数学（福建卷）：2026年中考模拟考前预测卷（含答案解析）

这是一份数学（福建卷）：2026年中考模拟考前预测卷（含答案解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．2
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可．
【详解】解：的绝对值是2，
故选：D
2．下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ）
A．笛卡尔心形线B．赵爽弦图
C．莱洛三角形D．科克曲线
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ）
A．克B．克C．克D．克
【分析】首先算出一粒粟的重量，结果是小于的正数，然后利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定前面有三个，故指数是．
【详解】解：粒粟的重量大约为克，
一粒粟的重量约为．
故选：．
4．若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ）
A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形
【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形的外角和为360度，据此求出边数即可得到答案．
【详解】解：，
∴这个多边形的边数为5，即该多边形是 正五边形，
故选：C．
5．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式逐一计算，即可判断正确选项．
【详解】解：对选项A， ， A错误．
对选项B，， B错误．
对选项C，， C正确．
对选项D， ， D错误．
6．如图，点A，B，C在上，，，则的半径是（ ）
A．B．3C．4D．
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
先由圆周角定理得到，然后可得为等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴的半径是4，
故选：C．
7．某连锁咖啡店的店长计划推出一个“惊喜福袋”，里面包含7款不同的杯子．为了控制成本，店长希望这7款杯子的价格中位数正好为50元．目前，编号为1至5的5款杯子已确定入选，它们的价格（单位：元）如下图所示．经计算，这5款杯子的价格中位数恰好为50元．现在，需要从三款杯子中挑选1款作为第6款，再从两款杯子中挑选1款作为第7款，使得最终7款杯子的价格中位数依然是50元．可以选择（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中位数的定义进行求解．
【详解】解：根据题意得，前5款杯子的价格中位数恰好为50元，
∴第6款和第7款价格都为50元，或者一个大于50元，且另一个小于50元，
∴组合满足条件．
故答案为C．
8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答．
【详解】解：设规定时间为天，
∵慢马所需时间比规定时间多天，
∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为，
∵快马所需时间比规定时间少天，
∴快马的行驶时间为天，快马速度为，
又∵快马的速度是慢马的倍，
∴可得方程 ，即选项B符合题意．
9．如图，为正方形的边上一动点，，连接，过作交于，交于，连接，当为最小值时，的长为（ ）

A．B．C．D．
【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理和相似三角形的性质与判定等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．
以AB为直径画圆，G在圆O上，当O、G、C共线时，CG为最小值，然后运用勾股定理和相似三角形的知识解答即可．
【详解】解：如图：以AB为直径画圆，G在圆O上，
∵∠AGB=90°，
∴当O，G，C共线时，CG有最小值，
∵CG=
又∵∠CGH=∠AGO=∠OAG=∠CBF，
∴∠CBF=∠CGH，
又∵∠BCD=∠BCD，
∴△CGH∽△CBG，
∴
∴
故答案为C．

