．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，则该扇形纸扇的面积为 　   　．

16．一年一度的春晚深受人民群众的喜爱，小芳想了解今年长沙市约1025万人民观看春晚的情况，随机调查了1000人，其中有600人观看了今年的春晚，那么长沙市约有 　   　万人观看了春晚．

三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．计算：．

18．先化简，再求值：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b），其中a＝2，．

19．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE．

（1）请根据作图过程回答问题：直线MN是线段AB的 　   　；

A．角平分线B．高C．中线D．垂直平分线

（2）若△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，AB＝8，求CE的长．

20．某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：

（1）共有 　   　名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心角是 　   　度；

（2）补全调查结果条形统计图；

（3）小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

21．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，连接EC并延长，AD垂直EC于点D．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，BE＝2，求线段AD的长．

22．2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元．

（1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价；

（2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？

23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ADBF是菱形；

（2）若tan∠ABC＝2，菱形ADBF的面积为40．求菱形ADBF的周长．

24．我们不妨约定：若存在实数k，对于函数图象上任意两点（x1，y1）、（x2，y2），|y1﹣y2|≤k都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的k中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4．

（1）下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“√”，不是的打“×”；

①y＝2x﹣1（﹣1≤x≤2）　   　；

②（） 　   　；

③y＝（x﹣1）2+2（2≤x≤3）　   　．

（2）若一次函数y＝ax+b和反比例函数（a，b为常数，且a≠0），当且时，这两个函数的幸福指数相同，求t的值；

（3）若关于x的幸福函数y＝﹣x2+4x+t（t为常数），当t﹣1≤x≤t时，幸福指数为t，求t的值．

25．如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．

（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；

（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，

①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．

参考答案

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列实数为无理数的是（　　）

A． B．0.8 C．﹣6 D．

【分析】根据有理数和无理数的定义、实数的分类解答．

解：A．分数为有理数，A不符合题意；

B．有限小数是有理数，B不符合题意；

C．整数是有理数，C不符合题意；

D．是无理数，D符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查无理数的定义，熟练掌握实数的分类、有理数和无理数的定义是解题关键．

2．下列单项式中，﹣2a2b3的同类项是（　　）

A．a3b2 B．2a2b3 C．a2b D．4ab3

【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，即可确定答案．

解：根据同类项的定义可知，﹣2a2b3的同类项是2a2b3，

故选：B．

【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．

3．计算的结果是（　　）

A．2 B．﹣2 C．0 D．2b﹣2a

【分析】根据同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，计算即可．

解：

＝

＝﹣

＝﹣2，

故选：B．

【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．

4．如图立体图形中，三视图都相同的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．

解：A、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不合题意；

B、三棱柱的主视图是两个矩形，左视图是一个矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意．

C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；

D、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．

5．如图，△ABC≌△DEF，DE＝5，AE＝2，则BE的长是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．

解：∵△ABC≌△DEF，DE＝5，

∴AB＝DE＝5，

∵AE＝2，

∴BE＝AB﹣AE＝3．

故选：C．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．

6．某班一合作学习小组有6人，初三上期数学期末考试成绩数据分别为114、86、95、77、110、93，则这组数据的中位数是（　　）

A．86 B．95 C．77 D．94

【分析】把这组数从小到大排列，求出中间两个的平均数即可．

解：这组数从小到大排列为：77，86，93，95，110，114，

∴这组数据的中位数是是（93+95）÷2＝94，

故选：D．

【点评】本题考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．

7．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（　　）

A．38° B．76° C．80° D．60°

【分析】根据圆周角定理求解即可．

解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝38°，

∴∠AOB＝76°，

故选：B．

【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．

8．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西50°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　）

A．米 B．200tan50°米 

C．200sin50°米 D．米

【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．

解：在Rt△PQT中，

∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣50°＝40°，

∴∠PTQ＝50°，

∴tan50°＝，

∴PT＝＝，

即河宽米，

故选：A．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．

9．已知一次函数y＝ax﹣4的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据一次函数的增减性可得a＜0，进一步可知y＝ax﹣4的图象经过的象限，即可判断．