10．规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（ ）
①是函数的融值区间；
②函数不存在融值区间；
③是函数的融值区间；
④若是函数的融值区间，则．
①②B．②③C．③④D．②④
【分析】明确融值区间的定义，对四个结论逐一验证，根据函数性质求出给定区间内的取值范围，对比定义要求的范围即可判断正误．
【详解】解：对于①，，函数，
∵ ， ，
∴要求满足 ，即，
∵在上单调递增，
∴的范围是，存在，不满足定义，故①错误；
对于②，假设存在融值区间 ，，
∵，在单调递减，
∴的范围是，要求满足，
整理得 ，左边分子分母都为正，故左边为正数，右边，正数不可能小于等于负数，假设不成立，
若，上式得，与假设矛盾；
故不存在融值区间，②正确；
对于③，，函数，
∵ ， ，
∴要求满足 ，即 ，
∵开口向上，对称轴为，在上单调递增，的范围是，全部满足 ，符合定义，故③正确；
对于④， ，函数， ，要求满足 ，
∵开口向上，顶点在，
当 时，最小值为，可得，解得，
当时，最小值为，要求得，矛盾无解，
∴的范围是，不是 ，故④错误；
综上，正确结论为②③．故选B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：__________
【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
用平方差公式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
12．若，是一元二次方程的两根，则________．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可直接求出两根之和．对于一元二次方程，两根之和满足．
【详解】，是一元二次方程的两根，
．
故答案为：
13．如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限．
【分析】根据数轴上点的位置关系，判断出和的符号，进而确定的符号．
【详解】解：根据数轴上点的位置可知，，
，
，
，
靠近，意味着点到点的距离小于点到点的距离，
点到点的距离为，
点到点的距离为，
，
，
故函数的图象在第一、三象限．
故答案为：一、三
14．电路图中有3个开关，A、B、C和两个小灯泡、，同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率____．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关，能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关，能形成闭合电路的结果有4种，
∴同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率是，
故答案为：
15．如图，矩形和正方形面积相等，点在边上，点在上，交于点，，若，则___________．
【分析】证明得，，．由矩形和正方形面积相等，得，结合可得，证明，求出，再证明，利用相似形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，．
∵矩形和正方形面积相等，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
同理可证，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴．
故答案为：
16．如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是_____
【分析】由函数图象可知当点运动到点时，，作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而判断①；当时，计算的长，证明为等边三角形，从而判断②；当时，点在上运动，求出的最小值和最大值，从而判断③．
【详解】解：由图2可知，当动点沿匀速运动到点时，，即，
如图，过点 作于点，连接，
是等边三角形，
、，
在中，，
、，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故①正确；
当时，点运动的路程为 5，
，
点在上，且，
，
、，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故结论②正确；
当时，点在上运动，
当时，、，
当时，点到达点，，即在此过程中，的长度从 2 减小到 0，
过点作于点，
在中，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
当点与点重合时，，取得最小值，
此时，
，
点能运动到点处，
的最小值为，
∵，
的最大值为，
当时，的取值范围是，
故结论③错误；
综上所述，正确的结论是①②．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：．
【分析】利用负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式…………（6分）
．…………（8分）
18．（8分）如图，，，的延长线与相交于点F，．求证：．

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据邻补角性质先得到，通过证明，即可作答.
【详解】证明：，
…………（2分）
在和中
…………（6分）
.…………（8分）
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．先化简，再求值即可．
【详解】解：
，…………（6分）
当时，原式．…………（8分）
20．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＞∠ACB．
（1）在BC边上找一点D，使得AB2=BD·BC (要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)
（2）在（1）的条件下，若AB=4，AC=5， BD：DC=1：3，求AD的长．
【分析】（1）以A为顶点，AB为一边，作，交BC于点D即可；
（2）由BD：DC=1：3得BD：BC=1：4，根据（1）的结论可求BD=2，再由可得结论．
【详解】解：（1） 如图点D即是所求作的点， …………（4分）
∵，
∴
∴，即
（2） ∵BD：DC=1：3，且BC=BD+CD
∴BC=4BD
∵AB2=BD·BC，
∴42=BD·4BD
∴BD=2或BD=-2（舍去） …………（6分）
∵
∴
∴AD=2.5…………（8分）
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明是解答此题的关键．
21．（8分）为丰富校园生活，学校举办“经典咏流传”朗诵比赛，内容分为：A．唐诗、B．宋词、C．元曲．
(1)小华从三个项目中随机抽取一个朗诵，求恰好抽中“宋词”的概率；
(2)若小敏和小杰两人采用抽签方式，每人从三个项目中随机抽取一个，且两人抽取的项目不能相同．请用列表或树状图法，求小敏抽中“唐诗”且小杰抽中“元曲”的概率．
【分析】（1）根据列举法求概率求解即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小敏和小杰都没有抽到“元曲”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：随机抽取一个朗诵的结果：A．唐诗、B．宋词、C．元曲，总共有3种等可能的结果，抽中“宋词”的情况有1种，故（抽中宋词）；…………（4分）
（2）解：画树状图如下：
共6种等可能性的结果，其中小敏抽中唐诗、小杰抽中元曲的情况有1种，故（小敏抽唐诗且小杰抽元曲）．…………（8分）
22．（10分）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由切线的性质可得，证明垂直平分，得出，证明，得出，即可得证；
（2）结合（1）可得：，，，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接
∵是的切线，
∴，
∵，D为的中点，
∴，即垂直平分，
∴，
∴，…………（3分）
∴，
∵为半径，
∴是的切线；…………（5分）
（2）解：∵，，
∴结合（1）可得：，，，
∴，…………（7分）
设，则，
由勾股定理可得，
∴，
解得，
∴的半径为．…………（10分）
23．（10分）综合与实践：
问题论证：
(1)在方案1中，求证：点为的三等分点；
(2)在方案2中，求与的比值；
(3)在方案3中，图④已标注的点中是否存在线段的三等分点？若存在，指出并证明；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由正方形性质，结合三角形相似的判定与性质求证即可；
（2）设正方形的边长为，，表示出，再由折叠性质及勾股定理列式得到，表示出与的比值求解即可；
（3）令正方形的边长为，由折叠性质及勾股定理求出的直角边长度，再由相似三角形的判定与性质求出长度，最后得到长度，得出即可．
【详解】（1）证明：在正方形中，，则，
，
，
，
，
即，
在正方形中，，则，
点为的三等分点；…………（3分）
（2）解：如图所示：
设正方形的边长为，，
则，，
沿翻折得到，沿翻折，使得D与重合，
，
在正方形中，，则由勾股定理可得，
，
则，
；…………（6分）
（3）解：存在，理由如下：
如图所示：
不妨令正方形的边长为，则，
沿翻折，使得点与点重合，则，，
设，则，
在中，由勾股定理可得，则，
解得，
，…………（8分）
，
，
，
，
，
则，
解得，
，
则，即，
点是线段的三等分点．…………（10分）
24．（13分）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．

(1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标．
(2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设
①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：．
②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法先求出函数解析式，再根据函数图象与坐标轴的交点坐标的特征即可求解．
（2）①设直线的函数解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，由中点的性质可求得，进而可求得点，即，由，则，根据，，，可得，再由平行线的性质可得，进而可得，进而可求解；②过点G作轴于点H，设点，利用相似三角形的判定及性质可得，解出方程即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：，
把代入得：，
∴；
把代入得：，
解得：，
∴．…………（4分）
（2）①如图：

设直线的函数解析式为：，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的函数解析式为：，
∵，，点N运动到的中点，
∴，
把代入得：，
∴，则，
∵，，
∴，则，
∵，，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴；…………（8分）
②过点G作轴于点H，

由①可得：，
∴，
∴，则，
设点，
∵，
∴，，则，
∴，整理得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
令，则，
解得：，
当时，不符合题意，舍去；
当时，解得：，，
此时，或（舍），
综上：存在，，点G的坐标为．…………（13分）
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，借助恰当的辅助线，构造相似三角形解决问题．
25．（13分）综合与探究
问题情境：
矩形中，，，的平分线交于点．将绕点顺时针旋转，得到点，的对应点分别为点，点与点不重合．
深入探究：
(1)如图，当点在边上时，求证：；
(2)如图，当点在线段上时，连接，，①求证：；②求四边形的面积；
(3)当点在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长．
【分析】（1）先根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据矩形的性质可得，由此即可得证；
（2）①设交于点O，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则；
②先证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后利用勾股定理求出的长，最后根据四边形的面积等于求解即可得；
（3）分两种情况：①若点G在对角线上时，过点作于，先证出点A，G，C，F在同一条直线上，再求出，，的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得；②若点G在对角线上时，过点F作于M，过点E作于N，先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出，，的长，再证出，根据相似三角形的性质可得，的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：绕点旋转得到，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
；…………（3分）
（2）①证明：如图，设交于点，
四边形是矩形，，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
；…………（6分）
②解：
，
在和中，
，
，
，即，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
四边形的面积为：
；…………（9分）
（3）解：的长为或．理由如下：
点在矩形的对角线上时，分两种情况讨论：
如图，若点在对角线上时，过点作于．
平分，
点到的距离等于的长度，
由旋转的性质得：，，，
，
，
，
点，，，在同一条直线上，
在和中，
，
，
，
，
在矩形中，，，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
由勾股定理得：，
，
由勾股定理得：；…………（11分）
如图，若点在对角线上时，过点作于，过点作于，
在矩形中，，，
，，，
由勾股定理得：，
由（1）②得：，
等腰三角形的三线合一，
在中，，
在中，，
，，，
由旋转的性质得：，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，
综上所述，的长为或．…………（13分）
如何将正方形纸片折叠出相等的三列
背景
书法社团课上，需要将正方形书法纸折叠成均等的三列（如图①），这引起数学兴趣小组的关注．兴趣小组准备三张边长均为的正方形纸片，为折叠出均等的三列提供三组方案，请你论证．
方案1
如图②
步骤1：折均等的四列；
步骤2：连接对角线分别交折痕于点、点、点，知；
步骤3：连接延长交线段于点．
方案2
如图③
步骤1：对折正方形，折痕为；
步骤2：沿翻折得到；
步骤3：沿翻折，使得D与重合，点为折痕与的交点．
方案3
如图④
步骤1：对折正方形，折痕为；
步骤2：沿翻折，使得点与点重合，点与点对应；
步骤3：线段与交点为．