解：∵一次函数y＝ax﹣4的函数值y随x的增大而减小，

∴a＜0，

∵b＝﹣4＜0，

∴y＝ax﹣4经过第二、三、四象限，

故选：B．

【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．

10．如图，折线ABCDE描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（　　）

A．汽车共行驶了120千米 

B．汽车在整个行驶过程中停留了2个小时 

C．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时 

D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少

【分析】根据所给的函数图象，以及速度、时间和路程的关系，逐项判定即可．

解：∵汽车共行驶了：120×2＝240（千米），

∴选项A不符合题意；

∵汽车在整个行驶过程中停留了0.5个小时，

∴选项B不符合题意；

∵汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为：120÷3＝40（千米/时），

∴选项C符合题意；

∵汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度不变，

∴选项D不符合题意．

故选：C．

【点评】此题主要考查了函数的图象，以及速度、时间和路程的关系和应用，要熟练掌握．

二．填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11．如果|x|＝2023，那么x＝　±2023　．

【分析】根据绝对值的定义解答即可．

解：∵|x|＝2023，

∴x＝±2023，

故答案为：±2023．

【点评】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数．

12．若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两实根，则a﹣ab+b的值为 　8　．

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出a+b与ab的值，代入原式计算即可求出值．

解：∵a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣3＝0的两实根，

∴a+b＝5，ab＝﹣3，

则a﹣ab+b＝（a+b）﹣ab＝5﹣（﹣3）＝8．

故答案为：8．

【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

13．寒假前，小明家设计了四种度假方案：参观广州长隆动物园、爬武功山、近郊露营、宁乡泡温泉．妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是 　　．

【分析】直接由概率公式求解即可．

解：由概率公式可知，妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是．

故答案为：．

【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

14．如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，若点B'的坐标为（2，6），则点B的坐标为 　（﹣，﹣2）　．

【分析】根据位似变换的性质解答即可．

解：∵△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B′的坐标为（2，6），

∴点B的坐标为（2÷（﹣3），6÷（﹣3）），

∴点B'的坐标为（﹣，﹣2），

故答案为：（﹣，﹣2）．

【点评】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键．

15．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，则该扇形纸扇的面积为 　300πcm2　．

【分析】根据扇形面积公式计算即可．

解：∵＝300π（cm2），

∴该扇形纸扇的面积为300πcm2，

故答案为：300πcm2．

【点评】本题考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积公式．

16．一年一度的春晚深受人民群众的喜爱，小芳想了解今年长沙市约1025万人民观看春晚的情况，随机调查了1000人，其中有600人观看了今年的春晚，那么长沙市约有 　615　万人观看了春晚．

【分析】首先计算出调查的人中观看了今年的春晚的人所占百分比，可推算出长沙市观看了今年的春晚的人数所占百分比，再用长沙市人数×百分比即可．

解：1025×（×100%）＝615（万）．

故答案为：615．

【点评】此题主要考查了用样本估计总体，关键是掌握用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．计算：．

【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．

解：原式＝3×﹣2﹣（﹣1）+1

＝﹣2﹣+1+1

＝0．

【点评】本题主要考查了实数运算，掌握实数的运算法则是关键．

18．先化简，再求值：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b），其中a＝2，．

【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a、b的值代入化简后的式子计算即可．

解：（a+b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b）

＝a2+2ab+b2+a2﹣b2﹣2a2+2ab

＝4ab，

当a＝2，b＝﹣时，

原式＝4×2×（﹣）＝﹣4．

【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式、平方差公式的应用．

19．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE．

（1）请根据作图过程回答问题：直线MN是线段AB的 　D　；

A．角平分线B．高C．中线D．垂直平分线

（2）若△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，AB＝8，求CE的长．

【分析】（1）由尺规作图痕迹可知，直线MN是线段AB的垂直平分线．

（2）由已知条件结合线段垂直平分线的性质可得∠A＝∠EBF＝30°，则∠CBE＝30°，在Rt△ABC中，可得BC＝＝4，在Rt△BCE中，可得CE＝BC•tan30°＝．

解：（1）由尺规作图痕迹可知，直线MN是线段AB的垂直平分线.

故答案为：D．

（2）设MN与AB 交于点F，

∵∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，

∴∠CBA＝60°，

∵MN是线段AB的垂直平分线，

∴BE＝AE，

∴∠A＝∠EBF＝30°，

∴∠CBE＝30°，

在Rt△ABC中，

∵∠A＝30°，

∴BC＝＝4，

在Rt△BCE中，

∵∠CBE＝30°，

∴CE＝BC•tan30°＝＝．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．

20．某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：

（1）共有 　120　名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心角是 　75　度；

（2）补全调查结果条形统计图；

（3）小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

【分析】（1）由选修“文学鉴赏”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，求出选修“手工”的学生人数，用360°乘以手工所占总数的百分比即可解决问题；

（2）补全条形统计图即可；

（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．

解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），

则选修“厨艺”的人数为120×15%＝18（名），

则选修“手工”的人数为120﹣30﹣20﹣18﹣27＝25（名），

则“手工”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×＝75°，

故答案为：120，75；

（2）补全条形统计图如下：

（3）把“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，

画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，

∴小明和小红两人恰好选到同一门课程的概率为＝．

【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

21．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，连接EC并延长，AD垂直EC于点D．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，BE＝2，求线段AD的长．

【分析】（1）连接OC，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠ACO，则AD∥OC，证得∠OCE＝90°，则可得出结论；

（2）连接OC，证明△COE∽△DAE，由相似三角形的性质可求出答案．

【解答】（1）证明：如图1，连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC平分∠DAE，

∴∠DAC＝∠OAC，

∴∠DAC＝∠ACO，

∴AD∥OC，

∵AD⊥DE，

∴∠ADC＝90°，

∴∠OCE＝∠ADC，

∴∠OCE＝90°，

∵OC是半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图1，连接OC，

∵AD∥OC，

∴△COE∽△DAE，

∴，

∴，

∴AD＝．

【点评】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会作常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

22．2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元．

（1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价；

（2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？

【分析】（1）设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元，根据“购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设本次可购买m捆A种菜苗，则可购买（100﹣m）捆B种菜苗，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过828元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．

解：（1）设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元，

根据题意得：，

解得：．

答：菜苗基地A种菜苗每捆的单价为10元，B种菜苗每捆的单价为8元；

（2）设本次可购买m捆A种菜苗，则可购买（100﹣m）捆B种菜苗，

根据题意得：10×0.9m+8×0.9（100﹣m）≤828，

解得：m≤60，

∴m的最大值为60．

答：本次购买最多可购买60捆A种菜苗．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ADBF是菱形；

（2）若tan∠ABC＝2，菱形ADBF的面积为40．求菱形ADBF的周长．

【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，利用中点的定义可得AE＝DE，从而证明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性质可得AF＝CD，再根据D是BC的中点，可得AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD＝AD，从而利用菱形的判定定理即可解答；

（2）利用（1）的结论可得菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，再根据点D是BC的中点，可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积＝△ABC的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．

【解答】（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，

∵点E是AD的中点，

∴AE＝DE，

∴△FAE≌△CDE（AAS），

∴AF＝CD，

∵点D是BC的中点，

∴BD＝CD，

∴AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，

∴AD＝BD＝BC，

∴四边形ADBF是菱形；

（2）解：∵四边形ADBF是菱形，

∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，

∵点D是BC的中点，

∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，

∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，

∴AB•AC＝40，

∵∠BAC＝90°，tan∠ABC＝＝2，

设BC＝m，则AC＝2m，

∴×m×2m＝40，

∴m＝2（负根已经舍去），

∴AB＝2，AC＝4，

∴BC＝＝＝10，

∴BD＝BC＝5，

∴菱形ADBF的周长为20．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．

24．我们不妨约定：若存在实数k，对于函数图象上任意两点（x1，y1）、（x2，y2），|y1﹣y2|≤k都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的k中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4．

（1）下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“√”，不是的打“×”；

①y＝2x﹣1（﹣1≤x≤2）　√　；

②（） 　×　；

③y＝（x﹣1）2+2（2≤x≤3）　×　．

（2）若一次函数y＝ax+b和反比例函数（a，b为常数，且a≠0），当且时，这两个函数的幸福指数相同，求t的值；

（3）若关于x的幸福函数y＝﹣x2+4x+t（t为常数），当t﹣1≤x≤t时，幸福指数为t，求t的值．

【分析】（1）①当x＝﹣1时，y＝2x﹣1＝﹣3，当x＝2时，y＝2x﹣1＝3，则kmin＝3﹣（﹣3）＝6，符合题意，故正确；②、③同理可解；

（2）a＞0时，求出两个函数k的最小值，即可求解；

（3）当t＜2时，当x＝t时，y＝﹣t2+5t，当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，则﹣t2+5t﹣（﹣t2+7t﹣5）＝t，即可求解；当2≤t≤3时、当t＞3时，同理可解．

解：（1）①当x＝﹣1时，y＝2x﹣1＝﹣3，当x＝2时，y＝2x﹣1＝3，

则kmin＝3﹣（﹣3）＝6，符合题意，故正确；

②当x＝﹣3时，y＝﹣＝1，当x＝﹣时，则y＝﹣＝5，

则kmin＝5﹣1＝4≠6，故错误；

③当x＝3时，y＝（x﹣1）2+2＝6，当x＝2时，y＝（x﹣1）2+2＝3，

则kmin＝6﹣3＝6≠6，故错误；

故答案为：√，×，×；

（2）∵t，故t﹣＞0，

a＞0时，

当x＝t+时，y＝ax+b＝a（t+）+b，当x＝t﹣时，y＝ax+b＝a（t﹣）+b，

当x＝t﹣时，y＝﹣，当x＝t+时，y＝﹣，

即a（t+）+b﹣a（t﹣）﹣b＝﹣+，

解得：t＝；

当a＜0时，列出的函数关系式和t的值和a＞0得情况完全相同，

故t＝；

（3）当x＝t时，y＝﹣x2+4x+t＝﹣t2+4t+t＝﹣t2+5t，同理可得：当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，当x＝2时，y＝t+4；

①当t＜2时，

当x＝t时，y＝﹣t2+5t，当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，

则﹣t2+5t﹣（﹣t2+7t﹣5）＝t，

解得：t＝；

②当2≤t≤3时，

当t≥时，当x＝2时，y＝t+4，当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，

则t+4﹣（﹣t2+7t﹣5）＝0，

解得：t＝3；

当t＜时，同理可得：t+4﹣（﹣t2+5t）＝0，

解得：t＝4或1（均舍去）；

③当t＞3时，

当x＝t﹣1时，y＝﹣t2+7t﹣5，当x＝t时，y＝﹣t2+5t，

则﹣t2+5t﹣（﹣t2+7t﹣5）＝﹣t，

解得：t＝5；

综上，t＝或3或5．

【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义，一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，数形结合和正确理解新定义，是本题解题的关键．

25．如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．

（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；

（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，

①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．

【分析】（1）①令y＝0，可得ax（x+3）＝0，则A点坐标可求出；

②连接PC，连接BP延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD＝∠CDE，则CE＝DE；

（2）①由y＝ax2+3ax＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+）2+可得A（﹣3，0），B（﹣，），则OA＝3，AB＝OB＝＝3，△OAB是等边三角形，证明△BAC∽△EBA，根据相似三角形的性质可得结论；

②设OE＝m，点D的坐标为（t，0），由∠CAE＝∠OBE可得∠CBO＝∠OBE，由角平分线的性质得，则m＝，即可求解．

【解答】（1）①解：令y＝ax2+3ax＝0，

∴ax（x+3）＝0，解得x＝0或﹣3，

∴A（﹣3，0）；

②证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，

∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，

∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°，

又∵PC＝PB，

∴∠PCB＝∠PBC，

∵CE为切线，

∴∠PCB+∠ECD＝90°，

又∵∠BDM＝∠CDE，

∴∠ECD＝∠CDE，

∴CE＝DE；

（2）①证明：如图，

∵a＝﹣，

∴y＝ax2+3ax＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+）2+，

令y＝0，可得﹣x（x+3）＝0，

∴x＝0或﹣3，

∴A（﹣3，0），B（﹣，），

∴OA＝3，AB＝OB＝＝3，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝60°，

∴∠ACB＝∠AOB＝60°，

∴∠ACB＝∠BAE＝60°，

∵∠CAE＝∠OBE，∠BAO＝∠ABO＝60°，

∴∠BAO+∠CAE＝∠AEBA，BO+∠OBE＝60°，

∴∠BAC＝∠EBA，

∴△BAC∽△EBA，

∴，

∴AB2＝AC•BE；

②解：设OE＝m，点D的坐标为（t，0），

∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE，

∴∠CBO＝∠EBO，

由角平分线成比例定理可得：，

∵BD＝＝，

BE＝＝，，

∴＝，

∴m＝或t（舍去），

∴−＝＝，

∴−＝−−＝．

【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，考查了二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．